2022年十一讲二元函数的微分与极值.docx

精品学习资源数值分析教研室泰山学院信息科学技术学院教案欢迎下载精品学习资源课程名称高等数学争论授课对象2006 级本科授课题目第十一讲二元函数地微分与极值课时数4教案通过教案使同学把握二元函数地微分法、无条件极值、条件地极值求法,目地把握最值地求法 ,会利用这些理论解决生产实际地应用问题.重点1重点 无条件极值、条件地极值求法 ,最值地求法；难2难点应用 无条件极值、条件地极值、最值理论解应用题.点第十一讲二元函数地微分与极值一、多元函数地微分教1. 多元函数地极限2、偏导数3、全微分学二、极值与最值1. 二元函数地无条件极值2. 二元函数地条件极值拉格朗日数乘法提3二元函数地最值三、应用1. 曲面地切平面与法线方程纲2. 场论初步教案教案过程与内容后记欢迎下载精品学习资源第十一讲二元函数地微分与极值二元函数地导数、极值、最值是历年考试地重点,二元函数地微分、二元函数地微分在几何中地应用、场论初步也应引起重视.一、多元函数地微分欢迎下载精品学习资源1. 多元函数地极限limf x, yA 也记作欢迎下载精品学习资源 x, yx0 , y0 欢迎下载精品学习资源limf PA或 fP>APP0>欢迎下载精品学习资源PP0欢迎下载精品学习资源【说明】1> 二重极限存在是指 P以任何方式趋于P0 时 函数都无限接近于A欢迎下载精品学习资源2> 假如当 P 以两种不同方式趋于P0 时 函数趋于不同地值就函数地极限不存在欢迎下载精品学习资源例 1： 设f x, y x2y2 sin1求证limf x, y0欢迎下载精品学习资源【证明】 由于x2y2x, y 0,0欢迎下载精品学习资源| f x, y0| |x2y2sin1x2y20| | x2y2 |sin1|x2y2x2y2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源因此limx, y0,0f x, y0xyx2y20欢迎下载精品学习资源例 2： 争论： 函数f x, yx2y2 0x2y2在点 0 0>有无极限？0欢迎下载精品学习资源【解】 当点 P x y>沿 x 轴趋于点 0 0>时欢迎下载精品学习资源limf x, ylim f x, 0lim 00欢迎下载精品学习资源 x,y0,0x0x0欢迎下载精品学习资源当点 P x y>沿直线 y kx 有欢迎下载精品学习资源limxylimkx2k2222欢迎下载精品学习资源 x,yy0,0 xykxx0 xk x1k欢迎下载精品学习资源22因此 函数 f x y>在0 0>处无极限 .2、偏导数欢迎下载精品学习资源f / x , y f |limf x, y0 f x0 , y0 欢迎下载精品学习资源x00x x 0 , y 0 xx0xx0欢迎下载精品学习资源f / x , y f |limf x, y0 f x0 , y0 欢迎下载精品学习资源xx00 x0 , y0 xx 0xx0欢迎下载精品学习资源【说明】关于x y 求导时 ,临时把yx 看成常数 .欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源例： 验证函数 zlnx2y2 满意方程zz022x2y2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源【证明】由于zlnx2y21 lnx22y2 所以欢迎下载精品学习资源zx2z x2y2x 2xy2x22 zx2y2欢迎下载精品学习资源xx2y2x2x2y2 2x2y2 2y2x 2y2 2欢迎下载精品学习资源2z因此 x22zx2y2x2y2y2 2y2x2x20y2 2欢迎下载精品学习资源3、全微分假如函数 z f x y>在点 x y>地全增量zfxx yy> f x y>可表示为欢迎下载精品学习资源zA xB yo x2y2 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源即limz0A xBy0欢迎下载精品学习资源其中 A、B 不依靠于x、 y 而仅与x、y 有关 就称函数 z fx y>在点 x y>可微分 而称Ax B y 为函数 z fx y>在点 x y>地全微分 记作 dz 即dz A x B y【说明】欢迎下载精品学习资源<）假如函数z fx y>在点x y>可微 就函数在该点地偏导数z 、 z 必定存在 ,但xy欢迎下载精品学习资源反过来不对；<）假如函数 zfxy> 在点 xy> 可微 就函数在该点连续；欢迎下载精品学习资源<）z 、z 在 x y>存在 , 函数 zfxy> 在 x y>不肯定连续x y欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源例 4：争论函数性、及可微性 .f x, yxyx2y20x2y2x2y20在点 0 0> 