热点专题8动态几何问题（解析版）.docx

热点专题8 动点几何问题动态几何问题，是近年来的热点问题它几乎成了每个城市中考试卷中的亮点，拿到一套试卷，总是习惯先看看有没有关于动态几何的问题动态几何问题也就是关于图形运动的一类问题，它主要是牵扯到图形的三种变换平移、旋转、轴对称及动点问题当然考查图形的运动问题有小题，也有大题，小题主要分布在选择和填空的最后一两个题，也就是小压轴题，解答题中也会有关于图形的运动问题，主要有两类，一类是关于平移、旋转、轴对称的作图，这个比较简单，我们这里就不说了；另一类就是我们介绍的重点研究图形在运动过程中产生的一些图形性质上的变化和不变的情况这几乎成了压轴题基本上共同的特点中考要求课程标准和中考说明都要求学生要具备一定的用运动观点分析问题的能力学会在运动变化中寻求不变的图形性质学会运用函数的观点研究关于图形运动中性质的变化情况考向1 图形的运动与最值1. (2019 江苏省连云港市)如图，在矩形ABCD中，AB4，AD3，以点C为圆心作C与直线BD相切，点P是C上一个动点，连接AP交BD于点T，则的最大值是 【解析】如图，过点P作PEBD交AB的延长线于E，AEPABD，APEATB，AB4，AEAB+BE4+BE，BE最大时，最大，四边形ABCD是矩形，BCAD3，CDAB4，过点C作CHBD于H，交PE于M，并延长交AB于G，BD是C的切线，GME90°，在RtBCD中，BD5，BHCBCD90°，CBHDBC，BHCBCD，BH，CH，BHGBAD90°，GBHDBA，BHGBAD，HG，BG，在RtGME中，GMEGsinAEPEG×EG，而BEGEBGGE，GE最大时，BE最大，GM最大时，BE最大，GMHG+HM+HM，即：HM最大时，BE最大，延长MC交C于P'，此时，HM最大HP'2CH，GP'HP'+HG，过点P'作P'FBD交AB的延长线于F，BE最大时，点E落在点F处，即：BE最大BF，在RtGP'F中，FG，BFFGBG8，最大值为1+3，故答案为：32. (2019 江苏省无锡市)如图，在中，为边上一动点点除外），以为一边作正方形，连接，则面积的最大值为【解析】过D作DGBC于G，过A作ANBC于N，过E作EHHG于H，延长ED交BC于M易证EHDDGC，可设DGHEx，ABAC5，BC，ANBC，BNBC2，AN，GBC，ANBC，DGAN，BG2x，CGHD4- 2x；易证HEDGMD，于是，即MG ，所以SBDE BM×HD×(2x)×(4- 2x)，当x时，SBDE的最大值为8 因此本题答案为83. (2019 江苏省宿迁市)如图，MAN60°，若ABC的顶点B在射线AM上，且AB2，点C在射线AN上运动，当ABC是锐角三角形时，BC的取值范围是 【解析】如图，过点B作BC1AN，垂足为C1，BC2AM，交AN于点C2在RtABC1中，AB2，A60°ABC130°AC1AB1，由勾股定理得：BC1，在RtABC2中，AB2，A60°AC2B30°AC24，由勾股定理得：BC22，当ABC是锐角三角形时，点C在C1C2上移动，此时BC2故答案为：BC24. (2019 江苏省宿迁市)如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边EFG，连接CG，则CG的最小值为 【解析】由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动将EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到EFBEHG从而可知EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上作CMHN，则CM即为CG的最小值作EPCM，可知四边形HEPM为矩形，则CMMP+CPHE+EC1+故答案为5(2019 江苏省扬州市)如图，已知等边ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点（与点A、B不重合）直线1是经过点P的一条直线，把ABC沿直线1折叠，点B的对应点是点B（1）如图1，当PB4时，若点B恰好在AC边上，则AB的长度为 ；（2）如图2，当PB5时，若直线1AC，则BB的长度为 ；（3）如图3，点P在AB边上运动过程中，若直线1始终垂直于AC，ACB的面积是否变化若变化，说明理由；若不变化，求出面积；（4）当PB6时，在直线1变化过程中，求ACB面积的最大值【解析】（1）如图1中，ABC是等边三角形，A60°，ABBCAC8，PB4，PBPBPA4，A60°，APB是等边三角形，ABAP4故答案为4（2）如图2中，设直线l交BC于点E连接BB交PE于OPEAC，BPEA60°，BEPC60°，PEB是等边三角形，PB5，B，B关于PE对称，BBPE，BB2OBOBPBsin60°，BB5故答案为5（3）如图3中，结论：面积不变B，B关于直线l对称，BB直线l，直线lAC，ACBB，SACBSACB8216（4）如图4中，当BPAC时，ACB的面积最大，设直线PB交AC于E，在RtAPE中，PA2，PAE60°，PEPAsin60°，BE6+，SACB的最大值×8×（6+）4+246. (2019 江苏省苏州市) 已知矩形ABCD中，AB5cm，点P为对角线AC上的一点，且AP.