2022年动点的轨迹问题.docx

精品学习资源动点的轨迹问题依据动点的运动规律求出动点的轨迹方程， 这是解析几何的一大课题： 一方面求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数” ，将“曲线”转化为“方程” ，通过对方程的讨论来熟悉曲线的性质； 另一方面求轨迹方程是培育同学数形转化的思想、方法以及技巧的极好教材； 该内容不仅贯穿于 “圆锥曲线” 的教学的全过程， 而且在建构思想、函数方程思想、化归转化思想等方面均有表达和渗透；轨迹问题是高考中的一个热点和重点，在历年高考中显现的频率较高， 特殊是当今高考的改革以考查同学创新意识为突破口，留意考查同学的规律思维能力，运算才能， 分析问题和解决问题的才能， 而轨迹方程这一热点， 常涉及函数、三角、向量、几何等学问，能很好地反映同学在这些才能方面的把握程度；求轨迹方程的的基本步骤： 建设现代化检验建坐标系 设动点坐标 现限制条件，动点、已知点满意的条件代动点、已知点坐标代入 化化简整理 检验要留意定义域“挖”与“补” 求轨迹方程的的基本方法：1. 直接法： 假如动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简洁明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法；2. 定义法： 运用解析几何中一些常用定义例如圆锥曲线的定义，可从曲线定义动身直接写出轨迹方程，或从曲线定义动身建立关系式，从而求出轨迹方程；3. 代入法： 动点所满意的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点Px,y却随另一动 点 Qx ， y 的运动而有规律的运动，且动点Q 的轨迹为给定或简洁求得，就可先将x ,y 表示为 x,y 的式子， 再代入 Q的轨迹方程， 然而整理得 P 的轨迹方程， 代入法也称相关点法；4. 参数法： 求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，就可借助中间变量参数 ，使 x,y之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程；5. 交轨法： 求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数， 例如求两动直线的交点经常用此法， 也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程；可以说是参数法的一种变种；6. 转移法： 假如动点 P 随着另一动点Q的运动而运动，且Q点在某一已知曲线上运动， 那么只需将 Q点的坐标来表示，并代入已知曲线方程，便可得到P 点的轨迹方程；欢迎下载精品学习资源7. 几何法： 利用平面几何或解析几何的学问分析图形性质，发觉动点运动规律和动点满意的条件，然而得出动点的轨迹方程；8. 待定系数法： 求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求；欢迎下载精品学习资源9. 点差法： 求圆锥曲线中点弦轨迹问题时，常把两个端点设为A x1 , y1, B x2 , y2 并代欢迎下载精品学习资源入圆锥曲线方程，然而作差求出曲线的轨迹方程；此部分内容主要考查圆锥曲线，圆锥曲线的定义是根本， 它是相应标准方程和几何性质的“源”；对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回来定义”是一种重要的解题策略；二、留意事项：1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发觉动点P 的运动规律，即 P 点满意的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变；欢迎下载精品学习资源2. 轨迹方程既可用一般方程F x，y0表示， 又可用参数方程 xyf tt为参数gt欢迎下载精品学习资源来表示，假设要判定轨迹方程表示何种曲线，就往往需将参数方程化为一般方程；3. 求出轨迹方程后， 应留意检验其是否符合题意，既要检验是否增解， 即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上 ，又要检验是否丢解； 即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示，显现增解就要舍去，显现丢解，就需补充；检验方法：讨论运动中的特殊情形或极端情形；4 求轨迹方程仍有整体法等其他方法；在此不一一缀述；欢迎下载精品学习资源【典型例题选讲 】一、直接法题型：例 1已知直角坐标系中，点Q2， 0，圆 C 的方程为x2y 21 ，动点 M 到圆 C 的切欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源线长与 MQ 的比等于常数0 ，求动点 M 的轨迹；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2解： 设 MN 切圆 C 于 N，就 MN22yMMOON；N欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源设 M x, y ，就x2y 21 x2 2y2OQx欢迎下载精品学习资源化简得 21 x2y 2 4 2 x14 2 0欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源1当1 时，方程为 