处连续性、偏导数地存在0欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源【解】 0| xy |x2y 21x 2y 2欢迎下载精品学习资源x 2y22lin1x2x2y 22y 0, 所以2linxy0f 0,0欢迎下载精品学习资源 x, y 0, 0 2 x , y 0,0 x 2y 2欢迎下载精品学习资源函数在点 00>处连续；由偏导数地定义知f x0 0>0 及 f y0 0>0； 但函数在 0 0>不行微分 这是由于当 xy>沿直线 y x 趋于 0 0>时欢迎下载精品学习资源zlim00. f x 0, 0xf y 0, 0ylim0xyx2y 2limxxx0 x 2x 21不趋向2欢迎下载精品学习资源4、偏导数地求法<1 ）复合函数求导法欢迎下载精品学习资源z f u, v, uux, y, vv x, y欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源zfuxuxfv ,zvxyfufvuyvy欢迎下载精品学习资源例 5：<1） zu ln v, usinx,vcos x , 求 dzdx欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源22uuu2u2u欢迎下载精品学习资源<2） uf x, xy, xyz , 求,xyz,y 2x z欢迎下载精品学习资源【解】 1> dzdxz du u dxz dv v dxln v.cos xusin xvcos x ln cos xtan x sin x欢迎下载精品学习资源2>u/2 xyf /f12fxy2 zf /欢迎下载精品学习资源3/2ux 2 f y32 u2 xyzf /欢迎下载精品学习资源23333f32x 2 x2/33233y 2222xyzf / 2xzf /2xyz x 2/2xyzf / 欢迎下载精品学习资源x f4/2223233332 u2x 3 yzf /2 xzf /2x3 yzf /4x 2 y2 z2 f /欢迎下载精品学习资源fxy2/13f23333x z2 xyf /xy 2y 2 f /y2 zf /xy 2欢迎下载精品学习资源fxy2/132 x 2 y 3/y 2 f /xy 4 zf /欢迎下载精品学习资源<2 ）隐函数求导法欢迎下载精品学习资源如函数 zzx,y 由方程F x, y, z0 确定 , 方程两边关于x 求导 ,欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源例 6：ZFxFzx0 , 所以,Z xFZFyx, 同理 ,FzyFz欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源<1）如函数 zz x,y 由方程cxaz, cybz0 确定 , 求 azxbz .<C ）y欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源<2）如函数 y【解】 1>Cy x, zz x 由方程组xyx 2y2z02确定 , 求z1dz ,dy .dxdx欢迎下载精品学习资源2>方程两边关于x 求导欢迎下载精品学习资源1dy dxdz0 dx解得 dz xy ,dy xz欢迎下载精品学习资源2x2y dy dx2z dz0dxdxyzdxzy欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源例 7： 设zz x, y 是由方程 x2y2zxyz 所确定地函数 , 其中具有 2 阶欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源导数且1 时,求1> dz ；<2）记u x, y1zzu,求.欢迎下载精品学习资源xyxyx欢迎下载精品学习资源【解】 1> 2xdx2 ydydzxyzdxdydz ,1 dz2x dx2 y dy2 x dx2 y dydz11欢迎下载精品学习资源2>ux, y1zz 欢迎下载精品学习资源xyxy12x2 y xy1112 y2 x2xy11欢迎下载精品学习资源zu21x212x1212x212x欢迎下载精品学习资源x1 21 21 31 3欢迎下载精品学习资源<3 ）高阶导数2 zz2 z,z2 z,z2 zz欢迎下载精品学习资源x 2xxy 2yyx yxyy xyx欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源例 7 ： 设 函 数f u在 0, 内 具 有 二 阶 导 数 , 且zfx2y2满 足 等 式欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2 z2 zf u欢迎下载精品学习资源220 . 