2022年北京四中初三数学期中试卷.docx

数学试卷（考试时间为 120 分钟，试卷满分为 120 分） 班级 学号 姓名分数一、挑选题（每道题 4 分，共 32 分 以下各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的）1. 以下大事是必定大事的是（）A. 随便掷两个匀称的骰子，朝上面的点数之和是6 B掷一枚硬币，正面朝上22C3 个人分成两组，肯定有两个人分在一组D打开电视，正在播放动画片BQC1 / 142. 抛物线y（ ） x12 可以由抛物线yx平移而得到，以下平移正确选项A先向左平移1 个单位，再向上平移2 个单位B先向左平移1 个单位，再向下平移2 个单位C先向右平移1 个单位，再向上平移2 个单位D先向右平移1 个单位，再向下平移2 个单位3. 已知一顶圆锥形纸帽底面圆的半径为10cm，母线长为 50cm，就圆锥形纸帽的侧面积为（ ）A 250 cm2B 500 cm 2 C 750 cm 2 D 1000 cm24. 两圆半径分别为 2 和 3，圆心坐标分别为（ 1， 0）和（ -4， 0），就两圆的位置关系是（）A. 外离B外切C相交D内切5. 同时投掷两枚硬币，显现两枚都是正面的概率为（）A. 14B. 13C. 34yD. 12N6. 如图，在平面直角坐标系中，点P 在第一象限， P 与 x 轴P相切于点 Q ，与 y 轴交于是（）M 0，2 ，N 0，8 两点，就点 P 的坐标MQxOA 5，3 B 3，5 C 5，4 D 4，57. 抛物线（）yx2kx1 与yx2x k 相交，有一个交点在x 轴上，就 k 的值为A0 B 2C- 1D 148. 如图，在直角梯形 ABCD 中， AD BC ，C90 ， CD6cm ，ADAD2cm，动点 P、Q 同时从点 B 动身，点 P 沿 BA、AD、DC 运P动到点 C 停止，点 Q 沿BC 运动到 C 点停止，两点运动时的速度2都是 1cm/s，而当点 P 到达点 A 时，点 Q 正好到达点 C 9 / 14设 P 点运动的时间为ts ， BPQ的面积为 ycm 下图中能正确表示整个运动中 y 关于t 的函数关系的大致图象是（）A BC D二 填空题（每道题 4 分，此题共 16 分）9. 正六边形边长为 3，就其边心距是cm10. 函数y x22x3 2x2 的最小值为 ，最大值为11. 如图，在 ABC 中， BC=4，以点 A 为圆心， 2 为半径的A 与 BC 相切于点 D，交 AB 于 E，交 AC 于 F，点 P 是 A 上P一 点 ， 且 EPF=40 ° ， 就 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 是A FE12 已知 二次 函 数ya x2b x满c足： （ 1 ） abc ；BDC（2） abc0 ；（ 3）图象与 x 轴有 2 个交点，且两交点间的距离小于2；就以下结论中正确的有 a0 abc0 c0 a2b0 b12a4三解答题（每道题 5 分，此题共 30 分）13运算：50212023114用配方法解方程： 31 x222 x3015. 已知 ym1xm2 2 m 1m3xm ，当 m为何值时，是二次函数？16. 如图，在半径为 6 cm 的 O 中，圆心 O 到弦 AB 的距离 OC 为 3 cm试求：（1）弦 AB 的长；（ 2）AB的长OACB17. 已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象的顶点位于 x 轴下方，它到 x 轴的距离为 4， 下表是 x 与 y 的对应值表：x02y0- 3- 4- 30（1） 求出二次函数的解读式；yxO（2） 将表中的空白处填写完整；（3） 在右边的坐标系中画出 y=ax2+bx+c 的图象；（4） 依据图象回答：当 x 为何值时， 函数 y=ax2+bx+c 的值大于 0 18. 如图，在 ABC 中， C=90°， AD 是 BAC 的平分线， O 是 AB 上一点，以OA 为半径的 O 经过点 D（1） 求证： BC 是 O 切线；（2） 如 BD=5，DC=3，求 AC 的长AOBDC四应用题（ 19 题 6 分， 20 题 5 分， 21 题 4 分）19. 