2022年北京高考数学试题与答案理科已校对.docx

2021 年一般高等学校招生全国统一考试数 学 理 北京卷 本试卷共 5 页， 150 分；考试时长120 分钟；考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效；考试终止后，将本试卷和答题卡一并交回；第一部分（挑选题共 40 分）一、挑选题共 8 小题 ，每道题 5 分， 共 40 分 在每道题列出的四个选项中， 选出符合题目要求的一项 （1） 已知集合 A xR 3x20 ， B xR x1x30 ，就 AI B（ A） ,1（ B ） 1,2 32（ C） , 3 3（D ） 3,（2） 设不等式组0x2,0y2表示的平面区域为 D 在区域 D 内随机取一个点，就此点到坐标原点的距离大于2 的概率是24（ A）4（ B ）2（ C）6（D ）4（3） 设 a ， bR “ a0 ”是“复数abi是纯虚数”的（ A）充分而不必要条件（ B）必要而不充分条件（ C）充分必要条件（ D）既不充分也不必要条件（4） 执行如下列图的程序框图，输出的S 值为（ A） 2（ B） 4（ C） 8（ D） 16开头k= 0, S=1k<3否输出 Sk=k+ 1S=S.2k是（5） 如图，ACB终止90 ， CDAB 于点 D ，以 BD 为直径的圆与交 BC 于点 E 就C1 / 10E（ A） CE CBAD DB（ B） CE CBADAB（ C）ADABCD 2（ D） CEEBCD 2（ 6）从 0, 2 中选一个数字，从 1, 3, 5 中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（ A） 24（ B ） 18（ C） 12（D ） 6（7） 某三棱锥的三视图如下列图，该三棱锥的表面积是4（ A） 2865234（ B） 3065（ C） 56125（ D） 60125正（主）视图俯视图侧（左）视图（8） 某棵果树前 n 年的总产量Sn 与 n 之间的关系Sn如下列图从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为（ A） 5（ B） 7（ C） 9其次部分（非挑选题共110 分）（ D） 11O12345678910 11n二、填空题共 6 小题 ， 每道题 5 分，共 30 分2 / 10（ 9）直线x2tty1t为参数 与曲线x 3cosy 3sin为参数 的交点个数为（10） 已知 an为等差数列，Sn 为其前 n 项和如 a111， S2a3 ，就2a2（11） 在ABC 中，如 a2 ， bc7 ， cos B，就 b4（12） 在直角坐标系 xoy中，直线 l 过抛物线y24x 的焦点 F ，且与该抛物线相交于A 、 B两点，其中，A 点在 x 轴上方如直线l 的倾斜角为 60 ，就OAF 的面积为uuru uur（13） 已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 是 AB 边上的动点，就 DE CB的值为（14） 已知f xm x2m xm3 ，g x2 x2 如同时满意条件： xR ，f x0 或g x0；x,4 ， f xg x0 就 m 的取值范畴是三、解答题共 6 小题 ， 共 80 分解答应写出文字说明 ，演算步骤或证明过程（15）（本小题共 13 分）已知函数f xsin xcosxsin 2xsin x（）求f x 的定义域及最小正周期；（）求f x 的单调递增区间（16）（本小题共 14 分）如图 1，在 Rt ABC 中，C90， BC3 ， AC6 ， D 、 E 分别为 AC 、 AB 上A3 / 10A的点，且 DE / BC ， DE图 2 2 ，将ADE 沿 DE 折起到A1DE 的位置，使A1CCD ，如14 / 10（）求证：A1C平面 BCDE ；（）如 M 是A1D 的中点，求 CM 与平面A1BE 所成角的大小；（）线段 BC 上是否存在点P ，使平面A1DP 与平面 A1BE 垂直？