x5，表示一条直线；4欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2当1 时，方程化为 x22y 2221132 212表示一个圆；欢迎下载精品学习资源说明：求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么；欢迎下载精品学习资源变式 - -如图，圆O1 与圆O2 的半径都是1， O1O24 ，过动点 P 分别作圆O1 、圆O2 的欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源切线 PM 、PNM、N 分别为切点，使得PM2PN 试建立适当的坐标系，并求动点PM欢迎下载精品学习资源P 的轨迹方程欢迎下载精品学习资源解：以O1O2 的中点 O 为原点，O1O2 所在的欢迎下载精品学习资源直线为 x 轴，建立平面直角坐标系，就 O1 2,0, O2 2,0欢迎下载精品学习资源22由已知PM2PN 可得：PM 22 PN 2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源由于两圆的半径均为1，所以PO112 PO21欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源设 P x, y ，就 x2 212 x2 2y 21 ，即 x62y 233欢迎下载精品学习资源所以所求轨迹方程为：x62y 233 或 x 2y 212x30 欢迎下载精品学习资源评析：1、用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简，证明五个步骤，最终的证明可以省略，但要留意 “挖”与“补”；2、求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么；二、定义法题型：运用解析几何中一些常用定义例如圆锥曲线的定义，可从曲线定义动身直接写出轨迹方程，或从曲线定义动身建立关系式，从而求出轨迹方程；例 2 已知 A、B、C 是直线 l上的三点，且 |AB|=|BC|=6 ， O切直线 l 于点 A，又过 B、C作 O异于 l 的两切线，设这两切线交E于点 P，求点 P的轨迹方程 .P欢迎下载精品学习资源【解析】设过 B、C 异于 l 的两切线分别切 O于 D、E 两点， 两切线交于点P. 由切线的性质知：|BA|=|BD| ， |PD|=|PE| ，|CA|=|CE| ，故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18 6=|BC| ，O'DABCl欢迎下载精品学习资源故由椭圆定义知，点 P 的轨迹是以 B、C 为两焦点的椭圆， 以 l 所在的直线为 x轴，以 BC的中点为原点，建立坐标系，欢迎下载精品学习资源可求得动点 P 的轨迹方程为：22xy18172欢迎下载精品学习资源22练习： 已知圆 O的方程为 x +y =100, 点 A 的坐标为 -6 ， 0， M为圆 O上任一点， AM的垂欢迎下载精品学习资源直平分线交 OM于点 P，求点 P 的方程；欢迎下载精品学习资源解：由中垂线知，PAPM 故 PAPOPMPOOM10 ，即 P 点的轨迹为欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2以 A、O为焦点的椭圆，中心为-3 ，0，故 P 点的方程为 x32y125欢迎下载精品学习资源2516评析：定义法的关键是条件的转化 转化成某一基本轨迹的定义条件；欢迎下载精品学习资源三、代入法题型：例 3如图， 从双曲线 x P 的轨迹方程；2-y2 =1 上一点 Q引直线 x+y=2 的垂线， 垂足为 N；求线段 QN的中点欢迎下载精品学习资源解： 设动点 P 的坐标为 x,y , 点 Q的坐标为 x 1,y 1就 N 2x-x 1,2y-y1代入 x+y=2, 得 2x-x 1+2y-y 1=2欢迎下载精品学习资源又 PQ垂直于直线 x+y=2，故 yy1xx11，即 x-y+y 1-x 1=0 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源由解方程组得311, yxxy11221 x3 y221 ,代欢迎下载精品学习资源22入双曲线方程即可得P 点的轨迹方程是 2x -2y -2x+2y-1=0练习：已知曲线方程 fx,y=0.分别求此曲线关于原点， 关于 x 轴，关于 y 轴，关于直线 y=x ， 关于 直 线y=-x，关 于 直 线y=3对 称 的 曲线 方程；f-x,-y=0,fx,-y=0,f-x,y=0,fy,x=0,f-x,-y=0， fx,6-y=0四、参数法与点差法题型：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，就可借助中间变量参数，使 x,y 之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程；2例 4经过抛物线 y =2px+2pp>0的顶点 A 作相互垂直的两直线分别交抛物线于B、 C 两点，求线段 BC的中点 M轨迹方程；解： A-2p,0 , 设直线 AB 的方程为 y=kx+2pk0. 