2022年北京市高一数学初赛试题及解答.docx

精品学习资源2021年北京市中同学数学竞赛高中一年级初赛试题参考解答 20 1 7 年 4 月 9 日 选 择 题 答 案123456AABDCD填空题答案1234567824825041242410145一、选择题1集合 A=2, 0, 1, 7 ， B= x| x2-2A, x-2A ，就集合 B 的全部元素之积为A36B54C72D108 答： A解：由 x2-2A，可得 x2=4， 2，3，9，即 x= 2，2 ，3 ， 3 又由于 x-2A，所以 x 2， x 3，故 x= -2 ，2 ，3 ，-3 因此，集合 B=-2, -2 ,2 , -3 ,3 ， -3 所以，集合 B 的全部元素的乘积等于 -2-2 2 -3 3 -3=36 欢迎下载精品学习资源2. 已知锐角 ABC 的顶点 A 到它的垂心与外心的距离相等，就tanBAC =2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源A 33B 22C1D 3 欢迎下载精品学习资源答： A解：作锐角 ABC 的外接圆，这个圆的圆心 O 在形内，高 AD，CE 相交于点 H，锐角 ABC 的垂心 H 也在形内A连接 BO 交 O 于 K，BK 为 O 的直径. 连接 AK，K CKE由于 AD，CE 是 ABC 的高， KAB， KCB 是直OH径BK 上的圆周角，所以 KAB=KCB=90°于是 KA/CE，欢迎下载精品学习资源KC/AD，因此 AKCH 是平行四边形BDC欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以 KC=AH=AO= 12BK欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源在直角 KCB 中，由KC= 12BK，得 BKC=60°，所以 BAC=BKC=60°欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源故 tanBAC = tan3023°=3欢迎下载精品学习资源3. 将正奇数的集合 1, 3, 5, 7, 从小到大按第 n 组 2n-1 个数进行分组： 1 ，3,5, 7 ，9, 11, 13, 15, 17，数 2021 位于第 k 组中，就 k 为A31B32C33D34 答： B.解：数 2021 是数列 an= 2n -1 的第 1009 项设 2021 位于第 k 组，就1+3+5+ +2k-1 1009，且 1+3+5+ +2k-3 1009欢迎下载精品学习资源即 k 是不等式组k 21009 k121009的正整数解，解得 k =32，所以 2021 在第 32 组中欢迎下载精品学习资源4. 如图，平面直角坐标系 x-O-y 中，A, B 是函数 y = 1 在xyy = 1欢迎下载精品学习资源第 I 象限的图象上两点，中意 OAB=90°且 AO = AB，就等 x腰直角 OAB 的面积等于A欢迎下载精品学习资源A1 B22 C235B D22Ox欢迎下载精品学习资源答： D欢迎下载精品学习资源解：依题意， OAB=90°且 AO = AB，AOB=ABO=45°过点 A 做 y 轴垂线交y 轴于点 C，过点 B 做 y 轴平行线，交直线 CA 于点 Dy1易见 COA DABx欢迎下载精品学习资源设点 Aa,1a，就点 Ba + 1a1,1 - aa11CAD BOx欢迎下载精品学习资源由于点 B 在函数 y =即 1 - a2=1的图象上，所以a +xa- a=1，a欢迎下载精品学习资源a 2因此 S1ABC211+ a2 = 1 12 245 欢迎下载精品学习资源=OA2=2a 22a2a2欢迎下载精品学习资源5已知 f x = x5 + a1x4 + a2x3 + a3 x2 + a4x + a5，且当 m =1, 2, 3, 4 时，f m=2021m，就f 10- f -5=A71655B75156C75615D76515 答： C解：由于 当 m =1, 2, 3, 4 时， f m=2021m，所以 1, 2, 3, 4 是方程 f x-2021 x=0 的四个实根，由于 5 次多项式 f x-2021 x 有 5 个根，设第 5 个根为 p，就f x-2021 x = x-1 x-2 x-3 x-4 x- p即 f x = x-1 x-2 x-3 x-4 x- p+2021x所以 f 10=9 × 8× 7× 6p1+02- 017 × 1，0 f -5=-6× 7× 8× 9p5-2+017 ×，5因此 f 10- f -5=159× 8× 7× 6+2021=75615| x |, xa,欢迎下载精品学习资源6已知函数f xx24ax2a,假设存在实数 m，使得关于 x 的方程 f x=mxa.