2022年勾股定理思维导图+题型总结.docx

3 一 勾股定理1：勾股定理假如直角三角形 的两条直角边长分别为 a、b,斜边长为 c, 那么 a2+b2 c2我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”,较长的直角边称为“股”,斜边称为“弦”.弦勾要点诠释：股22、勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系,是直角三角形的重要性质之一, 其主要应用：（1） ）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC 中,C90,就 ca2b2 , bc 2a,22acb）（2） ）已知直角三角形的一边与另两边的关系,求直角三角形的另两边（3） ）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题3：勾股定理的证明勾股定理的证明方法许多,常见的是拼图的方法,用拼图的方法验证勾股定理的思路是图形经过割补拼接后,只要没有重叠,没有间隙,面积不会转变baaccb依据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理cbc常见方法如下：aab方法一： 4SS正方形 EFGHS正方形 ABCD, 41 ab2ba22DCc,化简可证HEGF方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积baAcB四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S41 abc222abc2aAD大正方形面积为 Sab 2a 22abb2cb所以 a 2b2c2cEa1112S梯形ab abS梯形2S ADES ABE2abcBbC方法三：2,22,化简得证2224：勾股数能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即abc 中, a , b , c 为正整数时,称 a , b , c 为一组勾股数记住常见勾股数可以提高解题速度, 如 3,4,5 ； 6,8,10 ；5,12,13 ；7,24,25 ；8,15,17 ；9,40,41 等22用含字母的代数式表示 n 组勾股数： n1,2n, n1 （ n2, n 为正整数）；2222222n1,2n2n,2 n2n1 （ n 为正整数）mn ,2 mn, mn （ mn,m , n 为正整数）5、留意：（1） ）勾股定理的证明实际采纳的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的；（2） ）勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系,可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目；（3） ）勾股定理在应用时肯定要留意弄清谁是斜边谁直角边,这是这个学问在应用过程中易犯的主要错误；cA（4） ）推理格式： ABC为直角三角形222222b AC +BC=AB.（或 a +b =c ）CaB（二）勾股定理的逆定理假如三角形的三边长分别为： a、b、c,且满意 a2+b2c2,那么这个三角形是直角三角形；要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形” 来确定三角形的可能外形,在运用这肯定理时应留意：（1） ）第一确定最大边,不妨设最长边长为：c；（2） ）验证 c2 与 a2+b2 是否具有相等关系,如 c2 a2+b2,就 ABC是以 C为直角的直角三角形（如 c2>a2+b2,就 ABC是以 C为钝角的钝角三角形； 如 c2<a2+b2,就 ABC为锐角三角形） ；（定理中 a , b , c 及 a2b2c2 只是一种表现形式,不行认为是唯独的,如如三角形三边长a ,222b , c 满意acb ,那么以 a , b , c 为三边的三角形是直角三角形,但是b 为斜边）3：勾股定理与勾股定理逆定理的区分与联系区分：勾股定理是直角三角形的性质定理,而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反,都与直角三角形有关；4：互逆命题的概念假如一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设,这样的两个命题叫做互逆命题；假如把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题；六、随堂练习1. 在 RtABC 中,C90 , A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、b 和c如 a2 , b4 ,就 c =； 斜边上的高为.如 b3, c4 ,就 a =.