2022年二次函数的存在性问题之菱形.pdf

二次函数的存在性问题之菱形1. 如图，抛物线y=ax2+bx2 的对称轴是直线x=1，与 x 轴交于 A，B两点，与 y 轴交于点 C，点 A的坐标为（ 2，0），点 P为抛物线上的一个动点，过点 P作 PD x轴于点 D，交直线BC于点 E（1）求抛物线解析式；（2）若点 P在第一象限内，当OD=4PE 时，求四边形POBE 的面积；（3）在（ 2）的条件下，若点M为直线 BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点 N，使得以点B，D，M ，N为顶点的四边形是菱形若存在上，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由2. 如图，直线与轴、轴分别交于、两点，抛物线经过、两点，与轴的另一个交点为，连接（1）求抛物线的解析式及点的坐标；（2） 点在抛物线上，连接，当时，求点的坐标；（3） 点从点出发，沿线段由向运动，同时点从点出发，沿线段由向运动，、的运动速度都是每秒个单位长度，当点到达点时，、同时停止运动，试问在坐标平面内是否存在点，使、运动过程中的某一时刻，以、为顶点的四边形为菱形若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由3. 如图所示，顶点为（，）的抛物线y=ax2+bx+c 过点 M （2， 0）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 28 页 - - - - - - - - - - （1）求抛物线的解析式；（2）点 A是抛物线与x 轴的交点（不与点M重合），点B是抛物线与y 轴的交点，点C是直线 y=x+1 上一点（处于 x 轴下方），点 D是反比例函数y= （k0）图象上一点，若以点A，B， C，D为顶点的四边形是菱形，求k 的值4. 综合与探究如图 1 所示，直线y=x+c与 x 轴交于点 A（4，0），与 y 轴交于点C，抛物线 y=x2+bx+c 经过点 A，C（1）求抛物线的解析式（2）如图 2 所示， M 是线段 OA 的上一个动点，过点M 垂直于 x 轴的直线与直线 AC和抛物线分别交于点P、N 若点 P恰好是线段MN 的中点，点F是直线 AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点 D，使以点 D，F， P，M 为顶点的四边形是菱形若存在，请直接写出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由注：二次函数y=ax2+bx +c（a0 ）的顶点坐标为（，）5. 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，AD=6，若 OA、OB的长是关于x 的一元二次方程x27x+12=0 的两个根，且OAOB精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 28 页 - - - - - - - - - - （1）求 OA、 OB的长（2） 若点 M 在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以 A、 C、F、M 为顶点的四边形为菱形若存在，直接写出F 点的坐标，若不存在，请说明理由6. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=a（x+1）23 与 x 轴交于 A，B两点（点 A 在点 B的左侧），与y 轴交于点C（ 0，），顶点为D，对称轴与 x 轴交于点 H，过点 H 的直线 l 交抛物线于P，Q 两点，点 Q 在 y 轴的右侧（1）求 a 的值及点 A，B的坐标；（2）当点 P位于第二象限时，设PQ 的中点为 M，点 N 在抛物线上，则以DP为对角线的四边形DMPN 能否为菱形若能，求出点N 的坐标；若不能，请说明理由7. 如图，在平面直角坐标系中，直线AB和抛物线交于点A （ 4，0） ，B （ 0，4），且点 B 是抛物线的顶点精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 28 页 - - - - - - - - - - （1）求直线 AB 和抛物线的解析式（2） M 是直线 AB上一动点，在平面直角坐标系内是否存在点N，使以 O、 B、M、N 为顶点的四边形是菱形若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由8. 