桐桐和大诚玩纸牌嬉戏下图是同一副扑克中的4 张扑克牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌上，桐桐先从中抽出一张，大诚从剩余的3 张牌中也抽出一张桐桐说：如抽出的两张牌的数字都是偶数，你获胜；否就，我获胜（1） 请用列表（或树状图）表示出两人抽牌可能显现的全部结果；（2） 如按桐桐说的规章进行嬉戏，这个嬉戏公正吗？请说明理由20. 某体育品商店在销售中发觉：某种体育器材平均每天可售出20 件，每件可获利 40 元；如售价削减 1 元，平均每天就可多售出 2 件；如想平均每天销售这种器材盈利 1200 元，那么每件器材应降价多少元？如想获利最大，应降价多少？21. 用尺规作图找出该残片所在圆的圆心O 的位置（保留作图痕迹，不写作法）五解答题（此题 5 分）22. 已知如图，正方形AEDG 的两个顶点 A、D 都在 O 上， AB 为O 直径，射线线 ED 与O 的另一个交点为 C，试判定线段 AC 与线段 BC 的关系BAG OEDC六综合运用（ 23、25 题 7 分， 24 题 8 分）23. 已知： 关于 x 的一元一次方程 kx=x+2 的根为正实数，二次函数 y=ax2- bx+kc（c0）的图象与 x 轴一个交点的横坐标为 1kc2b2ab（1） 如方程的根为正整数，求整数k 的值；（2） 求代数式akc的值；（3） 求证： 关于 x的一元二次方程 ax2- bx+c=0 必有两个不相等的实数根24. 已知：如图，在直角坐标系 xoy 中，点 A（2， 0），点 B 在第一象限且 OAB 为正三角形， OAB 的外接圆交 y 轴的正半轴于点 C，过点 C 的圆的切线交 x 轴于点 D（1） 求 B、C 两点的坐标；（2） 求直线 CD 的函数解读式；（3） 设 E、F 分别是线段 AB、AD 上的两个动点，且 EF 平分四边形 ABCD 的周长摸索究：当点 E 运动到什么位置时， AEF 的面积最大？最大面积是多少？第 24 题图25. 抛物线yax2bx3 交 x 轴于A、 B 两点，交 y 轴于点 C ，已知抛物线的对称轴为直线 x1， AB4 （1） 求二次函数yax2bx3的解读式；（2） 在抛物线对称轴上是否存在一点P ，使点 P 到在，求出 P 点坐标；如不存在，请说明理由；B、C 两点距离之差最大？如存（3） 平行于 x 轴的一条直线交抛物线于轴相切，求此圆的半径 M、 N两点，如以 MN 为直径的圆恰好与 x初三期中考试参考答案及评分标准四中一、挑选题：（ 此题共 32 分，每道题 4 分）题号12345678答案CCBBADBB二、填空题：（ 此题共 16 分，每道题 4 分）9 32 10 - 4， 511 482912 （少选1 个扣 1 分，多项或选错均不得分）三、 解答题：（此题共30 分，每道题 5 分）13. 运算：3502120123解：原式 = 522127 4 分（化简运算对一个数给 1 分）= 4 228 5 分14. 用配方法解方程：1 x222 x30解： 1 x224 x30 1 分1 x2225 3 分x210 x1210, x2210 5 分15. 已知 ym2 2m 1 m1xm3xm ，当 m 为何值时，是二次函数？m10解：依题设，如原函数为二次函数，就有2m2m 2 分12解得 m=3 5 分16. 如图，在半径为 6 cm 的 O 中，圆心 O 到弦 AB 的距离 OC 为 3 cm试求：（ 1） 弦 AB 的长；（ 2） AB 的长解：依题设有 OCAB 于 C，又 AB 为O 的弦OAC=BC= 12AB 2 分A CB连结 OA 就ACOA2OC 2又 OA=6，OC=3AC=3 3 AB= 63 3 分（2）由（ 1）知，在 Rt ACO 中， OA=6， OC=3 OAC=30° AOC=60° AOB=120° 4 分AB= 1 23OA = 4 5 分17. 