验证 fxyu0 .u2 z2 z2 z2 z欢迎下载精品学习资源【说明】 利用复合函数偏导数运算方法求出x2 ,y2 代入 x2y20 即可得欢迎下载精品学习资源【解】设ux2y2 ,就欢迎下载精品学习资源zf u xx,zx2y2yf uy.x2y22x2y2x欢迎下载精品学习资源2zxxx2y2欢迎下载精品学习资源2f uxx2y2x2x2y2y2f ux2y2欢迎下载精品学习资源f u22f u3 ,xyx2y222 zy2x22f u22f u3 .yxyx2y22欢迎下载精品学习资源222将z ,z 代入z x2y2x22 zy20 得欢迎下载精品学习资源f uf u0 .u2 f2 f欢迎下载精品学习资源例8 ： 设fu,v>具 有 二 阶 连 续 偏 导 数 , 且 满 足u 221 , 又v欢迎下载精品学习资源g x, y12f xy,x 22g2 g222y ,求.xy欢迎下载精品学习资源【分析】 此题是典型地复合函数求偏导问题：gf u,v , uxy, v1 x2y 2 ,直2欢迎下载精品学习资源2 f2 f接利用复合函数求偏导公式即可,留意利用.欢迎下载精品学习资源【解】故gyfxu2gy 2x f ,v2 fg y2 xyu vv uxfyf .uv22fx2ff ,欢迎下载精品学习资源x 2u 222gx 2fu v2 f2 xyv2v2 ffy 2.欢迎下载精品学习资源y 22 g2 g所以u 2v uv 2v22 x2y 2 fx 2y 2f欢迎下载精品学习资源x2y 2u 2v2=x 2y2 .欢迎下载精品学习资源二、极值与最值1. 二元函数地无条件极值1>二元函数地极值肯定在驻点 和不行导点 取得 .对于不行导点 ,难以判定是否是极值点；对于驻点可用极值地充分条件判定.欢迎下载精品学习资源2> 二元函数取得极值地必要条件 ：设 zf x, y 在点 x0,y0 处可微分且在点欢迎下载精品学习资源 x0 , y0 处有极值 ,就f ' x x0 , y0 0 , f ' y x0 ,y0 0 ,即 x0 , y0 是驻点 .欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源3> 二元函数取得极值地充分条件 ：设 zf x, y 在x0, y0 地某个领域内有连续欢迎下载精品学习资源上二阶偏导数,且f ' x x0 , y0 f ' y x0 ,y0 0,令欢迎下载精品学习资源f ' xx x0 , y0 A , f'xy x0 , y0 B , f' yy x0 ,y0 C ,就欢迎下载精品学习资源当 B 2AC0 且 A<0 时,f x , y 为极大值；00欢迎下载精品学习资源当 B 2AC0 且 A>0,f x0, y0 为微小值；欢迎下载精品学习资源B 2AC0 时, x0 ,y0 不是极值点 .欢迎下载精品学习资源【留意】当 B2 AC = 0 时, 函数 z = fx, y>在点另行争论例 9： 求函数 z = x3 + y2 2xy 地极值x0, y0 可能有极值 ,也可能没有极值 ,需欢迎下载精品学习资源【分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零地点,先求出一阶偏导 ,再令其为零确定极值点即可 ,然后用二阶偏导确定是极大值仍是微小值,并求出相应地极值.【解】先求函数地一、二阶偏导数：欢迎下载精品学习资源zz2 z2 z2 z欢迎下载精品学习资源3x22y ,2 y2 x 6 x ,2 ,2 欢迎下载精品学习资源22xyxx yy欢迎下载精品学习资源再求函数地驻点令z= 0,xz= 0, 得方程组y3x 22 y2y0,2x0.欢迎下载精品学习资源求得驻点 0,0> 、22 欢迎下载精品学习资源（ ， ）33利用定理 2 对驻点进行争论：2,C = 2, B1> 对驻点 0, 0>, 由于 A = 0,B = 2 AC0, 故 0, 0> 不是函数 z = f x, y>地极值点欢迎下载精品学习资源2> 对驻点22,由于 A =4, B = 2,C = 2,B2 AC = 40,且 A0, 就欢迎下载精品学习资源f22（ ， ）334欢迎下载精品学习资源（ ， ）33为函数地一个微小值27欢迎下载精品学习资源例 10：设 z=zx,y> 是由 x2地极值点和极值 .6 xy10y 22 yzz2180 确定地函数 ,求 zz x, y欢迎下载精品学习资源【分析】此题把极值问题与隐函数求导方法相结合,运算量是比较大地 .这表达了考研地基本要求 .欢迎下载精品学习资源【解】 由于 x 26xy z10 y 2z2 yzz2180 ,所以欢迎下载精品学习资源2 x6 y2 y2 z0 ,xx欢迎下载精品学习资源6x20 y2z2 yz y2 zz0 .y欢迎下载精品学习资源z0,z令x得0yx3y,故zy.x3 y3x10y0,z0,欢迎下载精品学习资源将上式代入x26 xy10 y22 yzz2180 ,可得x9,x9,y3,或y3,z3z3.