如图，抛物线y=ax22x+c（a0 ）与 x 轴、 y 轴分别交于点A，B，C三点，已知点 A（ 2，0），点 C（0， 8），点 D 是抛物线的顶点（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2） 如图 2，设 BC交抛物线的对称轴于点F，作直线CD，点 M 是直线 CD上的动点，点 N是平面内一点，当以点B，F，M，N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点M 的坐标9. 如图，抛物线y=x2x2 与 x轴交于 A、B两点 （点 A在点 B的左侧），与 y 轴交于点 C，M 是直线 BC下方的抛物线上一动点（1）求A、B、C三点的坐标；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 28 页 - - - - - - - - - - （2）连接 MO、MC，并把 MOC 沿 CO翻折，得到四边形MO M C，那么是否存在点M，使四边形MO M C 为菱形若存在，求出此时点M 的坐标；若不存在，说明理由；10. 抛物线 y= x2+bx+c 经过点 A （ 4，0）、B （ 2，0）两点，与 y 轴交于点C，顶点为 D，对称轴与x 轴交于点H，过点 H 的直线 m 交抛物线于P、 Q 两点，其中点P位于第二象限，点Q 在 y 轴的右侧（1）求 D 点坐标；（2）若 PBA= OBC ，求点 P的坐标；（3） 设 PQ的中点为 M，点 N 在抛物线上，则以DP为对角线的四边形DMPN能否为菱形若能，求出点N 的坐标；若不能，请说明理由11. 如图，抛物线y=ax2+bx+c（a0 ）与 x 轴、 y 轴分别交于A（ 1，0）、 B（3， 0）、C（0，3）三点（1）试求抛物线的解析式；（2）设点 M 是 x 轴上的动点，在平面直角坐标系中，是否存在点N，使得以点 A、C、 M、N 为顶点的四边形是菱形若存在，求出所有符合条件的点N 坐标；若不存在，说明理由精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 28 页 - - - - - - - - - - 12. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与 X轴交于点 A、B两点B处的坐标为（3，0），与y轴交于c（0，3），点P是直线BC下方抛物线上的动点（1）求出二次函数的解析式；（2）连接 PO、 PC ，并将 POC沿 y 轴对折，得到四边形POP C ，那么是否存在点 P，使得四边形POP C为菱形若存在，求出点P的坐标，若存在，请说明理由；13. 如图，已知抛物线经过原点o 和 x 轴上一点 A （4，0），抛物线顶点为E，它的对称轴与x 轴交于点 D直线 y=2x1 经过抛物线上一点B（ 2，m）且与 y 轴交于点 C，与抛物线的对称轴交于点F精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 28 页 - - - - - - - - - - （1）求 m 的值及该抛物线对应的解析式；（2） 点 Q 是平面内任意一点，点M 从点 F出发，沿对称轴向上以每秒1 个单位长度的速度匀速运动，设点M 的运动时间为t 秒，是否能使以Q、A、 E、M四点为顶点的四边形是菱形若能，请直接写出点M 的运动时间t 的值；若不能，请说明理由14. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2+bx+c 的图象与 x轴交于 A、B两点，与 y 轴交于 C （ 0，3），A 点在原点的左侧，B点的坐标为 （3，0）点P 是抛物线上一个动点，且在直线BC的上方（1）求这个二次函数的表达式（2）连接 PO、 PC ，并把 POC沿 CO翻折，得到四边形POP C ，那么是否存在点 P，使四边形POP C为菱形若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由15. 