2022年北京高考文科数学试卷与答案.docx

精品学习资源2021 年一般高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类 北京卷第一部分 挑选题共 40 分一、挑选题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1 2021 北京，文 1 已知集合 A 1,0,1，B x| 1 x 1 ，就 AB A 0B 1,0C 0,1D 1,0,12 2021 北京，文 2 设 a，b， c R，且 a b，就 11<A ac bcB abC a2 b2D a3 b33. 2021 北京，文 3 以下函数中，既是偶函数又在区间0 ， 上单调递减的是 y1A. xB y e xC y x2 1D ylg |x|4. 2021 北京，文 4 在复平面内，复数i2 i 对应的点位于 A第一象限B其次象限C第三象限D第四象限1欢迎下载精品学习资源5 2021 北京，文 5 在 ABC中， a3， b 5， sinA，就 sinB 3欢迎下载精品学习资源155A 5B 9C 3D 16 2021 北京，文 6 执行如下图的程序框图，输出的S 值为 欢迎下载精品学习资源A 1B23C1321D2610987欢迎下载精品学习资源72021 北京，文 7 双曲线 x2 ym 1 的离心率大于2 的充分必要条件是 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源A m12Bm1C m 1Dm 2欢迎下载精品学习资源8 2021 北京，文 8 如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中， P为对角线 BD1 的三等分点， P 到各顶点的距离的不同取值有 A 3 个B 4 个C 5 个D6 个其次部分 非挑选题共 110 分2二、填空题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分92021 北京，文 9 假设抛物线 y 2px 的焦点坐标为 1,0， 就 p；准线方程为102021 北京，文 10 某四棱锥的三视图如下图，该四棱锥的体积为11 2021 北京，文11 假设等比数列 an 满意 a2 a4 20，a3 a5 40，就公比 q；前 n 项和 Sn.x0,欢迎下载精品学习资源12 2021 北京，文12 设 D 为不等式组2 xyxy0,表示30欢迎下载精品学习资源的平面区域，区域D上的点与点 1,0之间的距离的最小值为欢迎下载精品学习资源13 2021 北京，文 13 函数 f x log 1 x, x21,的值域为欢迎下载精品学习资源2x, x1,142021 北京， 文 14 已知点 A1 ， 1 ，B3,0，C2,1假设平面区域D由全部满意 AP AB AC 1 2,0 1 的点 P组成，就 D的面积为三、解答题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程欢迎下载精品学习资源15 2021 北京，文 15 本小题共 13 分 已知函数 f x 2cos 2x 1sin 2x 12cos 4 x.欢迎下载精品学习资源(1) 求 f x 的最小正周期及最大值；欢迎下载精品学习资源,(2) 假设 2，且 f 22，求 的值欢迎下载精品学习资源16. 2021 北京，文 16 本小题共 13 分 以下图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于 100 表示空气质量优良，空气质量指数大于200 表示空气重度污染某人随机挑选3 月 1 日至3 月 13 日中的某一天到达该市，并停留2 天(1) 求此人到达当日空气质量优良的概率；(2) 求此人在该市停留时间只有1 天空气重度污染的概率；(3) 由图判定从哪天开头连续三天的空气质量指数方差最大？ 结果不要求证明 欢迎下载精品学习资源17. 2021 北京，文 17 本小题共 14 分 如图，在四棱锥P ABCD中， AB CD， AB AD， CD 2AB，平面PAD平面 ABCD， PA AD. E和 F 分别是 CD和 PC的中点求证：(1) PA底面 ABCD；(2) BE平面 PAD；(3) 平面 BEF平面 PCD.18. 本小题共 13 分欢迎下载精品学习资源已知函数f xx2xsin xcos x欢迎下载精品学习资源1假设曲线yf x 在点 a,f a 处与直线 yb 相切，求 a 与 b 的值；欢迎下载精品学习资源2假设曲线 yf x 与直线 yb 有两个不同的交点，求b 的取值范畴；欢迎下载精品学习资源22192021 北京，文 19 本小题共 14 分 直线 y kx m m0 与椭圆 W： x4是坐标原点(1) 当点 B的坐标为 0,1，且四边形 OABC为菱形时，求 AC的长；(2) 当点 B在 W上且不是 W的顶点时，证明：四边形OABC不行能为菱形 y 1 相交于 A，C 两点， O欢迎下载精品学习资源20 2021 北京，文 20 本小题共 13 分 给定数列 a1， a2， an，对 i 1,2 ， n 1，该数列的前 i项的最大值记为 Ai ，后 n i 项 ai 1， ai 2， an 的最小值记为 Bi ， di Ai Bi .1 设数列 an 为 3,4,7,1，写出 d1， d2， d3 的值；(2) 设 a1， a2， an n4 是公比大于1 的等比数列，且 a1 0. 