2022年二次函数中的存在性问题.pdf

学习好资料欢迎下载二、已知三个定点， 再找一个定点构成平行四边形（平面内有三个点满足）1. 【08 湖北十堰】已知抛物线baxaxy22与x轴的一个交点为 A(-1,0)，与 y 轴的正半轴交于点C直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x轴的另一个交点B 的坐标；当点 C 在以 AB 为直径的P 上时，求抛物线的解析式；坐标平面内是否存在点M,使得以点 M 和中抛物线上的三点A、B、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在,请求出点M的坐标；若不存在 ,请说明理由解：对称轴是直线：1x，点B的坐标是 (3,0) 2 分说明：每写对1 个给 1 分， “直线” 两字没写不扣分如图，连接PC，点A、B的坐标分别是A(-1,0)、B (3,0)，AB4ABPC242121在 RtPOC中，OPPAOA211，POPCOC3122222b33 分当01，yx时，aa032a334 分xxy3332332 5 分存在6 分理由：如图，连接AC 、BC设点M的坐标为),(yxM当以AC或BC为对角线时，点M在x轴上方，此时CMAB，且CMAB由知，AB4， |x| 4，3OCyx 4点M的坐标为)3,4()3,4(或M 9 分说明：少求一个点的坐标扣1 分当以AB为对角线时，点M在x轴下方过M作MNAB于N，则MNBAOC90四边形 AMBC 是平行四边形，ACMB，且ACMBCAOMBNAOCBNMBNAO1，MNCO3OB3，0N312点M的坐标为(2,3)M12 分说明：求点M的坐标时，用解直角三角形的方法或用先求直线解析式，然后求交点M的坐标的方法均可，请参照给分综上所述，坐标平面内存在点M，使得以点A、B、C、M 为顶点的四边形是平行四边形其坐标为123(4, 3),( 4, 3),(2,3)MMM说明：综上所述不写不扣分；如果开头“存在” 二字没写，但最后解答全部正确，不扣分。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载2. 【09 浙江湖州】已知抛物线22yxxa（0a）与y轴相交于点A，顶点为M.直线12yxa分别与x轴，y轴相交于BC，两点，并且与直线AM相交于点N. (1)填空：试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标，则MN，；(2)如图，将NAC沿y轴翻折，若点N的对应点N恰好落在抛物线上，AN与x轴交于点D，连结CD，求a的值和四边形ADCN的面积；(3)在抛物线22yxxa（0a）上是否存在一点P，使得以PACN， ， ，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，试说明理由. （1）411133MaNaa，. 4 分（2）由题意得点N与点N关于y轴对称，N4133aa，将N的坐标代入22yxxa得21168393aaaa，10a（不合题意，舍去） ，294a. 2 分334N，点N到y轴的距离为3. 904A，N334，直线AN的解析式为94yx，它与x轴的交点为904D， ，点D到y轴的距离为94. 1919918932222416ACNACDADCNSSS四边形. 2 分（3）当点P在y轴的左侧时，若ACPN是平行四边形，则PN平行且等于AC，把N向上平移2a个单位得到P，坐标为4733aa，代入抛物线的解析式，得：27168393aaaa10a（不舍题意，舍去） ，238a，12P7，8. 2 分第（ 2）题x y B C O D A M N Nx y B C O A M N P1 P2 备用图精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载当点P在y轴的右侧时，若APCN是平行四边形，则AC与PN互相平分，OAOCOPON，P与N关于原点对称，4133Paa，将P点坐标代入抛物线解析式得：21168393aaaa，10a（不合题意，舍去） ，2158a，5528P， 2 分存在这样的点11 72 8P，或25528P，能使得以PACN， ， ，为顶点的四边形是平行四边形二、已知两个定点，再找两个点构成平行四边形确定两定点连接的线段为一边，则两动点连接的线段应和已知边平行且相等）1 【09 福建莆田】 已知，如图抛物线23(0)yaxaxc a与 y 轴交于 C点，与 x 轴交于 A、B两点， A点在 B点左侧。点 B的坐标为 (1，0),OC=30B (1)求抛物线的解析式； (2)若点 D是线段 AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD 面积的最大值： (3)若点 E在 x 轴上，点 P在抛物线上。是否存在以A、C、E、P为顶点且以 AC为一边的平行四边形 ?若存在，求点 P的坐标；若不存在，请说明理由解： （1）对称轴3322axa 1 分又 OC=3OB=3 ，0a，C（0，3） 2 分方法一：把B(1,0) 、C(0， 3)代入23yaxaxc得：330caac解得：334ac，239344yxx4 分方法二： B（1，0） ， A(-4 ，0) 可令(4)(1)ya xx把 C(0，-3) 代入得：34a3(4)(1)4yxx4 分239344xx（2）方法一：过点D作 DM y 轴分别交线段AC和 x 轴于点 M 、 N。ABCACDABCDSSS四边形15115()2222DMANONDM 5 分A(-4 ，0)，C(0，-3) 设直线 AC的解析式为ykxb代入求得：334yx 6 分精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载令239(3)44D xxx，3(3)4M xx，2233933(3)(2)34444DMxxxx 7 分当2x时， DM 有最大值3 此时四边形ABCD 面积有最大值272。 