如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线y= 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与y 轴交于点 C，抛物线的顶点为点D，过点B 作 BC的垂线，交对称轴于点E精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 28 页 - - - - - - - - - - （1）求证：点E与点 D 关于 x 轴对称；（2）如图 2，平移抛物线，使抛物线的顶点D 在射线 AD 上移动，点D 平移后的对应点为D ，点 A 的对应点A ，设抛物线的对称轴与x 轴交于点 F，将FBC沿 BC翻折，使点F落在点 F处，在平面内找一点G，若以 F、G、D 、A为顶点的四边形为菱形，求平移的距离16. 如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上,且横坐标为 1，点与点关于抛物线的对称轴对称，直线与轴交于点，点为抛物线的顶点，点的坐标为（1）求线段的长；（2） 点为线段上方抛物线上的任意一点，过点作的垂线交于点，点为轴上一点，当的面积最大时，求的最小值；（3）在（ 2）中，取得最小值时，将绕点顺时针旋转后得到,过点作的垂线与直线交于点，点为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使得点为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由. 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B （1，0） ，C （ 3，0） ，D （3，4） 以 A 为顶点的抛物线y=ax2+bx+c 过点 C动点 P从点 A 出发，沿线段 AB 向点 B 运动同时动点Q 从点 C出发，沿线段CD向点 D 运动点精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 28 页 - - - - - - - - - - P，Q 的运动速度均为每秒1 个单位运动时间为t 秒过点 P 作 PEAB交AC于点 E （1）直接写出点A 的坐标，并求出抛物线的解析式；（2） 在动点 P ， Q 运动的过程中，当t 为何值时，在矩形ABCD内 （包括边界）存在点 H，使以 C， Q，E，H 为顶点的四边形为菱形请直接写出t 的值18. 已知，抛物线y=ax2 +bx+4 与 x 轴交于点A（-3，0）和 B（2，0），与 y 轴交于点 C（1）求抛物线的解析式；（2）如图 2，若点 D 为直线 BC或直线 AC 上的一点， E为 x 轴上一动点，抛物线对称轴上是否存在点F，使以 B，D，F， E为顶点的四边形为菱形若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 28 页 - - - - - - - - - - 答案解析部分一、综合题1.【答案】 （1）解： 抛物线 y=ax2+bx 2的对称轴是直线x=1，A（ 2，0）在抛物线上， ，解得：，抛物线解析式为y= x2x2；（2）解：令 y= x2x2=0，解得： x1=2，x2=4，当 x=0 时，y=2，B（ 4，0）， C（0， 2），设 BC的解析式为y=kx+b，则，解得：，y= x2，设 D（m，0），DPy 轴，E（ m，m2）， P（m，m2m2），OD=4PE ，m=4（m2m2m+2），m=5，m=0（舍去），D（5，0）， P（5，）， E （5，），四边形 POBE的面积 =SOPDSEBD= 5 1 = ；（3）解：存在，设M（n，n2）， 以 BD为对角线，如图1，四边形 BNDM 是菱形，MN 垂直平分 BD，n=4+ ，M（，），M，N 关于 x轴对称，N（，）； 以 BD为边，如图2，四边形 BNDM 是菱形，MN BD，MN=BD=MD=1，过 M 作 MH x 轴于 H，MH2+DH2=DM2，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 28 页 - - - - - - - - - - 即（n2）2+（n5）2=12，n1=4（不合题意），n2=，N（，），同理（n2）2+（4n）2=1，n1=4+ （不合题意，舍去），n2=4，N（5，）， 以 BD为边，如图3，过 M 作 MHx 轴于 H，MH2+BH2=BM2，即（n2）2+（n4）2=12，n1=4+ ，n2=4（不合题意，舍去），N（5+ ，），综上所述，当N （，） 或 （，） 或 （5，） 或 （5+ ，），以点 B，D，M，N 为顶点的四边形是菱形【解析】 【分析】（ 1）由抛物线y=ax2+bx 2 的对称轴是直线x=1， A（ 2，0）在抛物线上，于是列方程即可得到结论；（2）根据函数解析式得到B （ 4，0）， C（0，2），求得 BC的解析式为y= x2，设 D（ m， 0），得到E（m，m 2） ，P （m，m2m2） ，根据已知条件列方程得到m=5，m=0（舍去），求得D（5， 0）， P（5，）， E（ 5，），根据三角形的面积公式即可得到结论；（3）设 M（n，n2）， 以 BD 为对角线，根据菱形的性质得到MN 垂直平分 BD，求得 n=4+ ，于是得到N（，）； 以 BD 为边，根据菱形的性质得到MNBD，MN=BD=MD=1，过 M作 MHx 轴于 H，根据勾股定理列方程即可得到结论2.【答案】 （1）解：直线解析式，令，得；令，得、点、在抛物线上， ，解得，抛物线解析式为：令，解得：或，（2）解：，设， 当时，如答图所示精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 28 页 - - - - - - - - - - ， ，故点满足条件过点作轴于点，则，直线的解析式为：联立与，得：，解得：，； 当与关于轴对称时，如答图所示，故点满足条件过点作轴于点，则，直线的解析式为：联立与得：，解得：，综上所述，满足条件的点的坐标为：或（3） 解：设，则，假设存在满足条件的点，设菱形的对角线交于点，设运动时间为 若以为菱形对角线，如答图此时，菱形边长在中，解得过点作轴于点，则，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 28 页 - - - - - - - - - - 点与点横坐标相差个单位，； 若以为菱形对角线，如答图此时，菱形边长， ，点为中点， 点与点横坐标相差个单位， ； 若以为菱形对角线，如答图此时，菱形边长在中，解得，综上所述，存在满足条件的点，点坐标为：或或【解析】 【分析】（ 1）根据直线与坐标轴交点的坐标特点求出A,B两点的坐标，将 A,B 两点的坐标分别代入抛物线y=x2+bx+c 得出关于 b,c 的方程组，求解得出 b,c 的值，从而得出抛物线的解析式，再根据抛物线与x轴交点的纵坐标是 0，将 y=0 代入抛物线的解析式，楸树对应的自变量的值，从而求出C点的坐标；（2）设 M ( x , ? y )当 BMBC 时，如答图2 - 1 所示根据等腰直角三角形的性质及垂直的定义得出MBA+ CBO=45，故点M 满足条件，过点M1作 M1Ey 轴于点 E ，则 M1E=x ， OE=-y 进而表示出BE ，根据同角的余角相等及等角的同名三角函数值相等得出tanM1BE=tanBCO=， 根据正切函数的定义得出关于x,y 的方程，变形即可得出直线BM1的解析式，解联立直线 BM 1的解析式与抛物线的解析式组成的方程组，即可求出M1 的坐标；当BM与BC关于y轴对称时，如答图2 - 2 所示根据根据角的和差及对称的性质得出ABO=MBA+MBO=45， MBO=CBO ，故MBA+CBO=45，故点M 满足条件过点M2 作 M2Ey 轴于点E ，则M2E=x ， OE=-y 进而表示出BE，根据同角的余角相等及等角的同名三角函数值相等得出tanM2BE=tan CBO= ， 根据正切函数的定义得出关于x,y的方程，变形即可得出直线BM2的解析式，解联立直线BM2的解析式与抛物线的解析式组成的方程组，即可求出M2 的坐标，综上所述即可得出M 点的坐标；（3）设BCO= ，则 tan =，sin =，cos= 假设存在满足条件的点D ，设菱形的对角线交于点E ，设运动时间为t 若以CQ为菱形对角线，如答图3 - 1 此时BQ=t ，菱形边长 =t ，根据菱形的对角线互精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 28 页 - - - - - - - - - - 相平分得出CE=CQ=(5-t) ，根据余弦函数的定义，由cos=,即可列出方程，求解得出t 