欢迎下载精品学习资源有四个不同的实根，就a 的取值范畴是欢迎下载精品学习资源A a1 B a71 C a61 D a1 54欢迎下载精品学习资源答： D解：要使方程 f x=m 有四个不同的实根，必需使得 y=m 的图像与 y=fx的图像有4 个不同的交点而直线与y=|x|的图像及二次函数的图像交点都是最多为两个，所以欢迎下载精品学习资源y=m 与函数 y=|x|, xa 的图像和 y=x2-4 ax+2a, xa 的图像的交点分别都是2 个而存在实数 m，使 y=m 与 y=|x|, xa 的图像有两个交点， 需要 a0，此时 0ma；欢迎下载精品学习资源又由于 y=x2-4 ax+2a, xa 顶点的纵坐标为42a42a44a24a 2，所以，要 y=m 与 y=x2-4 ax+2a,欢迎下载精品学习资源xa 的图像有两个交点，需要 m4因此 y=m 的图像与 y=fx的图像有 4 个不同的交点需要中意：欢迎下载精品学习资源解得 a1 40ma 且 m42a44a 2，欢迎下载精品学习资源二、填空题欢迎下载精品学习资源1. 用 x 表示不超过 x 的最大整数，设S12399 ，求S 的值欢迎下载精品学习资源答： 24解：由于 121, 2, 3 22，所以 1 1 ,2 ,3 2，因此1231，共 3 个 1；同理，224, 5, 6, 7, 832，因此，456782 ，共 5 个 2；又 32 9, 10, 11, 12, 13, 14, 1542，因此 910=153 ，共 7 个 3；依次类推， 161723244 ，共 9 个 4；252634355 ，共 11 个 5；363747486 ，共 13 个 6；495062637 ，共 15 个 7；646579808 ，共 17 个 8；818298999 ，共 19 个 9.欢迎下载精品学习资源S = 123 + 45678 + 8199 = 1 × 3+2× 5+3× 7+4× 9+5× 11+6× 13+7× 15+8× 17+9× 19=615由于 242=576615=S 625=252，即 24S 25，所以， S =24111111欢迎下载精品学习资源2确定 2021 log 2 2021 × 2021log 4 2021 × 2021log8 2021 × 2021log16 2021 × 2021log32 2021 5 的值欢迎下载精品学习资源答： 81解：原式 =2021 log 2021 2 × 2021log 2021 4 × 2021log 2021 8 × 2021log 2021 16 × 2021log 2021 32 511=2 × 4× 8× 16×5 =322 1×22×23×24×25 511=21+2+3+4+5 5 =215 5 =23=83. 已知ABC 的边 AB=29 厘米，BC=13 厘米，CA=34 厘米，求 ABC的面积答：平方厘米AP解：留意到 13=32+22，29=52+22， 34=52+32，作边长为 5 厘米的正方形 AMNP，分成 25 个 1 平方厘米的正方形网格， 如图根CM据勾股定理，可知， AB=29 厘米， BC=13 厘米， CA=34 厘BN米，因此 ABC 的面积可求欢迎下载精品学习资源ABC 的面积=5×5- 12× 3× 51-2× 2× 51-2× 2×平方厘米欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源4. 设函数的值答： 2f x x12lnx212x1x的最大值为 M，最小值为 N，试确定 M+N欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解：由已知得f x12xlnx21xx21欢迎下载精品学习资源222由于欢迎下载精品学习资源2lnx1xlnx1xlnx1xx1x欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源= lnx21x2 ln10 ，欢迎下载精品学习资源2所以 lnx 21xlnx21x ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源因此，lnx1x是奇函数欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源进而可判定，函数g x2xlnx21x21x为奇函数欢迎下载精品学习资源就 gx的最大值 M 1 和最小值 N1 中意 M1+N1= 0 由于 M =M1+1，N = N1+1，所以 M + N = 25. 