斜边上的高为.a如 b3,且 c210,就 a =, b . 斜边上的高为.b如 c12 ,且 a3 3 ,就 c =, b . 斜边上的高为.2. 正方形的边长为 3,就此正方形的对角线的长为.3. 正方形的对角线的长为 4,就此正方形的边长为.4. 有一个边长为多长dm50 的正方形洞口,想用一个圆盖去盖住这个洞口,求圆的直径至少5. 一旗杆离地面6m 处折断,旗杆顶部落在离旗杆底部8m 处,求旗杆折断之前有多高？46. 如图,一个3m 长的梯子 AB斜靠在一竖直的墙 AO 上,这时 AO 的距离为2.5m ,假如梯子顶端 A 沿墙下滑0.5m ,那么梯子底端 B 也外移0.5 m 吗？勾股定理典型例题及专项训练专题一：直接考查勾股定理1. 已知等腰三角形腰长是 10,底边长是 16,求这个等腰三角形的面积；2、已知：如图, B=D=90°, A=60°, AB=4,CD=2；求：四边形 ABCD的面积；ADBC3：在 ABC中, AB=13,AC=15,高 AD=12,就 BC的长为多少？A4：已知如图,在 ABC中,C=60°, AB=4的高,求 BC的长；3 ,AC=4,AD是 BC边上CDB5、如图,在 Rt ABC中, ACB=90°, CDAB于 D,设 AB=c,AC=b,BC=a,CD=h；C1122求证：（ 1） ab12h（2） abchA DB（3） ） 以 ab,h,ch为三边的三角形是直角三角形练习6. 如图, ABC中, AB=AC, A=45o, AC的垂直平分线分别交 AB、AC于 D、E,如 CD=1,就5BD等于A.1 BCD7. 已知始终角三角形的斜边长是 2,周长是 2+6 ,求这个三角形的面积8. 如图 Rt ABC ,C90AC3, BC4 , 分别以各边为直径作半圆,求阴影部分面积CAB6. 如图, ABC中, AB=AC=2,0 BC=32,D 是 BC上一点,且 AD AC,求 BD的长7. 如图, ABC中, ACB=90°, AC=BC,P 是 ABC内一点,满意 PA=3,PB=1,.PC=2,求 BPC的度数8. 已知 ABC中, ACB=90°, AC=3,BC=4,（1）AD平分 BAC,交 BC于 D点；求 CD长（ 2） BE平分 ABC,交 AC于 E,求 CE长BBDAC6AEC专题二勾股定理的证明1、如图,直线 l 上有三个正方形 a, b,c ,如a, c 的面积分别为 5b和 11,就 b 的面积为（）acl（） 4（） 6（） 16（） 552、如图是 2002 年 8 月在北京召开的第 24 届国际数学家大会会标中的图案,其中四边形ABCD和 EF都是正方形 .证： ABF DAEAEHDBFGC3、图是一个边长为 mn的正方形,小颖将mn m n能验证的式子是（）m n图图22222Amnmn4mnB mnmn 2mn第 3 题图22222C mn2mnmnD mn mnmn专题三网格中的勾股定理1、如图 1,在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段,其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）（ A） CD、EF、GH（ B） AB、EF、GH（ C） AB、CD、GH （ D） AB、 CD、EFA7CB图中的阴影部分拼成图的外形,由图和图2、如图,正方形网格中,每个小正方形的边长为1,就网格上的三角形 ABC中,边长为无理数的边数是（）AA 0B 1C 2D 3B C3、（ 2022 年四川省眉山市）如图,每个小正方形的边长为1,A、B、C是小正方形的顶点,就 ABC的度数为（）AA90°B60°C45°D 30°4、如图,小正方形边长为 1,连接小正方形的三个得到,可得 ABC,就 C边 AC上的高为（）932A.2B.3510C.3545B5D.55、如图,正方形网格中的每个小正方形的边长都是1,每个小格的顶点称为格点,请以图中的格点为顶点画一个边长为 3、的三角形所画的三角形是直角三角形吗 .说明理由6、如图,每个小正方形的边长是1,在图中画出面积为 2 的三个外形不同的三角形（要求顶点在交点处,其中至少有一个钝角三角形）专题四实际应用建模测长1、如图（8）,水池中离岸边 D点 1.5 米的 C处,直立长着一根芦苇,出水部分 BC的长是 0.5米,把芦苇拉到岸边,它的顶端B 恰好落到 D点,并求水池的深度 AC.2、有一个传感器掌握的灯,安装在门上方,离地高4.5 米的墙上,任何东西只要移至 5 米以内,灯就自动打开,一个身高 1.5 米的同学,要走到离门多远的地方灯刚好打开？3、台风是一种自然灾难,它以台风中心为圆心在四周数十千米范畴内形成气旋风暴,有极强的破坏力,如图,据气象观测,距沿海某城市A的正南方向 220 千米 B处有一台风中心,其中心最大风力为 12 级,每远离台风中心 20 千米,风力就会减弱一级,该台风中心现正以15 千米/ 时的速度沿北偏东 30o方憧憬 C移动,且台风中心风力不变,如城市所受风力达到或走过四级,就称为受台风影响 .