与抛物线方程联立方程组可解得B欢迎下载精品学习资源点的坐标为 2 p2 p, 2 p ，由于 AC与 AB 垂直，就 AC的方程为 y1 x2 p ，与抛欢迎下载精品学习资源k 2k物线方程联立方程组可解得C 点的坐标为2k 2 p2 p,k2kp ，又 M为 BC中点，设 M x,y ,欢迎下载精品学习资源2x pkp2 p就k 2，消去 k 得 y 2=px, 即点 M的轨迹是抛物线；y pkp k欢迎下载精品学习资源稳固与提高： 1在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=x2 上异于坐标原点 O 的两不同动点 A 、B 满意 AO BO如图 4 所示.求 AOB 的重心 G即三角形三条中线的交点的轨迹方程；欢迎下载精品学习资源【解析】解法一： 以OA的斜率k为参数由Ak，k2OAOB，2ykx 解得yx欢迎下载精品学习资源1y1 x11欢迎下载精品学习资源OB：yx 由kkyx2解得B,2kk欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源x设 AOB的重心Gx，y，就y1k13k1k 21欢迎下载精品学习资源3k 2欢迎下载精品学习资源消去参数 k得重心G的轨迹方程为 y3x223xx1x2欢迎下载精品学习资源解法二： 设 AOB 的重心为 Gx,y,Ax 1,y1,Bx 2,y2,就y3y1y231欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源OAOB kOAkOB1 ,即 x1x2y1 y21， 2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源又点 A，B 在抛物线上，有 y1x 2 , yx 2 ，代入 2化简得x1x21欢迎下载精品学习资源 yy1y231 x 2132x2 1 x132x2 2 x1x2 122123 x323 x2233欢迎下载精品学习资源所以重心为 G 的轨迹方程为 y3 x 22 ；3欢迎下载精品学习资源2如图，设抛物线C : yx 2 的焦点为 F，动点 P 在直线 l : xy20 上运动，欢迎下载精品学习资源过 P 作抛物线 C 的两条切线 PA、PB，且与抛物线 C 分别相切于 A、B 两点.求APB 的重心 G 的轨迹方程 .欢迎下载精品学习资源【解析】 设切点 A、B 坐标分别为x, x2 和x, x2 xx0 ，y欢迎下载精品学习资源0111切线 AP 的方程为：2 x0 xy20;Bx02AG欢迎下载精品学习资源切线 BP 的方程为：2x1 xyx10;Ox欢迎下载精品学习资源Pl欢迎下载精品学习资源解得 P 点的坐标为： xPx0x1 2, y Px0 x1欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以 APB 的重心 G 的坐标为 xGx0x1xP3xP ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源yy0y1yPG322xxxx010123x0x 213x0 x124xPyp,3欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以 yp程为：3yG4xG，由点 P 在直线 l 上运动，从而得到重心 G 的轨迹方欢迎下载精品学习资源x 3 y评析：4 x2 20,即y1 4 x23x2.欢迎下载精品学习资源1. 用参数法求轨迹是高考中常考的重要题型， 由于选参敏捷， 技巧性强， 也是同学较难把握的一类问题；2. 选用什么变量为参数，要看动点随什么量的变化而变化，常见的参数有： 斜率、截距、定比、角、点的坐标等；3. 要特殊留意消参前后保持范畴的等价性；4. 多参问题中，依据方程的观点，引入n 个参数，需建立 n+1 个方程，才能消参特殊情形下，能整体处理时，方程个数可削减；五、交轨法与几何法题型求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时 常用此法， 也可以引入参数来建立这些动曲线的联系， 然而消去参数得到轨迹方程；可以说是参数法的一种变种；欢迎下载精品学习资源2例 5 抛物线 y4 px p0 的顶点作相互垂直的两弦OA 、OB ，求抛物线的顶点O 在直欢迎下载精品学习资源线 AB 上的射影 M 的轨迹；考例 5欢迎下载精品学习资源解 1交轨法 ：点 A 、B 在抛物线 y 24 px p0 上，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源设 A 2yAA , y 4 p ， B2yBB , y 4 p 所以 kOA = 4 py A4 pkOB=,yB欢迎下载精品学习资源由 OA 垂直 OB 得 kOA k OB = -1 ，得 yA yB = -16p 2 ,欢迎下载精品学习资源又 AB 方程可求得 yyy AyB x2y4 pA ，欢迎下载精品学习资源yyA22AB4 p4 p欢迎下载精品学习资源即 yA +y B y-4px-y A yB =0,把 yA yB= -16p 2代入得 AB 方程 y A+y By-4px+16p 2 =0又 OM的方程为yy Ay B x4 P欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源222由消去得y A+y B 即得 x 2y24 px0 ， 即得 x2 p 2y24p2 ；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以点 M的轨迹方程为 x除去点 0， 0；2 py4 p ，其轨迹是以2 p,0 为圆心，半径为2 p 的圆 ,欢迎下载精品学习资源说明： 用交轨法求交点的轨迹方程时，不肯定非要求出交点坐标，只要能消去参数，得到交点的两个坐标间的关系即可；交轨法实际上是参数法中的一种特殊情形；解 