8 分方法二：过点D作 DQ y 轴于 Q ，过点 C作1CCx 轴交抛物线于1C，从图象中可判断当嗲D在1CC下方的抛物线上运动时，四边形ABCD 才有最大值。则OBCDQCABCDAOQDSSSS四边形梯形=311(4)(3)222DQOQDQOQ=33222OQDQ 5 分令239(3)44D xxx，则2233933272(3)(2)244222ABCDSxxxx四边形 7 分当2x时，四边形ABCD 面积有最大值272。 8 分（3）如图所示，讨论：过点C作1CPx 轴交抛物线于点1P，过点1P作11PEAC交 x 轴于点1E，此时四边形11ACPE为平行四边形，9 分C(0，-3) 令2393344xx得：1203xx，13CP。1( 33)P，2.【09 福建南平】 已知抛物线：xxy22121（1）求抛物线1y的顶点坐标 . （2）将抛物线1y向右平移 2 个单位，再向上平移1 个单位，得到抛物线2y，求抛物线2y的解析式 . （3）如下图，抛物线2y的顶点为 P，x轴上有一动点 M，在1y、2y这两条抛物线上是否存在点 N，使 O（原点） 、P、M、N 四点构成以 OP 为一边的平行四边形，若存在，求出N 点的坐标；若不存在，请说明理由.【提示：抛物线cbxaxy2（a0）的对称轴是，abx2顶点坐标是abacab44,22】解： （1）依题意0, 2,21cba 1 分2)21(222ab，2)21(4204422abac 3 分顶点坐标是（2，2）4 分（2）根据题意可知xyy12345678954321-1-2-31y2-1精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载y2解析式中的二次项系数为215分且 y2的顶点坐标是（4，3）6 分y23)4(212x，即： y254212xx 8 分（3）符合条件的N点存在9 分如图：若四边形OPMN为符合条件的平行四边形，则OPMN，且MNOPBMNPOA，作xPA轴于点A，xNB轴于点B 090MBNPAO，则有NMBPOA（AAS ）BNPA点 P 的坐标为（ 4,3）3PANB 10 分点 N 在抛物线1y、2y上，且 P 点为1y、2y的最高点符合条件的N 点只能在x轴下方点 N 在抛物线1y上，则有：32212xx解得：102x或102x11 分点 N 在抛物线2y上，则有：33)4(212x解得：324x或324x13 分符合条件的N 点有四个：)3,324();3,102();3,324();3,102(4321NNNN14 分两定点连接的线段没确定为平行四边形的边时，则这条线段可能为平行四边形得边或对角线1 【07 浙江义乌】如图，抛物线223yxx与 x 轴交 A、B两点（ A点在 B点左侧），直线l与抛物线交于 A、C两点，其中C点的横坐标为2（1）求 A、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式；（2）P是线段 AC 上的一个动点，过P点作 y 轴的平行线交抛物线于E 点，求线段 PE 长度的最大值；（3）点 G 抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F，使 A、C、F、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由解： （1）令 y=0，解得11x或23x（1 分）A（-1，0）B（3，0） ； （1 分）将 C 点的横坐标x=2 代入223yxx得 y=-3， C（2，-3） （1 分）直线 AC 的函数解析式是y=-x-1 （2）设 P点的横坐标为x（-1x2） （注： x 的范围不写不扣分）则 P、E 的坐标分别为：P（x，-x-1） ， （1 分）E（2( ,23)x xx（1 分）P 点在 E 点的上方， PE=22(1)(23)2xxxxx（2 分）当12x时， PE的最大值 =94（1 分）（3）存在 4 个这样的点F，当 AF为平行四边形的边时：123(1,0),( 3,0),(47),(47)FFFFxyy12345678954321-1-2-3-41y2-1精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载当 AF为平行四边形的对角线时：1234(1,0),( 3,0),(47),(47)FFFF2【09辽宁抚顺】已知： 如图所示，关于x的抛物线2(0)yaxxc a与x轴交于点( 2 0)A，、点(6 0)B，与 y 轴交于点 C （1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（2）在抛物线上有一点 D ，使四边形 ABDC 为等腰梯形，写出点 D 的坐标，并求出直线 AD的解析式；（3）在（ 2）中的直线 AD 交抛物线的对称轴于点M ，抛物线上有一动点P ，x轴上有一动点Q是否存在以AMPQ、 、为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由解： （1）根据题意，得4203660acac 1 分解得143ac 3 分抛物线的解析式为2134yxx 4 分顶点坐标是（2，4） 5 分（2）(4 3)D，6 分设直线AD的解析式为(0)ykxb k直线经过点( 2 0)A，、点(4 3)D，2043kbkb7 分121kb8 分112yx 9 分（3）存在 10 分1(2 22 0)Q， 11 分2( 2 22)Q，0 12 分3(62 6 0)Q， 13 分4(62 6 0)Q， 14 分B A O C y x B A O C y x Q4 Q3 Q1 Q2 P3 P1 P2 D C P4 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - - -