2022年北京市高三一模理科数学分类汇编复数,推理与证明6.docx

2021 北京市高三一模数学理分类汇编10：复数，推理与证明- 12 - / 7【2021 北京市海淀区一模理】（ 9）复数【答案】 2a + 2i 1- i在复平面内所对应的点在虚轴上，那么实数a =.【2021 北京市房山区一模理】9. i 是虚数单位，就i .1i11【答案】i22【2021 年北京市西城区高三一模理】8已知集合 A x | xaa3a32 a33 ，其中ak0,1,2 k0,1,2,3 ，且0123a30 . 就 A 中全部元素之和等于（）（ A ） 3240 （ B ） 3120 （ C） 2997 （ D） 2889【答案】 D【解读】 此题可转化为二进制，集合中的二进制数为a3 a2 a1 a0 ，由于 a30 ，所以最大的二进制数为 1111，最小的二进制数1000，对应的十进制数最大为15，最小值为8，就， 8 到 15 之间的所有整数都有集合中的数，所以全部元素之和为8158292 ，选 C.【2021 北京市丰台区一模理】14定义在区间 a， b 上的连结函数yf x ，假如a,b ，使得 fbf af ' ba ，就称为区间 a，b 上的“中值点”；以下函数： f x3 x2; f xx2x1; f xln x1 ；f x x1 3 中，在区间 0 ， 1 上2“中值点”多于一个函数序号为；（写出全部 满意条件的函数的序号）【答案】 【2021 北京市海淀区一模理】（ 14）已知函数f x =ì.í1,x . Q,就.0, x . eRQ,（）f f x =；（）给出以下三个命题：函数f x 是偶函数；存在xi . Ri1,2,3，使得以点 xi ,f xi i =1,2,3为顶点的三角形是等腰直角三角形；存在xi . Ri1,2,3,4，使得以点 xi ,f xi i =1,2,3,4为顶点的四边形为菱形.其中，全部真命题的序号是.【答案】 1ai【2021 北京市门头沟区一模理】9复数为纯虚数，就a1i【答案】 1【2021 北京市东城区一模理】（ 1）如 a ， bR ， i 是虚数单位，且ab2i1i ，就 ab的值为（A） 1（B） 2（C） 3（ D） 4【答案】 D【2021 北京市朝阳区一模理】1.复数 10i12iA.42i B. 42iC. 24i D. 24i【答案】 A【2021 北京市石景山区一模理】 2在复平面内，复数 21i 对应的点位于（）iA 第一象限B 其次象限C 第三象限D 第四象限【答案】 D【解读】 21i2i（1i1ii）1i 13i213 i22，所以对应点在第四象限，答案选D.【2021 北京市石景山区一模理】14集合U x, y | xR, yR , Mx, y | xya , Px, y | yf x ,现给出以下函数：yax ，y = log ax ， ysinxa ， ycos ax ，如 0a1 时，恒有 PCU MP, 就全部满意条件的函数f x 的编号是【答案】 【解读】由 PCU MP, 可知 MP,画出相应的图象可知， 满意条件；【2021 北京市朝阳区一模理】20（本小题满分 13 分）已知各项均为非负整数的数列A0 : a0, a1, annN ，满意a00 ， a1ann 如存在 最 小 的 正 整 数 k ， 使 得 akk k1) ， 就 可 定 义 变 换 T ， 变 换 T 将 数 列A0 变 为 数 列T A0 : a01, a11, ak 11, 0 , ak1 , an 设Ai 1T Ai ， i0,1,2（）如数列A0 : 0,1,1,3,0,0，试写出数列A5 ；如数列A4 : 4,0,0,0,0，试写出数列A0 ；（）证明存在唯独的数列A0 ，经过有限次 T 变换，可将数列A0 变为数列n,0,0,0 ；n个（）如数列A0 ，经过有限次 T 