2022年最全面小学奥数的知识点总结归纳.docx

学校奥数的学问点汇总1、年龄问题的三大特点年龄问题：已知两人的年龄,求如干年前或如干年后两人年龄之间倍数关系的应用题, 叫做年龄问题；年龄问题的三个基本特点：两个人的年龄差是不变的; 两个人的年龄是同时增加或者同时削减的; 两个人的年龄的倍数是发生变化的;解题规律：抓住年龄差是个不变的数常数 ,而倍数却是每年都在变化的这个关键；例：父亲今年54 岁,儿子今年18 岁,几年前父亲的年龄是儿子年龄的7 倍 . 父子年龄的差是多少. 54 18 = 36 岁 几年前父亲年龄比儿子年龄大几倍. 7 - 1 = 6 几年前儿子多少岁. 36 ÷ 6 = 6 岁 几年前父亲年龄是儿子年龄的7 倍 . 18 6 = 12 年答： 12 年前父亲的年龄是儿子年龄的7 倍；2、归一问题特点归一问题的基本特点：问题中有一个不变的量,一般是那个 “单一量”, 题目一般用 “照这样的速度”等词语来表示；关键问题：依据题目中的条件确定并求出单一量;复合应用题中的某些问题,解题时需先依据已知条件,求出一个单位量的数值,如单位面积的产量、单位时间的工作量、单位物品的价格、 单位时间所行的距离等等,然后,再依据题中的条件和问题求出结果；这样的应用题就叫做归一问题,这种解题方法叫做“归一法”；有些归一问题可以实行同类数量之间进行倍数比较的方法进行解答,这种方法叫做倍比法；由上所述, 解答归一问题的关键是求出单位量的数值,再依据题中“照这样运算” 、“用同样的速度”等句子的含义,抓准题中数量的对应关系,列出算式,求得问题的解决；3、植树问题总结植树问题 基本类型：在直线或者不封闭的曲线上植树,两端都植树 在直线或者不封闭的曲线上植树,两端都不植树在直线或者不封闭的曲线上植树,只有一端植树封闭曲线上植树基本公式： 棵数 =段数 +1棵距×段数 =总长棵数 =段数 -1棵距×段数 =总长棵数 =段数棵距×段数 =总长关键问题：确定所属类型,从而确定棵数与段数的关系4、鸡兔同笼问题第 20 页,共 20 页基本概念： 鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题, 就是把假设错的那部分置换出来;基本思路：假设,即假设某种现象存在甲和乙一样或者乙和甲一样：假设后,发生了和题目条件不同的差,找出这个差是多少;每个事物造成的差是固定的,从而找出显现这个差的缘由;再依据这两个差作适当的调整,消去显现的差；基本公式：把全部鸡假设成兔子：鸡数=兔脚数×总头数- 总脚数 ÷ 兔脚数 -鸡脚数 把全部兔子假设成鸡：兔数=总脚数一鸡脚数×总头数÷ 兔脚数一鸡脚数关键问题：找出总量的差与单位量的差；5、盈亏问题基本概念：肯定量的对象,依据某种标准分组,产生一种结果：依据另一种标准分组,又产生一种结果,由于分组的标准不同,造成结果的差异,由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量.基本思路： 先将两种安排方案进行比较,分析由于标准的差异造成结果的变化,依据这个关系求出参与安排的总份数,然后依据题意求出对象的总量.基此题型：一次有余数,另一次不足;基本公式：总份数=余数 +不足数 ÷两次每份数的差当两次都有余数;基本公式：总份数当两次都不足;=较大余数一较小余数÷两次每份数的差基本公式：总份数=较大不足数一较小不足数 ÷两次每份数的差基本特点：对象总量和总的组数是不变的；关键问题：确定对象总量和总的组数；6、牛吃草问题基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1 ”份,依据两次不同的吃法,求出其中的总草量的差 ;再找出造成这种差异的缘由,即可确定草的生长速度和总草量；基本特点：原草量和新草生长速度是不变的;关键问题：确定两个不变的量；基本公式：生长量 = 较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数÷ 长时间 -短时间 ;总草量 =较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量; 7、平均数问题平均数基本公式：平均数=总数量÷总份数总数量 =平均数×总份数总份数 =总数量÷平均数平均数 =基准数 +每一个数与基准数差的和÷总份数基本算法：求出总数量以及总份数,利用基本公式进行运算.