证明： d1，d2， dn 1 是等比数列；(3) 设 d1， d2， dn 1 是公差大于 0 的等差数列，且 d1 0. 证明： a1， a2， an 1 是等差数列欢迎下载精品学习资源2021 年一般高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类 北京卷第一部分 挑选题共 40 分一、挑选题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1答案： B解析： 集合 A 中的元素仅有 1,0,1三个数，集合B 中元素为大于等于 1 且小于 1 的数，故集合 A，B 的公共元素为 1,0 ，应选 B.2答案： D解析： A 选项中假设 c 小于等于 0 就不成立， B 选项中假设 a 为正数 b 为负数就不成立， C选项中假设 a， b 均为负数就不成立，应选D.3答案： C解析： A 选项为奇函数， B 选项为非奇非偶函数， D 选项虽为偶函数但在 0 ， 上是增函数，应选C. 4答案： A解析： i2 i 1 2i ，其在复平面上的对应点为1,2，该点位于第一象限，应选A. 5答案： B欢迎下载精品学习资源解析： 依据正弦定理，ab，就 sinB b sinA 5 15 ，应选 B.欢迎下载精品学习资源6答案： Csin Asin BS212a3 39S2113欢迎下载精品学习资源解析： i 0 时，向下运行，将2 S13赋值给 S，i 增加 1 变成 1，经判定执行否，然后将2S121欢迎下载精品学习资源赋值给 S，i 增加 1 变成 2，经判定执行是，然后输出7答案： C13S，应选 C.21欢迎下载精品学习资源解析： 该双曲线离心率 e选 C. 8答案： B1m ，由已知1 1m>2 ，故 m1，故欢迎下载精品学习资源解析： 设正方体的棱长为a. 建立空间直角坐标系，如下图就 D0,0,0，D10,0 ，a ，C10 ，a，a ，C0 ，a, 0 ，B a，a, 0 ，B1 a，221欢迎下载精品学习资源a， a ， A a, 0,0 ， A1 a, 0， a ，Pa,a,a，欢迎下载精品学习资源3331212123欢迎下载精品学习资源就| PB | aaaa ，9993欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源| PD | 4 a 24 a21 a 2a ，欢迎下载精品学习资源999欢迎下载精品学习资源| PD | 4 a24 a 24 a 223 a ，欢迎下载精品学习资源19993欢迎下载精品学习资源| PC | |PA | 4 a 21 a24 a 2a ，欢迎下载精品学习资源11999欢迎下载精品学习资源| PC | | PA | 4 a21 a 21 a 26 a ，欢迎下载精品学习资源9993欢迎下载精品学习资源| PB | 1 a 21 a 24 a 26 a ，欢迎下载精品学习资源19993故共有 4 个不同取值，应选B.其次部分 非挑选题共 110 分二、填空题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分9 答案： 2x 1欢迎下载精品学习资源解析： 依据抛物线定义10 答案： 3p1， p 2，又准线方程为 x2p 1，故填 2， x 1.2欢迎下载精品学习资源解析： 由三视图知该四棱锥底面为正方形，其边长为3，四棱锥的高为 1，依据体积公式 V 13×3×3×1欢迎下载精品学习资源 3，故该棱锥的体积为3.11 答案： 22n 123解析： 依据等比数列的性质知a3a5 q a2 a4 ， q 2，又 a2 a4 a1qa1q ，故求得 a1 2，2 12 n欢迎下载精品学习资源 2 Snn1122 5 2.欢迎下载精品学习资源12 答案：5解析： 区域 D表示的平面部分如图阴影所示：依据数形结合知 1,0到 D的距离最小值为 1,0到直线 2x y 0 的距离| 210 |25.5513 答案： ， 2欢迎下载精品学习资源解析： 当 x1时，log 1 xlog 11 ，即log 1 xx0 ，当 x 1 时， 02 欢迎下载精品学习资源2221x2 ，即 0 2 2；故 f x 的值域为 ， 2 14 2021北京，文 14 已知点 A1 ， 1 ， B3,0， C2,1假设平面区域 D 由全部满意 AP AB AC 1 2,0 1 的点 P 组成，就 D的面积为答案： 3解析： AP AB AC ， AB 2,1， AC 1,2 设 P x， y ，就 AP x 1， y1 欢迎下载精品学习资源x12,得y12,2xy3 , 32 yx3 ,3欢迎下载精品学习资源1 2,0 1，欢迎下载精品学习资源62xy可得9,如图欢迎下载精品学习资源0x2y3,可得 A13,0， B14,2，C16,3，欢迎下载精品学习资源| A1B1| 43 2225 ，欢迎下载精品学习资源两直线距离 d| 96 |3 ，欢迎下载精品学习资源2215 S | A1B1| · d 3.