变换，可变为数列n,0,0,0 设 Smn个amam 1an ，m1,2, n ，求证数amSm Sm m m11，其中 Sm 表示不超过m1Sm的最大整m1【 答 案 】 解 ： （ ） 如A0 : 0 , 1 , 1 ,，3 ,就0 ,A10: 1 , 0 , 1 ,；3 , A02 :, 20,1,2,0,0,0；A3 :3,0,2,0,0,0 ；A4 : 4,1,0,0,0,0 ； A5 :5,0,0,0,0,0 如A4 : 4,0,0,0,0，就A3 :3,1；,0A2,: 2,00,2,0,00；A1 :1,1,2,0,0；A0 : 0,0,1,3,0 4 分（）先证存在性，如数列A : a , a ,a 满意 a0 及 a00ik1 ，就定义变换T 1 ，001nki变换 T1 将数列A 变为数列 T 1 A ： a1, a1, a1, k, a,a 0001k 1k 1n易知 T1 和 T 是互逆变换 5 分1对于数列n,0,0,0连续实施变换11T（始终不能再作111T变换为止）得n,0,0,0Tn1,1,0,0Tn2,0,2,0,0Tn3,1,2,0,0T1Ta , a , a01n ，就必有 a0 （如 a0 ，就仍可作变换T 1 ）反过来对a , a, a 作有限次变换T ，即可0001n仍原为数列n,0,0,0，因此存在数列A0 满意条件下用数学归纳法证唯独性：当n1,2 是明显的，假设唯独性对n1成立，考虑 n的情形假设存在两个数列a0 , a1, an及 b0, b1, bn 均可经过有限次T 变换，变为n,0,0，这里a0b00， a1a2anb1b2bnn如 0ann ，就由变换 T 的定义，不能变为n,0,0 ；如 ann ，就 a1a2an0 ，经过一次 T 变换，有 0,0,0, nT1,1,1,0由于 n3 ，可知 1,1,1,0 （至少 3 个 1）不行能变为n,0,0 所以 a0 ，同理 b0 令 a , a , aT1, a ,a , ann01n12n ，Tb0 ,b1,bn1,b1,b2 , bn ，就 anbn0，所以 a1a2an 1n1， b1b2bn 1n1由于 0, a , a有限次 Tn-1,0,01n 1，0,b ,b有限次 Tn-1,0,01n 1，故由归纳假设，有 aibi ， i1,2, n1 再由 T 与 T 1 互逆，有a , a , aT1, a , a,001n1n 1，Tb0 ,b1,bn1, b1 ,bn1,0 ，所以 aibi ， i1,2, n ，从而唯独性得证9 分（）明显 aii i1,2,n ，这是由于如对某个i 0 ， aii0 ，就由变换的定义可知，ai 通过00变换，不能变为 0 由变换 T 的定义可知数列A0 每经过一次变换，Sk 的值或者不变，或者削减k ，由于数列A0 经有限次变换 T ，变为数列n,0,0时，有 Sm0 ， m1,2, n ，所以 Smmtm tm 为整数 ，于是 SmamSm 1am m1tm1 ， 0amm，所以 a 为 S 除以 m1 后所得的余数，即 aSSm m1 13 分mmmmm1【2021 年北京市西城区高三一模理】20. （本小题满分 13 分）对于数列An : a1 ,a2, anaiN,i1,2, n，定义“ T 变换”： T 将数列An 变换成数列Bn : b1, b2 ,bn ，其中 bi| aiai 1| i1,2,n1，且 bn| ana1 | ，这种“ T 变换”记作 BnT An . 连续对数列Bn 进行“ T 变换”，得到数列Cn ，依此类推，当得到的数列各项均为 0 时变换终止（）试问A3 : 4, 2,8 和A4 :1,4,2,9经过不断的“ T 变换”能否终止？