基准数法：依据给出的数之间的关系,确定一个基准数; 一般选与全部数比较接近的数或者中间数为基准数; 以基准数为标准,求全部给出数与基准数的差;再求出全部差的和;再求出这些差的平均数;最终求这个差的平均数和基准数的和,就是所求的平均数,详细关系见基本公式8、周期循环数周期循环与数表规律周期现象：事物在运动变化的过程中,某些特点有规律循环显现；周期：我们把连续两次显现所经过的时间叫周期；关键问题：确定循环周期；闰 年：一年有366 天 ;年份能被4 整除 ; 假如年份能被100 整除,就年份必需能被400 整除 ;平 年：一年有365 天；年份不能被4 整除 ;假如年份能被100 整除,但不能被400 整除 ; 9、抽屉原理抽屉原就一：假如把n+1 个物体放在n 个抽屉里,那么必有一个抽屉中至少放有2 个物体；例：把 4 个物体放在3 个抽屉里, 也就是把4 分解成三个整数的和,那么就有以下四种情形： 4=4+0+0 4=3+1+0 4=2+2+0 4=2+1+1观看上面四种放物体的方式,我们会发觉一个共同特点：总有那么一个抽屉里有2 个或多于 2 个物体,也就是说必有一个抽屉中至少放有2 个物体；抽屉原就二：假如把n 个物体放在m 个抽屉里,其中n>m ,那么必有一个抽屉至少有: k=n/m +1个物体：当n 不能被 m 整除时； k=n/m个物体：当n 能被 m 整除时； 懂得学问点：X 表示不超过X 的最大整数；例4.351=4;0.321=0;2.9999=2;关键问题： 构造物体和抽屉；也就是找到代表物体和抽屉的量,而后依据抽屉原就进行运算；10 、定义新运算基本概念：定义一种新的运算符号,这个新的运算符号包含有多种基本混合 运算；基本思路： 严格依据新定义的运算规章,把已知的数代入,转化为加减乘除的运算,然后依据基本运算过程、规律进行运算；关键问题：正确懂得定义的运算符号的意义；留意事项：新的运算不肯定符合运算规律,特殊留意运算次序；每个新定义的运算符号只能在此题中使用；11 、数列求和等差数列： 在一列数中,任意相邻两个数的差是肯定的,这样的一列数,就叫做等差数列；基本概念：首项：等差数列的第一个数,一般用a1 表示 ;项数：等差数列的全部数的个数,一般用n 表示 ;公差：数列中任意相邻两个数的差,一般用d 表示 ; 通项：表示数列中每一个数的公式,一般用an 表示 ; 数列的和：这一数列全部数字的和,一般用Sn 表示 .基本思路：等差数列中涉及五个量：a1 ,an, d, n, sn,通项公式中涉及四个量,假如己知其中三个,就可求出第四个;求和公式中涉及四个量,假如己知其中三个,就可以求这第四个；基本公式：通项公式：an = a1+n-1d;通项 =首项 + 项数一 1×公差 ;数列和公式：sn,= a1+ an × n÷ 2;数列和 = 首项 + 末项 ×项数÷ 2;项数公式： n= an+ a1 ÷ d+1; 项数 =末项 -首项 ÷公差 +1; 公差公式： d =an-a1 ÷ n-1;公差 =末项 -首项 ÷ 项数 -1;关键问题：确定已知量和未知量,确定使用的公式; 12 、二进制及其应用十进制： 用 0 9 十个数字表示,逢 10 进 1; 不同数位上的数字表示不同的含义,十位上的 2 表示 20 ,百位上的2 表示 200 ；所以 234=200+30+4=2× 102+3 × 10+4 ；=An × 10n-1+An-1× 10n-2+An-2× 10n-3+An-3 × 10n-4+An-4× 10n-5+An-6× 10n-7+ +A3 × 102+A2 × 101+A1 × 100留意： N0=1;N1=N其中 N 是任意自然数二进制：用0 1 两个数字表示,逢2 进 1;不同数位上的数字表示不同的含义；2= An × 2n-1+An-1 × 2n-2+An-2 × 2n-3+An-3 × 2n-4+An-4 × 2n-5+An-6 × 2n-7+ +A3 × 22+A2 × 21+A1 × 20留意： An 不是 0 就是 1；十进制化成二进制：依据二进制满2 进 1 的特点,用2 连续去除这个数,直到商为0,然后把每次所得的余数按自下而上依次写出即可；先找出不大于该数的2 的 n 次方, 再求它们的差,再找不大于这个差的2 的 n 次方,依此方法始终找到差为0 ,依据二进制绽开式特点即可写出；13 、加法原理加法乘法原理和几何计数加法原理：假如完成一件任务有n 类方法,在第一类方法中有m1 种不同方法,在其次类方法中有m2 种不同方法,在第n 类方法中有mn 种不同方法,那么完成这件任务共有： m1+ m2. +mn种不同的方法；关键问题：确定工作的分类方法；基本特点：每一种方法都可完成任务；乘法原理：假如完成一件任务需要分成n 个步骤进行,做第1 步有 m1 种方法,不管第1 步用哪一种方法,第 2 步总有 m2 种方法不管前面n-1 步用哪种方法,第 n 步总有 mn 种方法,那么完成这件任务共有：m1 × m2.× mn 种不同的方法；关键问题：确定工作的完成步骤；基本特点：每一步只能完成任务的一部分；直线：一点在直线或空间沿肯定方向或相反方向运动,形成的轨迹；直线特点：没有端点,没有长度；线段：直线上任意两点间的距离；这两点叫端点；线段特点：有两个端点,有长度；射线：把直线的一端无限延长；射线特点：只有一个端点; 没有长度；数线段规律：总数=1+2+3+ +点数一 1;数角规律 =1+2+3+ +射线数一 1;数长方形规律：个数=长的线段数×宽的线段数：数长方形规律：个数=1 × 1+2 × 2+3 × 3+ +行数×列数14 、质数与合数质数：一个数除了1 和它本身之外,没有别的约数,这个数叫做质数,也叫做素数；合数：一个数除了1 和它本身之外,仍有别的约数,这个数叫做合数；质因数：假如某个质数是某个数的约数,那么这个质数叫做这个数的质因数；分解质因数： 把一个数用质数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数；通常用短除法分解质因数；任何一个合数分解质因数的结果是唯独的；分解质因数的标准表示形式：N= ,其中 a1 、 a2、 a3 an 都是合数N 的质因数,且a1求约数个数的公式： P=r1+1 × r2+1 × r3+1 ×× rn+1 互质数：假如两个数的最大公约数是 1,这两个数叫做互质数；15 、约数与倍数约数和倍数：如整数 a 能够被 b 整除, a 叫做 b 的倍数, b 就叫做 a 的约数；公约数：几个数公有的约数,叫做这几个数的公约数; 其中最大的一个,叫做这几个数的最大公约数；最大公约数的性质：1、几个数都除以它们的最大公约数,所得的几个商是互质数；2、几个数的最大公约数都是这几个数的约数；3、几个数的公约数,都是这几个数的最大公约数的约数；4、几个数都乘以一个自然数m ,所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以 m ；例如： 12 的约数有1 、 2 、 3、 4、 6 、 12;18 的约数有：1、 2 、 3、 6、 9、 18;那么 12 和 18 的公约数有：1 、 2、 3、 6;那么 12 和 18 最大的公约数是：6,记作 12 , 18=6;求最大公约数基本方法：1、分解质因数法：先分解质因数,然后把相同的因数连乘起来；2、短除法：先找公有的约数,然后相乘；3、辗转相除法：每一次都用除数和余数相除,能够整除的那个余数,就是所求的最大公约数；公倍数：几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数; 其中最小的一个,叫做这几个数的最小公倍数；12 的倍数有：12、 24、 36 、 48 ;18 的倍数有：18、 36、 54 、 72 ;那么 12 和 18 的公倍数有：36 、 72 、 108 ;那么 12 和 18 最小的公倍数是36 ,记作 12 , 18=36;最小公倍数的性质：1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数；2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积；求最小公倍数基本方法：1 、短除法求最小公倍数;2 、分解质因数的方法16 、数的整除一、基本概念和符号：1、整除：假如一个整数a,除以一个自然数b,得到一个整数商c,而且没有余数,那么叫做 a 能被 b 整除或 b 能整除 a,记作 b|a ；2、常用符号：整除符号“| ”,不能整除符号“” ;由于符号“” ,所以的符号“”;二、整除判定方法：1. 能被 2、 5 整除：末位上的数字能被2 、 5 整除；2. 能被 4、 25 整除：末两位的数字所组成的数能被4、 25 整除；3. 能被 8、 125 整除：末三位的数字所组成的数能被8 、 125 整除；4. 能被 3、 9 整除：各个数位上数字的和能被3、 9 整除；5. 能被 7 整除：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7 整除；逐次去掉最终一位数字并减去末位数字的2 倍后能被 7 整除；6. 能被 11 整除：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11 整除；奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11 整除；逐次去掉最终一位数字并减去末位数字后能被11 整除；7. 能被 13 整除：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13 整除；逐次去掉最终一位数字并减去末位数字的9 倍后能被 13 整除；三、整除的性质：1. 假如 a、 b 能被 c 整除,那么 a+b 与 a-b 也能被 c 整除；2. 假如 a 能被 b 整除, c 是整数,那么a 乘以 c 也能被 b 整除；3. 假如 a 能被 b 整除, b 又能被 c 整除,那么a 也能被 c 整除；4. 假如 a 能被 b 、 c 整除,那么a 也能被 b 和 c 的最小公倍数整除；17 、余数及其应用基本概念：对任意自然数a、 b 、 q 、 r,假如使得a ÷ b=q r,且 0余数的性质：余数小于除数；如 a、 b 除以 c 的余数相同,就c|a-b或 c|b-a ； a 与 b 的和除以c 的余数等于a 除以 c的余数加上b 除以c 的余数的和除以c 的余数； a 与 b 的积除以18 、余数问题c 的余数等于a 除以c 的余数与b 除以c 的余数的积除以c 的余数；余数、同余与周期一、同余的定义：如两个整数a、 b 除以 m 的余数相同,就称a、 b 对于模 m 同余；已知三个整数a、b 、m ,假如 m|a-b ,就称 a、b 对于模 m 同余, 记作 a bmod m , 读作 a 同余于 b 模 m；二、同余的性质：自身性： a amod m;对称性：如a bmod m,就 b amod m;传递性：如a bmod m, b cmod m ,就 a cmod m;和差性：如a bmod m, c dmod m ,就 a+c b+dmod m, a-c b-dmod m;相乘性：如a bmod m, c dmod m ,就 a× c b× dmod m;乘方性：如a bmod m,就 an bnmod m;同倍性 :如 a bmod m,整数 c,就 a× c b × cmod m × c;三、关于乘方的预备学问：如 A=a× b ,就 MA=Ma × b=Mab如 B=c+d 就 MB=Mc+d=Mc× Md四、被 3、 9、 11 除后的余数特点：一个自然数M , n 表示 M 的各个数位上数字的和,就M nmod 9 或 mod 3;一个自然数M , X 表示 M 的各个奇数位上数字的和,Y 表示 M 的各个偶数数位上数字的和,就M Y-X 或 M 11-X-Ymod 11;五、费尔马小定理：假如p 是质数 素数 , a 是自然数,且a 不能被 p 整除,就ap-1 1mod p ；19 、分数与百分数的应用基本概念与性质：分数：把单位“1”平均分成几份,表示这样的一份或几份的数；分数的性质：分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数0 除外 ,分数的大小不变；分数单位：把单位“1”平均分成几份,表示这样一份的数；百分数：表示一个数是另一个数百分之几的数；常用方法：逆向思维方法：从题目供应条件的反方向或结果 进行摸索；对应思维方法：找出题目中详细的量与它所占的率的直接对应关系；转化思维方法：把一类应用题转化成另一类应用题进行解答；最常见的是转换成比例和转换成倍数关系;把不同的标准在分数中一般指的是一倍量 下的分率转化成同一条件下的分率；常见的处理方法是确定不同的标准为一倍量；假设思维方法：为明白题的便利,可以把题目中不相等的量假设成相等或者假设某种情形成立,运算出相应的结果,然后再进行调整,求出最终结果；量不变思维方法：在变化的各个量当中,总有一个量是不变的,不论其他量如何变化,而这个量是始终固定不变的；有以下三种情形：A、重量发生变化,总量不变；B、总量发生变化,但其中有的重量不变；C、总量和重量都发生变化,但重量之间的差量不变化；替换思维方法：用一种量代替另一种量,从而使数量关系单一化、量率关系明朗化；同倍率法：总量和重量之间依据同分率变化的规律进行处理；浓度配比法：一般应用于总量和重量都发生变化的状况；20 、分数大小的比较分数大小的比较基本方法：通分分子法：使全部分数的分子相同,依据同分子分数大小和分母的关系比较；通分分母法：使全部分数的分母相同,依据同分母分数大小和分子的关系比较；基准数法：确定一个标准,使全部的分数都和它进行比较；分子和分母大小比较法：当分子和分母的差肯定时,分子或分母越大的分数值越大；倍率比较法：当比较两个分子或分母同时变化时分数的大小,除了运用以上方法外, 可以用同倍率的变化关系比较分数的大小；详细运用见同倍率变化规律转化比较方法：把全部分数转化成小数 求出分数的值后进行比较；倍数比较法：用一个数除以另一个数,结果得数和1 进行比较；大小比较法：用一个分数减去另一个分数,得出的数和0 比较；倒数比较法：利用倒数比较大小,然后确定原数的大小；基准数比较法：确定一个基准数,每一个数与基准数比较；21 、完全平方数完全平方数特点：1. 末位数字只能是：0、 1、 4、 5、 6、 9;反之不成立；2. 除以 3 余 0 或余 1; 反之不成立；3. 除以 4 余 0 或余 1; 反之不成立；4. 约数个数为奇数; 反之成立；5. 奇数的平方的十位数字为偶数;反之不成立；6. 奇数平方个位数字是奇数;偶数平方个位数字是偶数；7. 两个相临整数的平方之间不行能再有平方数；平方差公式：X2-Y2=X-YX+Y完全平方和公式：X+Y2=X2+2XY+Y2完全平方差公式：X-Y2=X2-2XY+Y2 22 、比和比例比：两个数相除又叫两个数的比；比号前面的数叫比的前项,比号后面的数叫比的后项；比值：比的前项除以后项的商,叫做比值；比的性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数零除外 ,比值不变；比例：表示两个比相等的式子叫做比例；a:b=c:d 或比例的性质：两个外项积等于两个内项积 交叉相乘 , ad=bc ；正比例：如A 扩大或缩小几倍,B 也扩大或缩小几倍AB 的商不变时,就A 与 B 成正比；反比例：如A 扩大或缩小几倍,B 也缩小或扩大几倍AB 的积不变时,就A 与 B 成反比；比例尺：图上距离与实际距离的比叫做比例尺；按比例安排：把几个数按肯定比例分成几份,叫按比例安排；23 、综合行程问题综合行程基本概念： 行程问题是讨论物体运动的,它讨论的是物体速度、时间、路程三者之间的关系 .