2几何法：由解 1 中 AB 方程 yA +y By-4px+16p 2 =0 可得 AB 过定点 4p,0而 OM欢迎下载精品学习资源2垂直 AB ，所以由圆的几法性质可知：M 点的轨迹是以2 p,0 为圆心，半径为2 p 的圆；所欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源以方程为 x2 p 2y 24 p ，除去点 0， 0；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源六、点差法：例 62004 年福建， 22如图， P 是抛物线 C： y1 x2 上一点，直线 l 过点 P 且与抛物线2欢迎下载精品学习资源C 交于另一点 Q；假设直线 l 与过点 P 的切线垂直，求线段PQ 中点 M 的轨迹方程；图见教材 P129 页例 2；欢迎下载精品学习资源解： 设 Px1, y1, Q x2 , y2 , Mx0 , y0 ,依题意知， x10, y10, y20欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源由 y1 x 221欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源得 y /x ，过点 P 的切线的斜率k x ，欢迎下载精品学习资源切1欢迎下载精品学习资源直线 l 的斜率 kl11x1x1， 直线 l 的方程为 y12x121xx1x1 2欢迎下载精品学习资源x201方法一、利用韦达定理、 中点坐标公式 联立 12消去 y 得， x22 x2x1x0x1x212x1M为 PQ的中点，.欢迎下载精品学习资源消去 x1,得y0y0x21002 x21 x 2121x01x10. x02x11欢迎下载精品学习资源PQ中点为 M的轨迹方程为 yx2 x 21x0欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源方法二点差法 由 y11 x2 , y1221 x2 , x202x1x2 , 2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源得 y1y21212x1x2221 x12x2 x1x2 x 0 x1x2 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源就 x0y1y2klx1x211,x1；x1x0欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源x2将上式代入 2并整理，得 y00121 x00.欢迎下载精品学习资源PQ中点为 M的轨迹方程为 y2 x0x212 x 21x0欢迎下载精品学习资源说明： 此题主要考查了直线、抛物线的基础学问，以及求轨迹方程的常用方法，此题的关键是利用导数求切线的斜率以及敏捷运用数学学问分析问题、解决问题；欢迎下载精品学习资源七、向量法：22例 7 、1995 全国理已知椭圆如图6， xyx 1，直线 L：y 1， P 是 L欢迎下载精品学习资源2416128上一点，射线 OP 交椭圆于点 R，又点 Q 在 OP 上且满意 |OQ|·|OP| |OR|2.当点 P 在 L 上移动时，求点 Q 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线图 6欢迎下载精品学习资源解：由OQ, OR, OP共线, 设ORmOQ, OPnOQ, OQx, y欢迎下载精品学习资源就ORmx,my, OPm2 x2nx, ny,由| OP |.| m2 y2OQ | | OR|2 ,得nm21欢迎下载精品学习资源R在椭圆上,1,2416欢迎下载精品学习资源又 点P在L上nxny1128欢迎下载精品学习资源x2y21xy,21x2y2xy代入（ 1）得：欢迎下载精品学习资源2416m128n2416128欢迎下载精品学习资源x12 y12551即为所求的轨迹为椭圆；23此题解法较多，是一道有难度的多动点轨迹问题，假如用常规方法求解，其过程曲折，运算纷杂， 而利用向量作形与数的转化，由此绽开思路， 不仅削减运算量， 其过程也就变得平整自然总结：以上给出了处理轨迹问题的几种常用方法， 对于下面几点， 在复习轨迹问题时是值得我们引起高度重视的：1. 高考方向要把握高考考查轨迹问题通常是以下两类：一类是简洁题，以定义法、相关点法、待定系数法等为主，另一类是高难度的纯轨迹问题，综合考查各种方法；2. “轨迹”、“ 方程”要区分求轨迹方程，求得方程就可以了；假设是求轨迹，求得方程仍不够，仍应指出方程所表示的曲线类型定形、定位、定量；3. 抓住特点选方法处理轨迹问题成败在于： 对各种方法的领会与解题体会的积存；所以在处理轨迹问题时肯定要善于依据题目的特点挑选恰当的方法什么情形下用什么方法上面已有介绍，这里不再重复 ；欢迎下载精品学习资源4. 仔细细致定范畴确定轨迹的范畴是处理轨迹问题的难点， 也是同学简洁显现错误的地方， 在确定轨迹范畴时，应留意以下几个方面：精确懂得题意，挖掘隐含条件；列式不转变题意，并且要全面考虑各种情形；推理要严密，方程化简要等价；消参时要保持范畴的等价性；数形结合，查 “漏”补“ 缺”；5. 平几学问 “ 用当先”在处理轨迹问题时， 要特殊留意运用平面几何学问，其作用主要有：题中没有给出明显的条件式时，可帮忙列式；简化条件式；转化化归；6. 向量工具 “ 用自如 ”向量是新课改后增加的内容， 它是数形转化的纽带， 它在初等数学的各个分支中起着非常重要的工具作用，在复习时应加强训练，使同学娴熟把握，并能运用自如欢迎下载