如能，请依次写出经过“ T 变换”得到的各数列；如不能，说明理由；（）求A3 : a1, a2, a3 经过有限次“ T 变换”后能够终止的充要条件；（）证明：A4 : a1, a2 , a3, a4 肯定能经过有限次“ T 变换”后终止【答案】 （）解：数列A3 : 4, 2,8 不能终止，各数列依次为2, 6, 4 ； 4,2,2 ； 2,0,2 ； 2,2,0 ；0,2,2 ；2,0,2 ；从而以下重复显现，不会显现全部项均为0 的情形2 分数列 A4 :1,4,2,9 能终止，各数列依次为3,2,7,8 ； 1,5,1,5 ； 4,4,4,4； 0,0,0,0 3 分（）解：A3 经过有限次“ T 变换”后能够终止的充要条件是a1a2a3 4 分如 a1a2a3 ，就经过一次“T 变换”就得到数列 0,0,0 ，从而终止5 分当数列A3 经过有限次“ T 变换”后能够终止时，先证命题“如数列T A3 为常数列，就 A3为常数列”当 a1a2a3 时，数列T A3 : a1a2 ,a2a3 , a1a3 由数列T A3 为常数列得 a1a2a2a3a1a3 ，解得 a1a2a3 ，从而数列A3 也为常数列其它情形同理，得证在数列A3 经过有限次“ T 变换”后终止时，得到数列0,0,0 常数列 ，由以上命题，它变换之前的数列也为常数列，可知数列A3 也为常数列8 分所以，数列A3 经过有限次“ T 变换”后能够终止的充要条件是a1a2a3 （）证明：先证明引理：“数列T An的最大项肯定不大于数列An 的最大项，其中 n3 ”证明：记数列An 中最大项为 max An ，就 0aimaxAn 令 BnT An ， biapaq ，其中 apaq 由于 aq0 ，所以 bia pmax An ，故 maxBnmax An ，证毕 9 分现将数列A4 分为两类第一类是没有为 0 的项，或者为0 的项与最大项不相邻（规定首项与末项相邻），此时由引理可知，maxB4max A4 1其次类是含有为 0 的项，且与最大项相邻，此时maxB4 maxA4 下面证明其次类数列A4 经过有限次“ T 变换”，肯定可以得到第一类数列不妨令数列A4 的第一项为 0 ，其次项 a 最大 a0 （其它情形同理）当数列A4 中只有一项为 0 时，如 A4 : 0,a, b, c ab, ac,bc0 ，就T A4 : a, ab,| bc |,c ，此数列各项均不为0或含有 0 项但与最大项不相邻，为第一类数列；如 A4 :0, a, a,b ab, b0 ，就T A4 : a,0, ab, b ； TT A4 : a, ab,| a2b |,ab此数列各项均不为 0 或含有 0 项但与最大项不相邻，为第一类数列；如 A4 : 0,a, b, a ab,b0 ，就T A4 : a, ab, ab, b ，此数列各项均不为0 ，为第一类数列；如 A4 : 0,a, a, a ，就 T A4 : a,0,0, a ； TT A4 : a,0, a,0 ； TTT A4 : a, a, a, a ，此数列各项均不为 0 ，为第一类数列当数列A4 中有两项为 0 时，如A4 : 0, a,0, b ab0 ，就 T A4 : a,a,b,b ，此数列各项均不为 0 ，为第一类数列；如 A4 : 0,a, b,0 ab0 ，就T A : a, ab,b,0 ， TT A : b,| a2b |,b, a ，此数列各项均不为 0 或含有 0 项但与最大项不相邻，为第一类数列当数列A4 中有三项为 0 时，只能是A4 : 0,a,0,0 ，就T A : a,a,0,0 ，T T A : 0, a,0, a ， T T T A : a, a, a,a ，此数列各项均不为0 ，为第一类数列总之，其次类数列A4 至多经过 3 次“ T 变换”，就会得到第一类数列，即至多连续经受3次“ T 变换”，数列的最大项又开头削减 又由于各数列的最大项是非负整数，故经过有限次“T 变换”后，数列的最大项肯定会为0 ，此时数列的各项均为0 ，从而终止 13 分