（1） ）该城市是否会受到这交台风的影响？请说明理由.（2） 如会受到台风影响,那么台风影响该城市连续时间有多少？（3） 该城市受到台风影响的最大风力为几级？专题五梯子问题1、假如梯子的底端离建筑物 9 米,那么 15 米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？2、一架方梯长 25 米,如图,斜靠在一面墙上,梯子底端离墙7 米,（ 1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）假如梯子的顶端下滑了4 米,那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？3、如图,梯子 AB斜靠在墙面上, ACBC,AC=BC,当梯子的顶端 A 沿 AC方向下滑 x 米时,梯足 B 沿 CB方向滑动 y 米,就 x 与 y 的大小关系是（）A.xyB.xyC.AxyD.不能确定BC专题六最短路线1、如图,学校教学楼旁有一块矩形花铺,有极少数同学为了躲开拐角走“捷径”,在花铺内走出了一条“路”他们仅仅少走了（）步路（假设 2 步为 1 米）,却踩伤了花草A、6B、5C、4D、32、如图,一圆柱体的底面周长为20 ,高 AB为 10 , BC是上底面的直径；一蚂蚁从点 A动身,沿着圆柱的侧面爬行到点C,试求出爬行的最短路程；BCAD3、如图,有一个圆柱体,底面周长为 20 ,高 AB为 10 ,在圆柱的下底面 A点处有一只蚂蚁,它想绕圆柱体侧面一周爬行到它的顶端C点处,那么它所行走的路程是多少？C104、如图,假如这是一个圆柱体的玻璃杯, AD 是杯底直径, C是杯口一点, 其他已知条件不变,蚂蚁从外部点 A处爬到杯子的内壁到达高 CD的中点 E处,最短该走多远呢？ 杯 BC子的厚度不计）EAD5、如图,一只蚂蚁从一个棱长为1 米,且封闭的正方体盒子外部的顶点A 向顶点 B 爬行,问这只蚂蚁爬行的最短路程为多少米？BA6、如图,长方体的长为 15cm,宽为 10cm,高 为 20cm,点 B到点 C的距离为 5cm,一只蚂蚁假如要沿着长方体的表面从 A 点爬到 B 点,需要爬行的最短距离是多少？CB2010A157、如图,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别为 2m、0.3m、0.2m,A 和 B 是台阶上两个相对的顶点, A点有一只蚂蚁,想到 B点去吃可口的食物,问蚂蚁沿着台阶爬行到 B点的最短路程是多少？.B110.22A03专题七折叠三角形1、如图,一块直角三角形的纸片,两直角边AC=6, BC=8；现将直角边 AC沿直线 AD折叠,使它落在斜边 AB上,且与 AE重合,求 CD的长AECDB2、如图,小颍同学折叠一个直角三角形的纸片,使A 与 B 重合,A折痕为 DE,如已知 AC=10cm,BC=6cm你, 能求出 CE的长吗？DCEB3、如图,ABC的三边 BC=3,AC=4、AB=5,把 ABC沿最长边 AB翻折后得到ABC,就 CC的长等于（）AC'6A. 512B. 513C. 524BD. 5C专题八折叠四边形1、折叠矩形 ABCD的一边 AD,点 D落在 BC边上的点 F 处, 已知 AB=8CM,BC=10C求M,（ 1）CF的AD12EBFC长（2）EC的长.2、在矩形纸片 ABCD中, AD=4cm,AB=10cm,按图所示方式折叠,使点 B 与点 D重合,折痕为15EF,求（ 1） DE的长；（ 2）EF的长；AEBDFCC'3. 矩形纸片 ABCD的边长 AB=4,AD=2将矩形纸片沿 EF折叠,使点 A与点 C重合,折叠后在其一面着色（如图）,就着色部分的面积为 .GDFCAEB第 3 题图4、如图 2-3 ,把矩形 ABCD沿直线 BD向上折叠, 使点 C落在 C的位置上, 已知 AB=.3,BC=7, 重合部分 EBD的面积为5、如图 5,将正方形 ABCD折叠, 使顶点 A与 CD边上的点 M重合, 折痕交 AD于 E,交 BC于 F, 边 AB折叠后与 BC边交于点 G；假如 M为 CD边的中点,且 DE=6,求正方形 ABCD的面积DMCEGFAB6、矩形 ABCD中, AB=6,BC=8,先把它对折,折痕为EF,绽开后再沿 BG折叠,使 A落在 EF上的 A1,求其次次折痕 BG的长；CBEA'FDGA专题九旋转问题：1、如图, P是等边三角形 ABC内一点, PA=2,PB=23 ,PC=4, 求ABC的边长 .2、如图, ABC为等腰直角三角形, BAC=90°, E、F 是 BC上的点,且 EAF=45°,摸索究BE2、CF 2、EF2间的关系,并说明理由 .3、如下列图, ABC是等腰直角三角形, AB=AC, D是斜边 BC的中点, E、F 分别是 AB、AC边上的点,且 DEDF,如 BE=12, CF=5求线段 EF的长；BD224、如下列图,已知在 ABC中,AB=AC, BAC=90 ,D是 BC上任一点,求证：CD22 AD；