已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象的顶点位于x 轴下方，它到 x 轴的距离为 4， 下表是 x 与 y 的对应值表：x-10123y0-3-4-30（1） 求出二次函数的解读式；解：由上表可知，二次函数图象的对称轴为直线x=1， 顶点坐标为（ 1，4） 1 分 二次函数解读式可变形为yax124又由图象过（ 0， -3 ），有 -3= a-4 ，解得 a=1 二次函数解读式为yx22x3 2 分2（2） 将表中的空白处填写完整； 3 分（3） 在右边的坐标系中画出 y=ax +bx+c 的图象； 4 分（4） 依据图象回答：2当 x 为何值时， 函数 y=ax +bx+c 的值大于 0 x<- 1 或 x>3 5 分18如图，在 ABC 中， C=90°， AD 是BAC 的平分线， O 是 AB 上一点， 以OA 为半径的 O 经过点 D（1） 求证： BC 是 O 切线；（2） 如 BD=5，DC=3， 求 AC 的长解： （ 1）证明： 如图 1，连接 OD A9 / 14BDCO OA=OD ， AD 平分 BAC ， ODA = OAD ， OAD = CAD 1 分 ODA = CAD OD/ AC2 分 ODB = C=90 BC 是 O 的切线3 分图 1（ 2）解法一： 如图 2，过 D 作 DE AB 于 EA AED =C=90 又 AD =AD， EAD = CAD ，OE AED ACD AE=AC，DE=DC =3BDC在 RtBED 中， BED =90 ，由勾股定理，得图 212 / 14BE=BD 2DE 24 4 分设 AC=x（ x>0）， 就 AE=x在 RtABC 中， C=90 ， BC=BD+DC =8， AB=x+4， 由勾股定理，得x2+82=（ x+4） 2 解得 x=6即 AC=65 分解法二： 如图 3，延长 AC 到 E，使得 AE=AB AD =AD ， EAD = BAD ，A AED ABD O ED =BD= 5在 RtDCE 中， DCE =90 ，由勾股定理，得B DCCE=DE 2DC 24 4 分图 3E在 RtABC 中， ACB=90 ， BC=BD +DC =8，由勾股定理，得AC2+BC2=AB 2即 AC2+8 2=（AC+4） 2解得 AC=65 分19. 解：（ 1） 树状图为：共有 12 种可能结果 3 分（ 2）嬉戏公正4 分 两张牌的数字都是偶数有6 种结果：（ 6， 10），（ 6， 12），（ 10，6），（ 10， 12），（ 12， 6），（ 12， 10）6 桐桐获胜的概率 P=121=5 分2大诚获胜的概率也为 嬉戏公正1 6 分220. 某体育品商店在销售中发觉：某种体育器材平均每天可售出20 件，每件可获利 40 元；如售价削减 1 元，平均每天就可多售出 2 件如想平均每天销售这种器材盈利 1200 元，那么每件器材应降价多少元？如想获利最大，应降价多少？解：设如想盈利 1200 元，每件器材应降价 x 元，就有40x202 x1200 2 分可解得 x110, x220 ，答：如想盈利 1200 元，每件器材降价 10 元或 20 元均可 3 分设降价 x 元时，盈利为 y 元，就 y40x202 x0<x<40 4 分解读式可变形为 y2x1521250且 0<15<40由此可知，当降价 15 元时，最大获利为 1250 元 5 分 21用尺规作图找出该残片所在圆的圆心O 的位置（保留作图痕迹，不写作法）任作 2 弦 给 1 分，两条中垂线各 1 分，标出并写出点 O 即为所求给 1 分五解答题（此题 5 分）22 已知如图，正方形AEDG 的两个顶点 A、D 都在 O 上， AB 为O 直径，射线线 ED 与 O 的另一个交点为 C，试判定线段 AC 与线段 BC 的关系解：线段 AC 与线段 BC 垂直且相等 1 分证明：连结 AD 2 分 四边形 AEDG 为正方形 ADE=45° 四边形 ABCD 内接 O B+ADC=180° 3 分又 ADE+ADC=180° B=ADE=45°又 AB 为 O 直径 ACB=90°，即 AC BC 4 分 BAC=45°AC=BC 5 分23 解：（ 1）解：由 kx=x+2，得（ k- 1） x=2BAG OEDC依题意 k- 1 0 x21 分k1 方程的根为正整数， k 为整数， k- 1=1 或 k- 1=2 k1= 2， k2=32 分（ 2）解：依题意，二次函数y=ax2- bx+kc 的图象经过点（ 1，0）， 0 =a- b+kc， kc = b- a kc 2b2ab akcba2b2ab abab22aba2b22abaaba2ab=aba21. 