如图，动点M从点A出发，在矩形边上沿着的方向匀速运动（不包含点C）.设动点M的运动时间为t（s），的面积为S（cm²），S与t的函数关系如图所示：（1）直接写出动点M的运动速度为 ，BC的长度为 ;（2）如图，动点M重新从点A出发，在矩形边上，按原来的速度和方向匀速运动.同时，另一个动点N从点D出发，在矩形边上沿着的方向匀速运动，设动点N的运动速度为.已知两动点M、N经过时间在线段BC上相遇（不包含点C），动点M、N相遇后立即停止运动，记此时的面积为.求动点N运动速度的取值范围;试探究是否存在最大值.若存在，求出的最大值并确定运动速度时间的值；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）2；10 （2）解：在边BC上相遇，且不包含C点 如右图 =15过M点做MHAC，则 = = 因为，所以当时，取最大值.7. (2019 江苏省扬州市)如图，四边形ABCD是矩形，AB20，BC10，以CD为一边向矩形外部作等腰直角GDC，G90°点M在线段AB上，且AMa，点P沿折线ADDG运动，点Q沿折线BCCG运动（与点G不重合），在运动过程中始终保持线段PQAB设PQ与AB之间的距离为x（1）若a12如图1，当点P在线段AD上时，若四边形AMQP的面积为48，则x的值为 ；在运动过程中，求四边形AMQP的最大面积；（2）如图2，若点P在线段DG上时，要使四边形AMQP的面积始终不小于50，求a的取值范围【解析】 P在线段AD上，PQAB20，APx，AM12，四边形AMQP的面积（12+20）x48，解得：x3；故答案为：3；当P，在AD上运动时，P到D点时四边形AMQP面积最大，为直角梯形，0x10时，四边形AMQP面积的最大值（12+20）10160，当P在DG上运动，10x20，四边形AMQP为不规则梯形，作PHAB于M，交CD于N，作GECD于E，交AB于F，如图2所示：则PMx，PNx10，EFBC10，GDC是等腰直角三角形，DECE，GECD10，GFGE+EF20，GH20x，由题意得：PQCD，GPQGDC，即，解得：PQ402x，梯形AMQP的面积（12+402x）×xx2+26x（x13）2+169，当x13时，四边形AMQP的面积最大169；（2）解：P在DG上，则10x20，AMa，PQ402x，梯形AMQP的面积S（a+402x）×xx2+x，对称轴为：x10+，0x20，1010+15，对称轴在10和15之间，10x20，二次函数图象开口向下，当x20时，S最小，202+×2050，a5；综上所述，a的取值范围为5a20考向2 动点与函数的结合问题1(2019 江苏省连云港市)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：yx2bxc过点C（0，3），与抛物线L2：yx2x2的一个交点为A，且点A的横坐标为2，点P、Q分别是抛物线L1、L2上的动点（1）求抛物线L1对应的函数表达式；（2）若以点A、C、P、Q为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点P的坐标；（3）设点R为抛物线L1上另一个动点，且CA平分PCR若OQPR，求出点Q的坐标【解析】（1）将x2代入yx2x+2，得y3，故点A的坐标为（2，3），将A（2，1），C（0，3）代入yx2+bx+c，得，解得，抛物线L1：yx22x3；（2）设点P的坐标为（x，x22x3），第一种情况：AC为平行四边形的一条边，当点Q在点P右侧时，则点Q的坐标为（x+2，2x3），将Q（x+2，2x3）代入yx2x+2，得2x3（x+2）2（x+2）+2，解得，x0或x1，因为x0时，点P与C重合，不符合题意，所以舍去，此时点P的坐标为（1，0）；当点Q在点P左侧时，则点Q的坐标为（x2，x22x3），将Q（x2，x22x3）代入yx2x+2，得yx2x+2，得x22x3（x2）2（x2）+2，解得，x3，或x，此时点P的坐标为（3，0）或（，）；第二种情况：当AC为平行四边形的一条对角线时，由AC的中点坐标为（1，3），得PQ的中点坐标为（1，3），故点Q的坐标为（2x，x2+2x3），将Q（2x，x2+2x3）代入yx2x+2，得x2+2x3（2x）2（2x）+2，解得，x0或x3，因为x0