基本公式：路程=速度×时间 ;路程÷时间=速度 ;路程÷速度 =时间关键问题：确定运动过程中的位置和方向；相遇问题：速度和×相遇时间=相遇路程 请写出其他公式追及问题：追准时间=路程差÷速度差写出其他公式流水问题：顺水行程=船速 +水速 ×顺水时间逆水行程 = 船速 - 水速 ×逆水时间顺水速度 =船速 +水速逆水速度 =船速 -水速静水速度 = 顺水速度 +逆水速度 ÷ 2水 速= 顺水速度 -逆水速度 ÷ 2流水问题：关键是确定物体所运动的速度,参照以上公式；过桥问题：关键是确定物体所运动的路程,参照以上公式；主要方法：画线段图法基此题型： 已知路程 相遇路程、 追及路程 、时间 相遇时间、 追准时间 、速度 速度和、速度差 中任意两个量,求第三个量；24 、工程问题基本公式：工作总量 =工作效率×工作时间工作效率 =工作总量÷工作时间工作时间 =工作总量÷工作效率基本思路：假设工作总量为“1” 和总工作量无关;假设一个便利的数为工作总量一般是它们完成工作总量所用时间的最小公倍数,利用上述三个基本关系,可以简洁地表示出工作效率及工作时间.关键问题：确定工作量、工作时间、工作效率间的两两对应关系；体会简评：合久必分,分久必合；25 、规律推理问题规律推理基本方法简介：条件分析假设法： 假设可能情形中的一种成立, 然后依据这个假设去判定, 假如有与题设条件冲突的情形, 说明该假设情形是不成立的, 那么与他的相反情形是成立的； 例如, 假设 a 是偶数成立,在判定过程中显现了冲突,那么 a 肯定是奇数；条件分析列表法：当题设条件比较多,需要多次假设才能完成时,就需要进行列表来帮助分析； 列表法就是把题设的条件全部表示在一个长方形表格中,表格的行、 列分别表示不同的对象与情形,观看表格内的题设情形,运用规律规律进行判定；条件分析图表法：当两个对象之间只有两种关系时,就可用连线表示两个对象之间的关系,有连线就表示“是,有”等确定的状态,没有连线就表示否定的状态；例如A和 B 两人之间有熟悉或不熟悉两种状态,有连线表示熟悉,没有表示不熟悉；规律运算：在推理的过程中除了要进行条件分析的推理之外,仍要进行相应的运算, 依据运算的结果为推理供应一个新的判定挑选条件；简洁归纳与推理：依据题目供应的特点和数据,分析其中存在的规律和方法,并从特殊情形推广到一般情形,并递推出相关的关系式,从而得到问题的解决；26 、几何面积基本思路：在一些面积的运算上,不能直接运用公式的情形下,一般需要对图形进行割补,平移、旋转、翻折、分解、变形、重叠等,使不规章的图形变为规章的图形进行运算; 另外需要把握和记忆一些常规的面积规律；常用方法：1. 连帮助线方法2. 利用等底等高的两个三角形面积相等；3. 大胆假设 有些点的设置题目中说的是任意点,解题时可把任意点设置在特殊位置上；4. 利用特殊规律等腰直角三角形,已知任意一条边都可求出面积；斜边的平方除以4 等于等腰直角三角形的面积梯形对角线连线后,两腰部分面积相等；圆的面积占外接正方形面积的78.5% ；27 、时钟问题快慢表问题时钟问题快慢表问题基本思路：1、 依据行程问题中的思维方法解题;2、 不同的表当成速度不同的运动物体;3、 路程的单位是分格表一周为 60 分格 ;4、 时间是标准表所经过的时间;5、 合理利用行程问题中的比例关系;28 、时钟问题钟面追及基本思路：封闭曲线上的追及问题；关键问题：确定分针与时针的初始位置;确定分针与时针的路程差;基本方法：分格方法：时钟的钟面圆周被匀称分成60 小格,每小格我们称为1 分格；分针每小时走60 分格, 即一周 ;而时针只走5 