的值，进而得出CQ的值，过点Q 作 QFx 轴于点F，则QF=CQ ? sin， CF=CQ ? cos ，分别计算出QF,CF的长，进而得出OF的长，从而得出 Q 点的坐标，根据点D1与点 Q 横坐标相差t 个单位即可得出D1的坐标； 若以 PQ为菱形对角线，如答图3 - 2 此时BQ=t ，菱形边长 =t，根据线段中点坐标公式，由点Q 为 BC中点得出Q 点的坐标，根据点D2与点 Q横坐标相差t 个单位即可得出D1的坐标； 若以 CP为菱形对角线，如答图3 - 3 此时 BQ=t ，菱形边长 =5-t 根据 cos =列出方程，求解得出t 的值，进而求出OE, 由 D3E=QE=CQ ? sin，从而得出D3的坐标，综上所述即可得出答案。3. 【答案】 （1） 解：依题意可设抛物线方程为顶点式y=a （x）2（a0 ） ，将点 M（2，0）代入可得： a（2）2=0，解得 a=1故抛物线的解析式为：y=（x）2（2）解：由（ 1）知，抛物线的解析式为：y=（x）2则对称轴为x= ，点 A 与点 M（2，0）关于直线x= 对称，A（ -1，0）令 x=0，则 y= 2，B（ 0， 2）在直角 OAB 中， OA=1， OB=2，则 AB= 设直线 y=x+1 与 y 轴交于点G，易求 G（0， 1）直角AOG是等腰直角三角形，AGO=45 点 C是直线 y=x+1 上一点（处于x 轴下方），而k 0，所以反比例函数y= （k0）图象位于点一、三象限故点 D 只能在第一、三象限，因此符合条件的菱形只能有如下2 种情况： 此菱形以 AB 为边且 AC也为边，如图1 所示，过点 D 作 DNy 轴于点 N，在直角 BDN 中， DBN=AGO=45 ，DN=BN= = ，D（， 2），点 D 在反比例函数y= （k0）图象上，k= （2）= + ； 此菱形以 AB 为对角线，如图2，作 AB的垂直平分线CD交直线 y=x+1 于点 C，交反比例函数y= （ k0）的图象于点 D再分别过点D、B作DEx轴于点F，BEy轴，DE与BE相较于点E精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 28 页 - - - - - - - - - - 在直角 BDE中，同 可证 AGO=DBO= BDE=45 ，BE=DE 可设点 D 的坐标为（ x，x2）BE2+DE2=BD2，BD= BE= x四边形 ABCD是菱形，AD=BD= x在直角 ADF 中， AD2=AF2+DF2， 即（x）=（x+1）2+（x2）2，解得 x= ，点 D 的坐标是（，）点 D 在反比例函数y= （k0）图象上，k= = ，综上所述， k 的值是+ 或【解析】 【分析】（ 1）设抛物线方程为顶点式y=a（x）2，将点 M的坐标代入求a 的值即可；（2）设直线y=x+1 与 y 轴交于点G，易求 G（0，1）则直角 AOG 是等腰直角三角形AGO=45 点 C 是直线 y=x+1 上一点（处于 x 轴下方），而k0，所以反比例函数y= （k0）图象位于点一、三象限故点D只能在第一、三象限，因此符合条件的菱形只能有如下2种情况： 此菱形以 AB为边且 AC也为边， 此菱形以AB为对角线，利用点的坐标与图形的性质，勾股定理，菱形的性质和反比例函数图象上点的坐标特征求得 k 的值即可4.【答案】 （1）解：将 A（ 4，0）代入 y=x+c c=4 将 A（4，0）和 c=4 代入 y= x2+bx+c b=3 抛物线解析式为y=x23x+4 （3）解：存在设 M 坐标为（ a， 0）则 N 为（ a， a23a+4）则 P点坐标为（ a，）把点 P坐标代入 y=x+4 解得 a1=4（舍去）， a2=1 当 PF=FM时，点 D 在 MN 垂直平分线上，则D（）当 PM=PF时，由菱形性质点D 坐标为 （ 1+ ，）（1，）当 MP=MF 时， M、D 关于直线 y= x+4 对称，点 D 坐标为（ 4，3）5.