2022年北京高考数学理科试题及答案.docx

精品学习资源绝密启封并使用完毕前2021 年一般高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共 5 页， 150 分；考试时长 120 分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效；考试终止后，将本试卷和答题卡一并收回；第一部分 （挑选题共 40 分）一、挑选题共 8 小题，每道题 5 分，共 40 分；在每道题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项；欢迎下载精品学习资源(1) 已知集合 A x | x22x0 ， B0, 1, 2 ，如 AB欢迎下载精品学习资源A0B0, 1C0,2D0, 1, 2(2) 以下函数中，在区间0, 上为增函数的是欢迎下载精品学习资源Ayx1By = x12(C) y2 x(D) ylog 0.5 x1欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源x(3) 曲线y1cos2sin，（ 为参数）的对称中心开头输入 m,n 的值欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源(A) 在直线 y2x 上B在直线 y2x 上km,S1欢迎下载精品学习资源C 在直线 yx1 上D在直线 yx1上kk 1欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源(4) 当 m7 , n3 时，执行如下列图的程序框图，输出的s 值为SS k欢迎下载精品学习资源A7B 42C 210D 840(5) 设 an 是公比为 q 的等比数列，就“ q1 ”是“ an ”为递增数列的k m n 1否是输出 S终止欢迎下载精品学习资源(A) 充分且不必要条件B必要且不充分条件C 充分且必要条件D 既非充分也非必要条件欢迎下载精品学习资源(6) 如 x, y 满意xykxy2020 且 zyx的最小值为4 ，就 k 的值是欢迎下载精品学习资源y0欢迎下载精品学习资源A2B2C121D2欢迎下载精品学习资源7在空间坐标系 Oxyz 中，已知A2,0,0， B2, 2,0， C 0, 2,0， D 1,1,2 ，如S1 ， S2 ，S3 分欢迎下载精品学习资源别表示三棱锥DABC 在 xOy ， yOz ， zOx就坐标平面上的正投影图形的面积，就欢迎下载精品学习资源AS1=S2 = S3BS1 = S2 且 S3S1 CS1 = S3 且 S3S2DS2 =S3 且 S1S3欢迎下载精品学习资源(8) 有语文、数学两学科，成果评定为“优秀”“合格”“不合格”三种如A 同学每科成果不低于B 同学， 且至少有一颗成果比B 高，就称“A 同学比 B 同学成果好， ”现在如干同学，他们之中没有一个人比另一个人成果好，且没有任意两个人语文成果一样，数学成果也一样的；问满意条件的多少同学A 1B 3C 4D 5其次部分 （非挑选题共 110 分） 二、填空题共 6 小题，每道题 5 分，共 30 分；2(9) 复数 i1 i1欢迎下载精品学习资源(10) 已知向量 a 、 b 满意 | a |1 ， b2,1 且 ab0 ，就 | 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2(11) 在设曲线 C 经过点 2, 2 ，且 y4x21具有相同渐近线，就C 的方程是欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源(12) 如等差数列 an 满意 a7a8a90 ， a7a100 ，就当 n 时， an 的前 n 项和最大欢迎下载精品学习资源(13) 把 5 件不同的产品摆成一排，如产品A 与产品 B 相邻 ，且产品 A 与产品 C 不相邻，就不同的摆法有种欢迎下载精品学习资源(14) 设函数f xAsinx（ A,是常数， A0,0 ），如f x 在区间 , 上具有单调性， 62欢迎下载精品学习资源且 f 2f - f ，就f x 的最小正周期为欢迎下载精品学习资源236欢迎下载精品学习资源三、解答题共 6 小题，共 80 分；解答应写出必要的文字说明，演算步骤；欢迎下载精品学习资源15（ 本小题 13 分） 如图，在 ABC 中，B，AB 38 ，点 D 在 BC 边上，且 CD =2，cosADC17欢迎下载精品学习资源（）求 sinBAD （）求 BD ， AC 的长ABDC16 （本小题 13 分）李明在 10 场篮球竞赛中的投篮情形如下（假设各场竞赛相互独立）场次投篮次数命中次数场次投篮次数命中次数主场 12212客场1188主场 21512客场21312主场 3128客场3217主场 4238客场41815主场 52420客场52512（）从上述竞赛中随机挑选一场，求李明在该场竞赛中投篮命中率超过0.6 的概率；（）从上述竞赛中随机挑选一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，另一场不超过 0.6的概率；（）记 x 是表中 10 个命中次数的平均数，从上述竞赛中随机挑选一场，记X 为李明在这场竞赛中的命欢迎下载精品学习资源中次数，比E X 和 x的大小；欢迎下载精品学习资源17（本小题 14 分）如图，正方形 AMDE 的边长为 2， B，C 分别为 AM 和 MD 的中点，在五棱锥 PABCDE欢迎下载精品学习资源中， F 为 PE 的中点，平面 ABC 与棱 PD， PC 分别相较于点 G 、 H （）求证：AB / / FG ；（）如 PA平面 ABCDE ，且 PA=AE ，求直线 BC 与平面 ABF 所成的角，并求线段PH 的长PFGEHDABCM欢迎下载精品学习资源(18) （本小题 13 分）已知函数f xx cos xsin x ， x0,2欢迎下载精品学习资源（）求证：f x0 ；（）如 asin x xb 在 0, 上恒成立，求 a 的最大值与 b 的最小值 2欢迎下载精品学习资源22(19) （本小题 