三、解答题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 15解： 1 由于 f x 2cos 2x 1sin 2x 1 cos 4 x2 cos 2 xsin 2 x 1 cos 4 x2 1 sin 4x cos 4 x22 sin 4x ，24，最大值为所以 f x 的最小正周期为2 .22欢迎下载精品学习资源2 由于 f 22，所以sin4 1 .4欢迎下载精品学习资源,由于 2，所以 4 49 17,.44欢迎下载精品学习资源所以 416 59 . 故.4216欢迎下载精品学习资源解： 1 在 3 月 1 日至 3 月 13 日这 13 天中， 1 日、2 日、3 日、7 日、12 日、13 日共 6 天的空气质量优良，6所以此人到达当日空气质量优良的概率是.13(2) 依据题意，大事“此人在该市停留期间只有1 天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4 日， 或 5 日，或 7 日，或 8 日”所以此人在该市停留期间只有1 天空气重度污染的概率为4 .13(3) 从 3 月 5 日开头连续三天的空气质量指数方差最大17证明： 1 由于平面 PAD底面 ABCD，且 PA垂直于这两个平面的交线AD，所以 PA底面 ABCD.(2) 由于 AB CD， CD 2AB，E 为 CD的中点，所以 AB DE，且 AB DE.所以 ABED为平行四边形 所以 BE AD.又由于 BE平面 PAD，AD平面 PAD，所以 BE平面 PAD.(3) 由于 AB AD，而且 ABED为平行四边形， 所以 BE CD， AD CD.由1 知 PA底面 ABCD，所以 PA CD.所以 CD平面 PAD. 所以 CDPD.由于 E 和 F分别是 CD和 PC的中点， 所以 PD EF. 所以 CD EF.所以 CD平面 BEF.所以平面 BEF平面 PCD.欢迎下载精品学习资源182解：由 f x x xsinx cosx，得 f x x2 cosx 1 由于曲线 y f x 在点 a， f a 处与直线 y b 相切，所以 f a a2 cosa 0， b f a 解得 a 0， b f 0 1.2 令 f x 0，得 x 0.f x 与 f x 的情形如下：x ， 000 ，f x0f x12所以函数 f x 在区间 ， 0 上单调递减，在区间 0 ， 上单调递增， f 0 1 是 f x 的最小值 当 b1时，曲线 y f x 与直线 y b 最多只有一个交点；当 b 1 时， f 2b f 2 b 4b 2b1 4b 2b 1 b， f 0 1 b，所以存在 x1 2b, 0 ， x2 0,2 b ，使得 f x1 f x2 b.由于函数 f x 在区间 ， 0 和 0 ， 上均单调，所以当b 1 时曲线 yf x 与直线 y b 有且仅有两个不同交点综上可知，假如曲线y f x 与直线 y b 有两个不同交点，那么b 的取值范畴是 1 ， 19解： 1 由于四边形 OABC为菱形，所以 AC与 OB相互垂直平分欢迎下载精品学习资源所以可设 At, 12，代入椭圆方程得t 21441 ，即 t3 .欢迎下载精品学习资源所以 | AC| 23 .2 假设四边形 OABC为菱形由于点 B 不是 W的顶点，且 AC OB，所以 k0.22x4 y4,222由消 y 并整理得 1 kx 8kmx 4m4 0.4ykxm设 A x1， y1 ，C x2， y2 ，就 x1x24km， y1y2kx1x2mm.214k 22214 k2欢迎下载精品学习资源所以 AC的中点为 M4km14k2m,14 k2.1欢迎下载精品学习资源由于 M为 AC和 OB的交点，且 m0， k0，所以直线OB的斜率为.4k欢迎下载精品学习资源由于 k·14k 1，所以 AC与 OB不垂直欢迎下载精品学习资源所以四边形 OABC不是菱形，与假设冲突所以当点 B不是 W的顶点时，四边形OABC不行能是菱形20解： 1 d12， d2 3， d3 6.2 由于 a10，公比 q 1，所以 a1， a2， an 是递增数列因此，对 i 1,2 ， n 1， Ai ai ， Bi ai 1.于是对 i 1,2 ， n 1，欢迎下载精品学习资源di Ai Bi ai ai 1 a11 q qi 1.欢迎下载精品学习资源di1因此 di 0且diq i 1,2 ， n2 ，欢迎下载精品学习资源即 d1， d2， dn 1 是等比数列3 设 d 为 d1， d2， dn 1 的公差 对 1 i n 2，由于 Bi Bi 1， d 0，欢迎下载精品学习资源所以 Ai 1 Bi 1di 1Bi di d Bi di Ai .又由于 Ai 1 maxAi ， ai 1 ，所以 ai 1 Ai 1Ai ai .从而 a1， a2， an 1 是递增数列因此 Ai ai i 1,2 ， n 1 又由于 B1 A1d1 a1 d1 a1， 所以 B1 a1 a2 an 1.因此 an B1.所以 B1 B2 Bn 1 an.所以 ai Ai Bi di an di .因此对 i 1,2 ， n 2 都有 ai 1ai di 1 di d，即 a1， a2， an 1 是等差数列欢迎下载