【答案】 （1）解：方程x27x+12=0，分解因式得：（x3）（ x4） =0，可得： x3=0， x4=0，解得： x1=3，x2=4，OAOB，OA=4，OB=3 （2）解： AOBC，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 28 页 - - - - - - - - - - AO 平分 BAC，分四种情况考虑： AC、 AF是邻边，点F在射线 AB上时， AF=AC=5 ，点 F与 B重合，即 F（ 3，0）； AC、 AF是邻边，点F在射线 BA上时， M 应在直线AD 上，且 FC垂直平分AM，此时点 F坐标为（ 3， 8）； AC 是对角线时，做AC 垂直平分线L，AC解析式为y=x+4，直线 L 过（，2），且 k 值为（平面内互相垂直的两条直线k 值乘积为 1），L 解析式为 y= x+ ，联立直线L与直线 AB，得：，解得： x=，y=，F（，）； AF 是对角线时，过C做 AB 垂线，垂足为N，SABC= BC?OA= AB?CN=12，CN= = ，在BCN中， BC=6 ，CN= ，根据勾股定理得BN= = ，即 AN=ABBN=5= ，做 A 关于 N 的对称点，记为F， AF=2AN= ，过 F做 y 轴垂线，垂足为G，FG=AFsin BAO= = ，F（，），综上所述，满足条件的点有四个：F1（ 3，0）； F2（3，8）； F3（，）； F4（，）【解析】 【分析】（ 1）解一元二次方程求出OA， OB的长度即可；（2）先根据三角形的面积求出点E的坐标，并根据平行四边形的对边相等的性质求出点 D 的坐标，然后利用待定系数法求解直线的解析式；分别求出两三角形夹直角的两对应边的比，如果相等，则两三角形相似，否则不相似；（3）根据菱形的性质，分AC与 AF是邻边并且点F在射线 AB上与射线 BA上两种情况，以及 AC与 AF分别是对角线的情况分别进行求解计算6.【答案】 （1）解： 抛物线与y 轴交于点 C（0，）a3=，解得： a= ，y= （x+1）23 当 y=0 时，有（x+1）2 3=0，x1=2，x2=4，A（ 4，0）， B（2，0）（2）解：设 P（x1， y1）、Q（x2， y2）且过点 H（ 1，0）的直线PQ的解析式为y=kx+b，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 28 页 - - - - - - - - - - k+b=0，b=k，y=kx+k由，+（k） xk=0，x1+x2=2+3k，y1+y2=kx1+k+kx2+k=3k2，点 M 是线段 PQ的中点， 由中点坐标公式的点M（k 1，k2）假设存在这样的N 点如图，直线DNPQ，设直线DN 的解析式为y=kx+k3 由，解得： x1=1，x2=3k1， N（ 3k1， 3k23）四边形 DMPN 是菱形，DN=DM，（3k）2+（3k2）2=（）2+（）2，整理得： 3k4k24=0，k2+10，3k24=0，解得 k= ，k0，k=，P（ 3 1，6）， M（1，2）， N（ 2 1，1）PM=DN=2 ，PM DN，四边形 DMPN 是平行四边形，DM=DN，四边形 DMPN 为菱形，以 DP 为对角线的四边形DMPN 能成为菱形，此时点N 的坐标为（ 2 1，1）7.【答案】 （1）答案解：设直线的解析式为y=kx+b将 A（4，0）， B（ 0，4）代入得：，解得 k=1，b=4，直线 AB 的解析式为y=x+4设物线的解析式为y=ax2+4将 A（4，0）代入得： 16a+4=0，解得 a=，抛物线的解析式为y=x2+4（2）解：如图2 所示：延长MN 交 x轴与点 C精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 28 页 - - - - - - - - - - MNOB，OBOC，MNOC OA=OB，AOB=90 ，BA0=45 ONAB，NOC=45 OC=ON =4 =2 ，NC=ON =4 =2 点 N 的坐标为（ 2 ，2 ）如图 3 所示：过点N 作 NCy 轴，垂足为COA=OB ，AOB=90 ，OBA=45 ONAB，NOC=45 OC=ON =4 =2 ，NC=ON =4 =2 点N的坐标为（2 ，2 ）如图 4 所示：连接MN 交 y 轴与点 C四边形 BNOM 为菱形， OB=4，BC=OC=2 ，MC=CN，MNOB点的纵坐标为2将 y=2 代入 y=x+4 得：x+4=2，解得： x= 2，点 M 的坐标为（ 2，2）点 N 的坐标为（ 2，2）如图 5 所示：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 28 页 - - - - - - - - - - 四边形 OBNM 为菱形，NBM=ABO=45 四边形 OBNM 为正方形点 N 的坐标为（ 4，4）综上所述点N 的坐标为或或 （ 4，4） 或 （2，2）【解析】 【分析】 （1）设直线的解析式为y=kx+b，将 A（4，0），B （0，4）代入得到关于k、b 的方程组，然后解得k、b 的值即可；设抛物线的解析式为y=ax2+4，然后将点A的坐标代入求得a的值即可；（2） 先根据题意画出图形，需要注意本题共有4 种情况，然后依据菱形的性质、等腰直角三角形的性质以及特殊锐角三角函数值求解即可8.