设 A 是数集1, 2, , 2021的 n 元子集，且 A 中的任意两个数既不互质，又不存在整除关系，确定 n 的最大值答： 504解：在数集1, 2, , 2021 中选取子集， 使得子集中任意两个数不互质， 最大的子集是偶数集 2, 4, , 2021 共 1008 个元素，但其中，有的元素中意整除关系， 由于 1010 的 2 倍是 2021，所以集合 A=1010, 1012, 1014, , 2021 中，任意两个数既不互质， 又不存在整除关系， A 中恰有 504 个元素事实上 504 是 n 的最大值由于假设从 1009, 1011, , 2021中任取一个奇数， 会与 A 中的与它相邻的偶数互质；假设从 1, 2, 3, , 1008 中任取一数，就它的 2 倍在 A 中，存在整除关系6. 如图，以长为 4 厘米的线段 AB 的中点 O 为圆A心、2 厘米为半径画圆， 交 AB 的中垂线于点 E 和 F. 再分别以 A、B 为圆心，4 厘米为半径画圆弧交射线AE 于D点 C，交射线 BE 于点 D. 再以 E 为圆心 DE 为半径画圆F弧 DC ，求这 4 条实曲线弧连接成的“卵形” AFBCDAOEC的面积圆周率用 表示，不取近似值B答： 12-42 -4 平方厘米欢迎下载精品学习资源解：半圆 O, 2的面积= 12×22=2欢迎下载精品学习资源由于 AO=OB=2，所以 AB=AC=BD =4， AE=BE=22 ，ED=EC=4-22 又 AEB=CED=90°， EAB =EBA=45°，欢迎下载精品学习资源因此，扇形 BAD 的面积 =扇形 ACB 的面积= 1 ×42=2，AEB 的面积= 1× 4× 2=，4欢迎下载精品学习资源直角扇形 EDC 的面积= 14824-22 2= 6-42 ，欢迎下载精品学习资源卵形 AFBCDA 的面积 = 半圆O, 2的面积 +扇形 BAD 的面积+扇形 ACB 的面积- AEB 的面积+直角扇形 EDC 的面积= 2+2×2-4+6 -42 = 12-42 -4 平方厘米欢迎下载精品学习资源7. 已知f xx2x2100x5000，求 f 1+f 2+ +f 100的值欢迎下载精品学习资源答： 101解：设 gx = x2-100 x+5000，就g100- x = 100- x2-100100- x+5000=1002-200 x+x2-100 2+100x+5000= x2-100 x+5000= gx，即 gk = g100- k欢迎下载精品学习资源所以 f k + f 100- k =k2gk 100g 100k 2k 2=k 100gk k 2=2，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源又 f 50 =2502=1，f 100 =21002=2.欢迎下载精品学习资源501005050001001001005000所以， f 1+ f 2+ f 100= f 1+ f 99+ f 2+ f 98+ f 49+ f 51+ f 50+ f 100= 2 × 49+1+2=1018如图，在锐角 ABC 中， AC = BC = 10， D 是边 AB 上一点， ACD 的内切圆和BCD 的与 BD 边相切的旁切圆的半径都等于 2，求 AB 的长答： 45 B解：线段 AB 被两圆与 AB 的切点及点 D 分成四段， 由于两圆半径相等，再依据切线长定理，可知中间两段相等，于D欢迎下载精品学习资源2021 年北京市中同学数学竞赛高中一年级初赛试题参考解答C第7页 共 6 页A欢迎下载精品学习资源是可将这四段线段长度分别记为a, b, b, c，由于圆 O2 的切线长 CE = CG，所以 BC+a = CD+b = AC- c+b+b，而 AC = BC，所以 a+c = 2b欢迎下载精品学习资源由等角关系可得 AO1F O2BE，得EBO1FBE，即AFO2E欢迎下载精品学习资源a· O2 b D GbO1·c2a ，由此推出 ac = 4c2分别运算 BCD 和ACD 的面积：欢迎下载精品学习资源CFAS BCD12 BCCDBD , 2S ACD12 ACCDAD 2欢迎下载精品学习资源所以欢迎下载精品学习资源S ACDS BCDADBDABac2b4b .欢迎下载精品学习资源又设由 C 引向 AB 的高为 h，可得欢迎下载精品学习资源S ACDS BCD1 cah1ca 24ac1022b2欢迎下载精品学习资源22欢迎下载精品学习资源由、两式可得4b1ca 224ac1022b 2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源42将 a+c = 2b，ac = 4 代入，化简得 b25b1000欢迎下载精品学习资源解得 b2=5 或 b2=20，即 b =5 或 b = 25 ，负根舍 于是， AB = a+c+2b = 4b = 45 ，或 AB = 85 假设 AB = 85 ，ABC 为钝角三角形，不合题设 ABC 是锐角三角形的要求所以 AB 的长为 45 2021 年北京市中同学数学竞赛高中一年级初赛试题参考解答第8页 共 6 页欢迎下载