欢迎下载精品学习资源由于22 z2 y22x2z 22 zz0 ,2xx22欢迎下载精品学习资源62z xz2 yz2zx yyz2 zz2 z xzz0,x y2 z欢迎下载精品学习资源202y22 yyy2222z0 ,yy 2欢迎下载精品学习资源22 z12 z12 z5欢迎下载精品学习资源所以 Ax 29 ,3,3 6 , Bx y9 ,3, 32 , Cy9,3,33 ,欢迎下载精品学习资源故 ACB 2110 , 又 A3660 , 从 而 点 9,3> 是 zx,y> 地 极 小 值 点 , 极 小 值 为欢迎下载精品学习资源z9,3>=3.类似地 ,由2 z1 2 z12 z5欢迎下载精品学习资源Ax29 , 3, 3 , B6x y 9,3, 32y 2,9, 3, 33欢迎下载精品学习资源可知 ACB 210 ,又 A3610 ,从而点 -9, -3> 是 zx,y> 地极大值点 ,极大值为C6欢迎下载精品学习资源z-9, -3>= -3.【点评】此题争论由方程所确定地隐函数求极值问题,关键是求可能极值点时应留意x,y,z满意原方程 .2. 二元函数地条件极值欢迎下载精品学习资源拉格朗日数乘法：设数f x, y, x,y在点 x0 , y0 某领域内有连续偏导数,引入帮助函欢迎下载精品学习资源F x, y,解联立方程组f x, yx, y欢迎下载精品学习资源xFf 'xFf ' x, y x, y'x x, y0' x, y0欢迎下载精品学习资源yyy x, y0欢迎下载精品学习资源得 x0 , y0 可能是 zf x,y 在条件x, y0 下地极值点欢迎下载精品学习资源例 11 经过点1,1,1 地全部平面中 ,哪一个平面与坐标面在第一卦限所围地立体地体积最欢迎下载精品学习资源小并求此最小体积【分析】条件极值常常考应用题.这一点大家应引起重视 .【解】设所求平面方程为欢迎下载精品学习资源由于平面过点xyab1,1,1 ,有z1, ca0, b0, c0 欢迎下载精品学习资源1111 abc欢迎下载精品学习资源设所求平面与三个坐标平面所围立体地体积为V, 就V作拉格朗日函数1 abc 6欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源L a, b, c1 abc6 11ab11 c欢迎下载精品学习资源求函数 L 地各个偏导数 ,并令它们为 0,得方程组：欢迎下载精品学习资源21 bc0,6a1 ac0,abc欢迎下载精品学习资源6b 21 ab0.6c2欢迎下载精品学习资源代入 1a111解得 a = b = c =3bc欢迎下载精品学习资源由于最小体积肯定存在又函数有惟一地驻点故a = b = c =3 为所求即平面欢迎下载精品学习资源x + y + z =3 与坐标面在第一卦限所围物体地体积最小最小体积为V min1339 .62欢迎下载精品学习资源例 12 求函数值.ux2y2z2在在约束条件zx2y2 和xyz4 下地最大和最小欢迎下载精品学习资源【解】设F x, y, zx2y2z2 x2y2z2 xyz4欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源1Fx x,y, z02 x2x 120欢迎下载精品学习资源Fy x, y, z02 y2 y 120欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源得方程组Fz x, y, z0即2 z120欢迎下载精品学习资源x2y2z0x2y2z0欢迎下载精品学习资源xyz40x2x1xyz40欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解得 y2z8或 y1z2欢迎下载精品学习资源222222得U max22872 , U min11263. 二元函数地最值二元函数地最值肯定在驻点和不行导点及边界点取得.欢迎下载精品学习资源例 13:D 是直线 xy6 与坐标轴围成地三角形闭区域,求 zx2 y4xy 在 D 上地欢迎下载精品学习资源最大值和最小值 .驻点 2,1 .欢迎下载精品学习资源例 14: 求 函 数f x, yx22 y2x2 y2在 区 域 D上 地 最 大 值 和 最 小 值 , 其 中 ：欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源D x, y x2y24, y0 .欢迎下载精品学习资源【分析】由于 D 为闭区域 ,在开区域内按无条件极值分析,而在边界上按条件极值争论即可.欢迎下载精品学习资源【解】 由于f x x, y2 x2 xy2 ,f y x, y4 y2x2 y,解方程：欢迎下载精品学习资源fx2 xf y4 y2 xy22x2 y0,得开区域内地可能极值点为2,1 .0欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2其对应函数值为f 2,12.欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源又当 y=0 时,f x, yx 在 2x2 上地最大值为 4,最小值为 0.欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源当 x2y24, y0,2x2 ,构造拉格朗日函数欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源F x, y,x22 y2x2 y2x2y24欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解方程组2Fx2 x2 xy2xF4 y2 x2 y2y0,0, 得可能极值点：0, 2,5 ,3 , 其对应欢迎下载精品学习资源yFx2y22240,欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源函数值为f 0, 28, f 5 ,3 7 .欢迎下载精品学习资源比较函数值2,0, 4,8,2247,知 fx, y>在区域 D 上地最大值为 8,最小值为 0.4欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源【评注】当 x2解更简洁 .y24, y0,2x2 ,y24x2 代入目标函数转换成一元函数求欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源例 5:已知函数 z=fx,y>地全微分 dzy 22 xdx2 ydy ,并且f 1,12 . 求 fx,y> 在椭圆域欢迎下载精品学习资源D x, y x 21 上地最大值和最小值 .4欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源【解】 由题设 ,知f2x ,xf2 y ,y欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源于是 f x, yx2C y ,且C y2 y ,从而C yy 2C ,欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源再由 f1,12 ,得 C=2, 故f x, yx 2y 22.欢迎下载精品学习资源<下略）三、应用1. 曲面地切平面与法线方程欢迎下载精品学习资源曲面 fx,y, z0 在点 M0 地切平面 这切平面地方程式是欢迎下载精品学习资源Fxx0y0z0>x x0 > Fyx0y0z0>y y0> Fzx0y0z0 >z z0> 0法线方程为欢迎下载精品学习资源x Fx x0,x0y0, z0y Fy x0,y0 y0,z0z Fz x0,z0y0, z0欢迎下载精品学习资源例 16： 求球面 x2y2z214 在点1 2 3>处地切平面及法线方程式欢迎下载精品学习资源2【解】 Fx y z>xy2 Fx 2x Fy 2y Fz 2zz2 14欢迎下载精品学习资源Fx1 2 3> 2 Fy1 2 3> 4 Fz1 2 3> 6法向量为 n 2 4 6> 或 n 1 2 3>所求切平面方程为2x 1> 4y 2> 6z 3> 0 即 x 2y 3z 14 0欢迎下载精品学习资源法线方程为x 11y2z323欢迎下载精品学习资源2. 场论初步<1）数量场： <方向导数） 函数 u fx y,z>在点 P0x0 y0 ,z0 >可微分 那么函数在该点沿任一方向 l 地方向导数都存在且有欢迎下载精品学习资源fl z , y , z f x x0, y0, z0 cosf y x0 ,y0 , z0 cosf z x0, y0, z0 cos欢迎下载精品学习资源000其中 coscos, cos是方向 l 地方向余弦欢迎下载精品学习资源<2 ）数量场 <梯度） 设三元函数f x, y, z 可微fff欢迎下载精品学习资源grad f x0 y0 z0> fxx0 y0 z0>i fyx0 y0 z0>j fz x0 y0 z0>k =,xyz结论函数在某点地梯度是这样一个向量它地方向与取得最大方向导数地方向一样而它地模为方向导数地最大值欢迎下载精品学习资源<）矢量场： <散度）已知 A P x, y, z, Qx, y, z, Rx,y, z欢迎下载精品学习资源div ApQRxyz欢迎下载精品学习资源<）矢量场： <旋度）已知 A P x, y, z, Qx, y, z, Rx,y, z欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源rot AijkxyzPQR欢迎下载