分格,故分针每分钟走1 分格,时针每分钟走1/12分格；度数方法：从角度观点看,钟面圆周一周是360 °,分针每分钟转360/60度,即 6°,时针每分钟转 360/12*60度,即 1/2度；29 、浓度与配比体会总结： 在配比的过程中存在这样的一个反比例关系,进行混合的两种溶液的重量和他们浓度的变化成反比；溶质：溶解在其它物质里的物质例如糖、盐、酒精等叫溶质；溶剂：溶解其它物质的物质 例如水、汽油等叫溶剂；溶液：溶质和溶剂混合成的液体例如盐水、糖水等叫溶液；基本公式：溶液重量=溶质重量 +溶剂重量 ;溶质重量 =溶液重量×浓度;浓度 = × 100%=× 100%理论部分小练习：试推出溶质、溶液、溶剂三者的其它公式；体会总结： 在配比的过程中存在这样的一个反比例关系,进行混合的两种溶液的重量和他们浓度的变化成反比；30 、经济问题利润的百分数=卖价 -成本 ÷成本× 100%;卖价 =成本× 1+利润的百分数;成本 =卖价÷ 1+利润的百分数;商品的定价依据期望的利润来确定 ; 定价 =成本× 1+期望利润的百分数 ; 本金：储蓄的金额 ;利率：利息和本金的比 ;利息 =本金×利率×期数 ;含税价格 =不含税价格×1+ 增值税税率 ; 31 、简洁方程代数式：用运算符号加减乘除 连接起来的字母或者数字；方程：含有未知数的等式叫方程；列方程：把两个或几个相等的代数式用等号连起来；列方程关键问题：用两个以上的不同代数式表示同一个数；等式性质：等式两边同时加上或减去一个数,等式不变; 等式两边同时乘以或除以一个数 除 0 ,等式不变；移项：把数或式子转变符号后从方程等号的一边移到另一边;移项规章：先移加减,后变乘除;先去大括号,再去中括号,最终去小括号；加去括号规章：在只有加减运算的算式里,假如括号前面是“+”号,就添、去括号, 括号里面的运算符号都不变;假如括号前面是“-”号,添、去括号,括号里面的运算符号都要转变 ;括号里面的数前没有“+”或“ -”的,都按有“+”处理；移项关键问题：运用等式的性质,移项规章,加、去括号规章；乘法安排率：ab+c=ab+ac解方程步骤：去分母;去括号 ;移项 ; 合并同类项;求解 ;方程组：几个二元一次方程组成的一组方程；解方程组的步骤：消元; 按一元一次方程步骤；消元的方法：加减消元; 代入消元；32 、不定方程一次不定方程：含有两个未知数的一个方程,叫做二元一次方程,由于它的解不唯独, 所以也叫做二元一次不定方程;常规方法：观看法、试验法、枚举法;多元不定方程：含有三个未知数的方程叫三元一次方程,它的解也不唯独;多元不定方程解法：依据已知条件确定一个未知数的值,或者消去一个未知数,这样就把三元一次方程变成二元一次不定方程,依据二元一次不定方程解即可;涉及学问点：列方程、数的整除、大小比较;解不定方程的步骤：1 、列方程 ;2 、消元 ;3、写出表达式;4 、确定范畴 ;5 、确定特点;6 、确定答案 ;技巧总结： A、写出表达式的技巧：用特点不明显的未知数表示特点明显的未知数,同时考虑用范畴小的未知数表示范畴大的未知数;B、消元技巧：消掉范畴大的未知数; 33 、循环小数一、把循环小数的小数部分化成分数的规章纯循环小数小数部分化成分数：将一个循环节的数字组成的数作为分子,分母的各位都是 9, 9 的个数与循环节的位数相同,最终能约分的再约分；混循环小数小数部分化成分数：分子是其次个循环节以前的小数部分的数字组成的数与不循环部分的数字所组成的数之差,分母的头几位数字是9, 9 的个数与一个循环节的位数相同,末几位是0 , 0 的个数与不循环部分的位数相同；二、分数转化成循环小数的判定方法：一个最简分数,假如分母中既含有质因数2 和 5,又含有 2 和 5 以外的质因数,那么这个分数化成的小数必定是混循环小数；一个最简分数,假如分母中只含有2 和 5 以外的质因数,那么这个分数化成的小数必定是纯循环小数；1. 