【答案】 （1）解：将点A、点 C的坐标代入抛物线的解析式得：，解得： a=1，c=8抛物线的解析式为y=x22x 8y=（x1）29，D（1， 9）（2）解：设 CD的解析式为y=kx8，将点 D 的坐标代入得：k8=9，解得k=1，直线 CD的解析式为y=x8设直线 CB的解析式为y=k2x 8，将点 B 的坐标代入得：4k28=0，解得：k2=2直线 BC的解析式为y=2x8将 x=1 代入直线 BC的解析式得： y= 6，F（1，6）设点 M 的坐标为（ a， a8）当 MF=MB 时，（ a4）2+（a+8）2=（a 1）2+（a+2）2， 整理得： 6a=75，解得：a=点 M 的坐标为（，）当 FM=FB时，（ a 1）2+（a+2）2=（41）2+（ 60）2， 整理得： a2+a20=0，解得： a=4 或 a=5点 M 的坐标为（ 4，12）或（ 5， 3）综上所述，点M 的坐标为（，）或（ 4， 12）或（ 5， 3）9.【答案】 （1）解：令 y=0，则x2x2=0，解得： x1=4，x2=1，点 A 在点 B 的左侧，A（ 1，0）， B（4，0），令 x=0，则 y= 2，C（ 0，2）（2）解：存在点 M，使四边形MO M C 是菱形，如图1 所示：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 19 页，共 28 页 - - - - - - - - - - 设 M 点坐标为（ x，x2x 2）若四边形MO M C 是菱形，则 M M 垂直平分 OC，OC=2，M 点的纵坐标为1，x2x 2=1，解得： x1=，x2=（不合题意，舍去），M 点的坐标为（，1）10.【答案】 （1）解： y= x2+bx+c 经过点 A（4，0）、 B（2，0）两点，y= （x+4）（ x2）= （x2+2x8） = （x+1）23D（ 1， 3）（2）解：在 x 轴上点 E （ 2，0），连接 CE ，并延长CE交 PB于点 F，过点 F作 FGx 轴，垂足为G点 E与点 B关于 y 轴对称，OBC= OEC OBC= GEF PBA= OBC ，PBA= EFB EF=EB=4OE=2，OC= ，EC= GFOC，FGE COE = = ，即= = ，解得： FG= ，EG= ，F（，）设 BP的解析式为y=kx+b，将点 F和点 B 的坐标代入得：，解得： k=，b=1，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 20 页，共 28 页 - - - - - - - - - - 直线 BP的解析式为y=x+1将 y=x+1 与 y= x2+ x联立，解得： x=，x=2（舍去），y= P（，）；（3）解：设 P（x1， y1）、 Q（x2， y2）且过点 H（1，0）的直线 PQ的解析式为y=kx+b，k+b=0，b=k，y=kx+k由得：x2+（k）k=0 x1+x2=2+3k，y1+y2=kx1+k+kx2+k=3k2，解得： x1=1，x2=3k1，点 M 是线段 PQ的中点，由中点坐标公式的点M（k1，k2）假设存在这样的N 点如图 2，直线 DNPQ，设直线 DN的解析式为y=kx+k3由，解得： x1=1，x2=3k1，N（3k1，3k23）四边形 DMPN 是菱形，DN=DM，（3k）2+（3k2）2=（）2+ k2+3）2，整理得： 3k4k24=0，k2+10，3k24=0，解得k= ，k0，k=，P（ 3 1，6）， M（1，2）， N（ 2 1，1）PM=DN=2 ，PMDN，四边形 DMPN 是平行四边形，DM=DN，四边形 DMPN 为菱形，以 DP 为对角线的四边形DMPN 能成为菱形，此时点N 的坐标为（ 2 1，1）【解析】 【分析】（ 1）抛物线的解析式为y= （x+4）（ x 2），然后利用配方法可求得点D 的坐标；（ 2）在 x 轴上点 E（ 2，0），连接CE，并延长CE交 PB与点 F，过点 F作 FGx 轴，垂足为G首先证明EF=EB=4 ，然后证明FGE COE ，依据相似三角形的性质可得到FG= ，EG= ，故可得到精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 21 页，共 28 页 - - - - - - - - - - 点 F的坐标，然后可求得BP的解析式，最后可求得直线与抛物线的交点坐标即可；（ 3）设 P（x1， y1）、 Q（x2， y2）且过点H（ 1，0）的直线PQ的解析式为y=kx+b，得到 b=k，利用方程组求出点M 坐标，求出直线DN解析式，再利用方程组求出点N 坐标，列出方程求出k，即可解决问题11.【答案】（1）解： 抛物线 y=ax2+bx+c 过 A （ 1，0）、B （ 3，0）、C （0，3）三点，解得，抛物线的解析式为y= x2+2x+3；（2）解：存在若 AM 为菱形对角线，则AM 与 CN互相垂直平分，N（0， 3）；若 CM 为菱形对角线，则，或；若 AC 为菱形对角线，则CN=AM=CM，设 M（m，0），由 CM2=AM2， 得 m2+32=（m+1）2， 解得 m=4，CN=AM=CM=5，N（ 5， 3）综上可知存在点N，使得以点 A、C、M、N为顶点的四边形是菱形，符合条件的点 N 有 4 个： N1（0， 3），N4（5，3）12.【答案】 （1）解：把B（3，0）、 C（0， 3）代入 y=x2+bx+c，得，解得，这个二次函数的表达式为y=x22x3 （2）解：存在理由如下：如图 1 中，作 OC的垂直平分线交直线BC下方的抛物线于点P，垂足为点E则 PO=PC ，POC沿 CO翻折，得到四边形POPC，OP =OP，CP =CP，OP =OP=CP =CP，四边形 POPC 为菱形，C点坐标为（ 0，3），E点坐标为（ 0，），点 P的纵坐标为，把y=代入y=x22x3得x22x3=，解得 x= ，点 P在直线 BC下方的抛物线上，x= ，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 22 页，共 28 页 - - - - - - - - - - 满足条件的点P的坐标为（，）13.【答案】 （1）解： 点 B（ 2，m）在直线y=2x1 上m=2 （ 2） 1=4 1=3，所以，点B（ 2，3），又抛物线经过原点O，设抛物线的解析式为y=ax2+bx，点 B（2，3）， A（ 4，0）在抛物线上，解得：抛物线的解析式为y= x2x （2）解：结论：存在抛物线的解析式为y= x2x，顶点 E（2， 1），对称轴为x=2；点 F是直线 y=2x1 与对称轴x=2 的交点，F（2， 5）， DF=5又A（4，0），AE= 如下图所示，在点M 的运动过程中，依次出现四个菱形： 菱形 AEM1Q1此时 EM1=AE= ，M1F=DF DEDM1=4，t1=4； 菱形 AEOM2此时 DM2=DE=1，M2F=DF+DM2=6，t2=6； 菱形 AEM3Q3此时 EM3=AE= ，DM3=EM3 DE= 1，M3F=DM3+DF=（1）+5=4+ ，t3=4+ ；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 23 页，共 28 页 - - - - - - - - - - 菱形 AM4EQ4此时 AE为菱形的对角线，设对角线AE与 M4Q4交于点 H，则 AEM4Q4，易知 AEDM4EH，= ，即= ，得 M4E=，DM4=M4E DE= 1=，M4F=DM4+DF=+5= ，t4=综上所述，存在点M、点 Q，使得以Q、A、E、M 四点为顶点的四边形是菱形；时间t 的值为： t1=4，t2=6，t3=4+ ，t4=14.【答案】 （1）解：将B、C 两点的坐标代入得，解得，所以二次函数的表达式为y=x2+2x+3 （2）解：如图，存在点 P，使四边形POP C为菱形设 P点坐标为（ x， x2+2x+3）， PP交 CO于 E，若四边形POPC是菱形，则有PC=PO ，连接 PP则 PE CO于 E，OE=CE= ，y= ，-x2+2x+3= ，解得 x1= ，x2= （不合题意，舍去），P点的坐标为（，）；15.【答案】 （1）证明：如图