时，点P与点C重合，不符合题意，所以舍去，此时点P的坐标为（3，12），综上所述，点P的坐标为（1，0）或（3，0）或（，）或（3，12）；（3）当点P在y轴左侧时，抛物线L1不存在点R使得CA平分PCR，当点P在y轴右侧时，不妨设点P在CA的上方，点R在CA的下方，过点P、R分别作y轴的垂线，垂足分别为S、T，过点P作PHTR于点H，则有PSCRTC90°，由CA平分PCR，得PCARCA，则PCSRCT，PSCRTC，设点P坐标为（x1，），点R坐标为（x2，），所以有，整理得，x1+x24，在RtPRH中，tanPRH过点Q作QKx轴于点K，设点Q坐标为（m，），若OQPR，则需QOKPRH，所以tanQOKtanPRH2，所以2m，解得，m，所以点Q坐标为（，7+）或（，7）2(2019 江苏省常州市)已知平面图形S，点P、Q是S上任意两点，我们把线段PQ的长度的最大值称为平面图形S的“宽距”例如，正方形的宽距等于它的对角线的长度（1）写出下列图形的宽距：半径为1的圆： ；如图1，上方是半径为1的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形“： ；（2）如图2，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0）、B（1，0），C是坐标平面内的点，连接AB、BC、CA所形成的图形为S，记S的宽距为d若d2，用直尺和圆规画出点C所在的区域并求它的面积（所在区域用阴影表示）；若点C在M上运动，M的半径为1，圆心M在过点（0，2）且与y轴垂直的直线上对于M上任意点C，都有5d8，直接写出圆心M的横坐标x的取值范围【解析】（1）半径为1的圆的宽距离为1，故答案为1如图1，正方形ABCD的边长为2，设半圆的圆心为O，点P是O上一点，连接OP，PC，OC在RtODC中，OCOP+OCPC，PC1+，这个“窗户形“的宽距为1+故答案为1+（2）如图21中，点C所在的区域是图中正方形AEBF，面积为2如图22中，当点M在y轴的右侧时，连接AM，作MTx轴于TACAM+CM，又5d8，当d5时AM4，AT2，此时M（21，2），当d8时AM7，AT2，此时M（21，2），满足条件的点M的横坐标的范围为21x21当点M在y轴的左侧时，满足条件的点M的横坐标的范围为2+1x2+1考向3 运动过程中的定值问题1(2019 江苏省宿迁市)如图，在钝角ABC中，ABC30°，AC4，点D为边AB中点，点E为边BC中点，将BDE绕点B逆时针方向旋转度（0180）（1）如图，当0180时，连接AD、CE求证：BDABEC；（2）如图，直线CE、AD交于点G在旋转过程中，AGC的大小是否发生变化如变化，请说明理由；如不变，请求出这个角的度数；（3）将BDE从图位置绕点B逆时针方向旋转180°，求点G的运动路程【解析】（1）如图中，由图，点D为边AB中点，点E为边BC中点，DEAC，DBEABC，DBAEBC，DBAEBC（2）AGC的大小不发生变化，AGC30°理由：如图中，设AB交CG于点ODBAEBC，DABECB，DAB+AOG+G180°，ECB+COB+ABC180°，AOGCOB，GABC30°（3）如图1中设AB的中点为K，连接DK，以AC为边向右作等边ACO，连接OG，OB以O为圆心，OA为半径作O，AGC30°，AOC60°，AGCAOC，点G在O上运动，以B为圆心，BD为半径作B，当直线与B相切时，BDAD，ADB90°，BKAK，DKBKAK，BDBK，BDDKBK，BDK是等边三角形，DBK60°，DAB30°，DOG2DAB60°，的长，观察图象可知，点G的运动路程是的长的两倍2(2019 江苏省无锡市)如图1，在矩形中，动点从出发，以每秒1个单位的速度，沿射线方向移动，作关于直线的对称，设点的运动时间为（1）若如图2，当点落在上时，显然是直角三角形，求此时的值；是否存在异于图2的时刻，使得是直角三角形若存在，请直接写出所有符合题意的的值若不存在，请说明理由（2）当点不与点重合时，若直线与直线相交于点，且当时存在某一时刻有结论成立，试探究：对于的任意时刻，结论“”是否总是成立请说明理由【解析】（1）勾股求的AC= 易证,故1°如图，当PCB=90 °时，在PCB中采用勾股得：，解得t=22°如图，当PCB=90 °时，在PCB中采用勾股得：，解得t=63°当CPB=90 °时，易证四边形ABP为正方形，解得t=2（2）如图，PAM=45°2+3=45°，1+4=45°又翻折1=2，3=4又ADM=ABM（AAS）AD=AB=AB即四边形ABCD是正方形如图，设APB=xPAB=90°-xDAP=x易证MDABAM（HL）BAM=DAM翻折PAB=PAB=90°-xDAB=PAB-DAP=90°-2xDAM=DAB=45°-xMAP=DAM+PAD=45°