和差倍问题和差问题和倍问题差倍问题已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数一、和差倍问题（一）和差问题：已知两个数的和及两个数的差,求这两个数；方法 ：（和差） ÷ 2= 较小数,和 -较小数 =较大数方法 ：（和 + 差） ÷ 2=较大数,和 - 较大数 =较小数例如：两个数的和是15 ,差是 5,求这两个数；方法：（ 15-5 ） ÷ 2=5 ,（ 15+5 ）÷ 2=10 .（二）和倍问题： 已知两个数的和及这两个数的倍数关系,求这两个数；方法：和 ÷（倍数 +1） =1 倍数（较小数）1 倍数（较小数）×倍数 =几倍数（较大数）或 和 -1倍数（较小数）= 几倍数（较大数）例如：两个数的和为50 ,大数是小数的4 倍,求这两个数；方法： 50÷（ 4+1 ） =1010× 4=40（三）差倍问题：已知两个数的差及两个数的倍数关系,求这两个数；方法：差 ÷（倍数 -1） =1 倍数（较小数）1 倍数（较小数）×倍数 =几倍数（较大数） 或 和 -倍数（较小数）=几倍数（较大数）例如：两个数的差为80 ,大数是小数的5 倍,求这两个数；方法：80÷（ 5-1 ） =2020× 5=100和与差和与倍数差与倍数2. 年龄问题的三个基本特点： 两个人的年龄差是不变的； 两个人的年龄是同时增加或者同时削减的； 两个人的年龄的倍数是发生变化的；两人年龄的倍数关系是变化的量；解答年龄问题的一般方法是：几年后年龄 =大小年龄差 ÷倍数差 -小年龄,几年前年龄 =小年龄 -大小年龄差 ÷倍数差3. 归一问题的基本特点：问题中有一个不变的量,一般是那个 “单一量 ”,题目一般用 “照这样的速度 ”等词语来表示；关键问题：依据题目中的条件确定并求出单一量；4. 植树问题基本类型在直线或者不封闭的曲线上植树,两端都植树在直线或者不封闭的曲线上植树, 两端都不植树在直线或者不封闭的曲线上植树,只有一端植树封闭曲线上植树三、植树问题（一）不封闭型（直线）植树问题1、直线两端植树：棵数 =段数 +1= 全长 ÷株距 +1；全长 =株距 ×（棵数-1）；株距 =全长 ÷（棵数2、 直线一端植树：-1）；全长 =株距 ×棵数；棵数 =全长 ÷株距； 株距 =全长 ÷棵数；3 、直线两端都不植树：棵数 =段数 -1=全长 ÷株距 -1；株距 =全长 ÷（棵数 +1）；（二）封闭型（圆、三角形、多边形等）植树问题棵数 =总距离 ÷棵距；总距离 =棵数 ×棵距；棵距 =总距离 ÷棵数5. 鸡兔同笼问题基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题,就是把假设错的那部分置换出来；基本思路： 假设,即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）： 假设后,发生了和题目条件不同的差,找出这个差是多少； 每个事物造成的差是固定的,从而找出显现这个差的缘由； 再依据这两个差作适当的调整,消去显现的差；基本公式： 把全部鸡假设成兔子：鸡数（兔脚数×总头数总脚数）÷（兔脚数鸡脚数） 把全部兔子假设成鸡：兔数（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数）关键问题：找出总量的差与单位量的差；【鸡兔问题公式】（ 1）已知总头数和总脚数,求鸡、兔各多少：（总脚数 - 每只鸡的脚数×总头数）÷（每只兔的脚数- 每只鸡的脚数）=兔数；总头数 - 兔数 =鸡数；或者是（每只兔脚数×总头数- 总脚数）÷（每只兔脚数- 每只鸡脚数）=鸡数；总头数 - 鸡数 =兔数；例如 ,“有鸡、兔共36 只,它们共有脚100 只,鸡、兔各是多少只？”解一 （ 100- 2× 36）÷（ 4-2 ） =14 （只）兔；36-14=22 （只）鸡；解二 （ 4× 36 -100 ）÷（ 4-2 ） =22 （只）鸡；36-22=14 （只）兔；（答 略）（ 2）已知总头数和鸡兔脚数的差数,当鸡的总脚数比兔的总脚数多时,可用公式（每只鸡脚数×总头数- 脚数