14 分）已知椭圆 C ： x2 y4 （）求椭圆 C 的离心率；欢迎下载精品学习资源（）设 O 为原点，如点A 在椭圆 G 上，点 B 在直线 y2上，且 OAOB ，求直线 AB 与圆 x2y22欢迎下载精品学习资源的位置关系，并证明你的结论欢迎下载精品学习资源(20) （本小题 13 分）对于数对序列Pa1 ,b1 ， a2 , b2 ， an , bn ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源记 T1 Pa1b1 , Tk Pbkmax Tk1 P, a1a2ak 2kn ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源其中 max Tk1 P, a1a2ak表示 Tk1 P 和 a1a2ak 两个数中最大的数欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源（）对于数对序列P2,5， 4,1 ， 求 T1 P ， T2 P ；欢迎下载精品学习资源（） 记 m 为四个数 a 、b 、c 、d 的最小值， 对于两个数对 a,b ， c, d 组成的数对序列 Pa,b ， c, d 欢迎下载精品学习资源和 P 'c, d ， a, b ，试分别对 ma 和 mb 时的情形比较T2 P 和T2 P ' 的大小；欢迎下载精品学习资源（）在由 5 个数对 11,8 ， 5, 2 ， 16,11 ， 11,11 ， 4,6 组成的有序数对序列中，写出一个数对序列 P 使 T5 P 最小，并写出 T5 P 的值（只需写出结论） ；欢迎下载精品学习资源绝密考试终止前2021 年一般高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷） 参考答案欢迎下载精品学习资源一、挑选题（共8 小题，每道题5 分，共40 分）（ 1） C（2） A（3） B（4） C（ 5） D（ 6） D（ 7） D（ 8）B二、填空题（共 6 小题，每道题5 分，共 30 分）（ 9）1（ 10） 5欢迎下载精品学习资源2（ 11） xy1 y2x（12） 8欢迎下载精品学习资源2312（ 13） 36（ 14）三、解答题（共 6 小题，共 80 分）（ 15）（共 13 分）解：欢迎下载精品学习资源（ I ）在ADC 中，由于COSADC1 ，所以7sinADC4 3 ；7欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以 sinBADsinADCB欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源sinADCcos BcosADCsin B欢迎下载精品学习资源431133 3727214（）在ABD 中，由正弦定理得欢迎下载精品学习资源BDABsinBAD833143 ，欢迎下载精品学习资源sinADB437欢迎下载精品学习资源在 ABC 中，由余弦定理得欢迎下载精品学习资源AC 2AB2BC22AB BCcosB欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源82522851492欢迎下载精品学习资源所以 AC7（ 16）（共 13 分）解：（ I ） 依据投篮统计数据，在10 场竞赛中，李明投篮命中率超过0.6 的场次有 5 场，分别是主场 2，主场3，主场 5，客场 2，客场 4.所以在随机挑选的一场竞赛中，李明的投篮命中率超过0.6 的概率是 0.5.（）设大事 A 为“在随机挑选的一场主场竞赛中李明的投篮命中率超过0.6 ”， 大事 B 为“在随机挑选的一场客场竞赛中李明的投篮命中率超过0.6 ”，大事 C 为“在随机挑选的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6 ，一场不超过0.6 ”；就 C=ABAB ， A,B 独立；欢迎下载精品学习资源依据投篮统计数据，PA3 , PB2 .欢迎下载精品学习资源55欢迎下载精品学习资源PCP AB P AB欢迎下载精品学习资源332255551325所以，在随机挑选的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6 ，一场不超过 0.6 的13概率为.25（） EXx .欢迎下载精品学习资源（ 17）（共 14 分）解：（ I ） 在正方形中，由于B 是 AM 的中点，所以 AB DE ；又由于 AB平面 PDE，所以 AB 平面 PDE，由于 AB平面 ABF ，且平面 ABF平面 PDFFG ，所以 AB FG ；z欢迎下载精品学习资源（）由于 PA底面 ABCDE所,以 PAAB ， PAAE .P欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源如图建立空间直角坐标系Axyz , 就FGy欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源A0,0,0, B1,0,0 , C2,1,0 , P0,0,2, F 0,1,1,EHD欢迎下载精品学习资源BC1,1,0.设平面 ABF的法向量为 nACBMx x, y, z ，就欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源n AB0,x0,即欢迎下载精品学习资源n AF0,yz0.欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源令 z1, ， 就 y1 ； 所 以 n 0 ,1 , ，1设 直 线 BC 与 平 面ABF 所 成 角 为a, 就欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源sin acosn, BCn BC1；n BC2欢迎下载精品学习资源设点 H 的坐标为 u,v, w. ；欢迎下载精品学习资源由于点 H 在棱 PC 上，所以可设PHPC 01, ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源即 u,v, w22,1, 2. ；所以 u2 , v, w22；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源由于 n 是平面 ABF的法向量，所以n AH0 ，即 0,1,1 2 ,22 0 ；欢迎下载精品学习资源,.