3 分（ 3）证明：方程的判别式为 =（ - b） 2- 4ac=b2- 4ac 由 a 0，c 0， 得 ac 0 证法一：（ i）如 ac<0，就 - 4ac>0故 =b2- 4ac>0此时方程有两个不相等的实数根4 分（ ii ）如 ac>0，由（ 2）知 a- b+kc =0， 故 b=a+kc =b2 - 4ac=（ a+kc）2 - 4ac=a2+2kac+（ kc） 2- 4ac =a2- 2kac+（ kc） 2+4kac- 4ac=（ a- kc） 2+4ac（ k- 1）5 分 方程 kx=x+2 的根为正实数， 方程（ k- 1） x=2 的根为正实数 由 x>0， 2>0 ， 得 k- 1>06 分 4ac（ k- 1） >0 （ a- kc） 2 0， =（ a- kc） 2+4ac（ k- 1） >0 此时方程有两个不相等的实数根 7 分证法二：（ i）如 ac<0，就 - 4ac>0故 =b2- 4ac>0此时方程有两个不相等的实数根 4 分（ ii ）如 ac>0， 抛物线 y=ax2- bx+kc 与 x 轴有交点， 1 =（ - b） 2- 4akc=b2 - 4akc 0（ b2- 4ac） - （ b2- 4akc） =4ac（ k- 1）由证法一知 k- 1>0 ， b2- 4ac>b2- 4akc 0 =b2- 4ac>0 此时方程有两个不相等的实数根7 分综上， 方程有两个不相等的实数根证法三：由已知， abkc ，2b24acb24cbkcb2c24k1c2可以证明 b2c 和 c 不能同时为 0（否就 a0 ），而 k10 ，因此20 24解：（ 1） A（ 2， 0）， OA=2作 BGOA 于 G， OAB 为正三角形， OG=1， BG=3 ， B（ 1，3 ）1 分连 AC， AOC=90 °， ACO= ABO=60 °AOC90 ， OC= 23 3（第 24 题） C（ 0， 233）2 分（ 2） AOC=90°， AC 是圆的直径， 又 CD 是圆的切线， CD AC OCD =30°， OD=2 D （32 ，0）3设直线 CD 的函数解读式为 y=kx+b（ k0），b23就3k3，解得232b0kb33直线 CD 的解读式为 y=3x233 4 分（ 3） AB=OA=2，OD =2 ，CD =2 OD=34 ， BC=OC= 23 ，33四边形 ABCD 的周长 6+ 23 312 / 14E设 AE=t， AEF 的面积为 S，15 / 14就 AF=3+3 t， S=33 t （ 3+343t ） S=3 t （ 3+343t ） =3 429373t632点 E、 F 分别在线段AB、AD 上，0t230332 13t233t2 6 分当 t= 93 时， S 最大= 733 8 分612825（ 1）设抛物线的解读式为ya x12h ，点 B3，0 、 C（0， 3）在抛物线上，4ahah0，a1，解得3.h4.抛物线的解读式为yx124 x 22 x3 2 分（ 2）yx22x3 x1 x3 ， A（ 1 ， 0）， B（3， 0） AC123210 PA=PB ， PBPCPAPC 3 分如图 1，在 PAC 中， PAPCAC ，当 P 在 AC 的延长线上时，PAPCAC10 设直线 AC 的解读式为 ykxb ，kb0，b3.k3，解得b3.直线 AC 的解读式为 y3x3 当 x1 时， y336 当点 P 的坐标为（ 1，6 ）时， PAPC 的最大值为10 5 分yNr 点 N 的横坐标为 1 yN r 2r4112r ，2r13r24 r 解得 r1217， r1217 7 分2（ 3 ） 如 图 2 ， 当 以 MN为 直 径 的 圆 与 x 轴 相 切 时 ，