解得2 ，所以点 H 的坐标为 4 2 2；33 3 3所以 PH4 22 24 22 333欢迎下载精品学习资源（ 18）（共 13 分）解：欢迎下载精品学习资源（ I ）由f xxcosxsin x 得欢迎下载精品学习资源f ' xcosxxsin xcosxxsin x ；欢迎下载精品学习资源由于在区间 0, 上2f ' xx sin x0 ，所以f x在区间 0,上单调递减；2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源从而 fxf 00 ；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源（）当 x0 时，“ sin xa ”等价于“ sinxxax0 ”“ sin xb”等价于“ sin xbxx0 ”；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源令 gxsin xcx ，就g ' xcos xc ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源当 c0 时，g x0 对任意x0, 恒成立；2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源当 c1 时，由于对任意 x0, ， g ' x 2cos xc0 ，所以g x 在区间 0,上单调递减；2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源从而 gxg00 对任意 x0, 恒成立；2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源当 0c1时，存在唯独的x00, 使得2g 'x0cos x0c0 ；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源gx 与g ' x 在区间 0,2x上的情形如下：0, x0 x0 x0 , 2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源g 'x+0-欢迎下载精品学习资源g x欢迎下载精品学习资源由于 gx 在区间0, x0上是增函数，所以g x0g 00 ；进一步，“g x0 对欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源任意 x0, 恒成立”当且仅当2g1c 220 ，即 0c2 ，欢迎下载精品学习资源综上所述，当且仅当c2 时， g x0对任意 x0, 恒成立；当且仅当2c1 时，欢迎下载精品学习资源gx0 对任意 x0, 恒成立；2欢迎下载精品学习资源所以，如asin xb 对任意 x x0, 恒成立，就 a最大值为22， b 的最小值为 1.欢迎下载精品学习资源（ 19）（共 14 分）解：2（ I ） 由题意，椭圆C 的标准方程为 x2y1 ；欢迎下载精品学习资源42欢迎下载精品学习资源所以 a 24, b 22 ，从而 c2a2b22 ；因此 a2, c2 ；欢迎下载精品学习资源c2故椭圆 C 的离心率 e；a2欢迎下载精品学习资源（）直线 AB与圆 x2y 22 相切；证明如下：欢迎下载精品学习资源设点 A,B 的坐标分别为x0, y0 ， t ,2，其中x00 ；欢迎下载精品学习资源由于 OAOB ，所以OA OB0 ，即 tx2 y0 ，解得 t2 y0；欢迎下载精品学习资源00x0欢迎下载精品学习资源当 x0t 时， y0t 2，代入椭圆 C的方程，得 t2 ，2欢迎下载精品学习资源2故直线 AB 的方程为 x2 ；圆心 O到直线 AB的距离 d2 ；欢迎下载精品学习资源此时直线 AB与圆 x2y2 相切；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源当 x0t 时，直线 AB的方程为 y2y02 xt ，x0t欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源即 y02 xx0t y2 x0ty00 ，欢迎下载精品学习资源圆心 0 到直线 AB的距离欢迎下载精品学习资源d2 x0 y22ty0 xt 2欢迎下载精品学习资源00欢迎下载精品学习资源又 x 22 y 24 ， t2 y0故欢迎下载精品学习资源00x02 y 24x欢迎下载精品学习资源2x0d0x04y 20x02x 48x 216欢迎下载精品学习资源x 2y 20400欢迎下载精品学习资源x0002202x 2欢迎下载精品学习资源此时直线 AB与圆 x2y2 相切；欢迎下载精品学习资源（ 20）（共 13 分）解：欢迎下载精品学习资源（ I ）T1 P257欢迎下载精品学习资源T1P1maxT1 P,241max 7,6 =8欢迎下载精品学习资源（）T2 Pmaxabd,acd欢迎下载精品学习资源T2 P'maxcdb, cab .欢迎下载精品学习资源当 m=a 时， T2 P ' = max cdb, cab = cdb由于 cdbcbd ，且 acdcbd ，所以 T2 P T2 P '欢迎下载精品学习资源当 m=d 时，T2 P 'maxcdb, cabcab欢迎下载精品学习资源由于 abd cab ，且 acdcab 所以 T2 P T2 P ' ；所以无论 m=a 仍是 m=d ， T2 P T2 P ' 都成立；欢迎下载精品学习资源（）数对序列P : （ 4,6），（ 11,11），（ 16,11），（ 11,8），（ 5,2）的 T5 P 值最小，欢迎下载精品学习资源T1P =10，T2 P =26，T3 P =42 ，T4 P =50 ，T5 P =52欢迎下载