说明理由（17）（本小题共 13 分）近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱为调查居民生活垃圾分类投放情形，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计 1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060（）试估量厨余垃圾投放正确的概率；（）试估量生活垃圾投放错误的概率；（）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a, b, c ，其中 a0 ， abc600当数据a, b, c 的方差s2 最大时，写出a, b, c的值（结论不要求证明），并求此时s2 的值（ 注： s21 xx 2 xx 2 xx 2 ，其中x 为数据x , x, x 的平均n12n数）12n（18）（本小题共 13 分）已知函数f xax21 a0 ， g xx3bx （）如曲线yf x与曲线yg x在它们的交点1, c 处具有公共切线，求a, b 的值；（）当a 24b 时，求函数f xg x 的单调区间，并求其在区间-1上的最大值（19）（本小题共 14 分）已知曲线 C ： 5m x2m2 y28 mR （）如曲线 C 是焦点在 x 轴点上的椭圆，求m 的取值范畴；（）设 m4 ，曲线 C 与 y 轴的交点为A 、 B （点 A 位于点B 的上方），直线ykx求证：4 与曲线 C 交于不同的两点 M 、 N ，直线 y A, G, N 三点共线1 与直线 BM 交于点 G （20）（本小题共 13 分）设 A 是由 mn 个实数组成的 m 行 n 列的数表，满意：每个数的肯定值不大于1，且全部数的和为零记Sm,n 为全部这样的数表构成的集合对于 ASm,n ，记ri A 为 A 的第 i 行各数之和 1 i m ，cj A 为 A 的第 j 列各数之和 1 j n 记 k A 为 | r1 A |， | r2 A | ， | rm A|， | c1 A |， |c2 A | ， | cn A|中的最小值（）对如下数表A ，求k A的值；110.80.10.31（）设数表AS2, 3 形如11Cab1求 k A 的最大值；（）给定正整数 t ，对于全部的AS2, 2t1 ，求k A 的最大值2021 高考北京数学真题答案及简析一、挑选题题号12345678答案DDBCABBC二、填空题题号910111213142答案21；nn431； 14 ， 24三、解答题15. 解：f xsin xcos xsin 2x sin xsin xcos x2sin sin xxcos x2sin xcos xcos xsin 2x1cos 2 x2 sin2 x41， x | xk，kZ（1） 原函数的定义域为x | xk，kZ，最小正周期为 （2） 原函数的单调递增区间为8k，kkZ ，3k，k kZ816. 解：（1）CDDE ， A1EDEDE平面 A1CD ，又A1C平面A1CDE又 A1CCD ，A1CD ，zA1C平面 BCDE（ 2 ） 如 图 建 系 Cxyz ， 就 DA1 0,0,232 ，0 ，0，MA 0 ，0 ，23， B 0 ，3 ，0 ， E2 ，2 ，0E -2,2,0 A1B0 ，3 ， 23, A1E2 ， 1，0C 0,0,0D -2,0,0y设平面 A1BE 法向量为 nx，y，zxz3 yB 0,3,0A1Bn就0 3 y23z0 2A1En02 xy0xy2 n1，2 ， 3又 M1，0 ，3 CM1，0 ， 3 cosCMn1342| CM CM 与平面| | n |143132 222A1BE 所成角的大小 45（3） 设线段 BC 上存在点 P ，设 P 点坐标为 0 ，a ，0，就 a0 ，3就 A1P0 ，a ，23， DP2，a ，0设平面A1DP 法向量为 n1x1 ，y1 ，z111z3 ay就 ay123z10 62x1ay10x1 ay112 n13a ，6 ， 3a假设平面A1DP 与平面A1BE 垂直就 n1 3an0 ，123a0 ， 6a12 ， a2 0a3不存在线段 BC 上存在点 P ，使平面17（ ）由题意可知： 400 = 26003A1DP 与平面A1BE 垂直（ ）由题意可知： 200+60+40 = 321000102（ ）由题意可知：s21 a 2b23c120000 ，因此有当a600 ， b0 ， c0 时，有s80000 18解：（ ）由 1，c为公共切点可得：f xax21a0 ，就f x2ax ， k12a ，gxx 32a3bx ，就bf x=3 x 2b ， k23b ，又 f 1a1 ，g 11b ，a3a11b ，即 ab ，代入式可得：2b3（2）a4b ，设 h xf xg xx 3ax21 a2 x14就 h x3x 22ax1 a 2 ，令4h x0 ，解得： x1aa， x2；26a0 ，aa26 ，原函数在， a单调递增，在a ， a单调递减，在a ，上单调递2266增2如 1a ，即 a2 时，最大值为2h 1aa；4如a1a ，即 2aa6 时，最大值为 h1262如 1 综上所述：a 时，即6a6 时，最大值为 ha1 22当 a0 ，2时，最大值为h1x 2aa；当 a2 ,4y 2时，最大值为 ha1 219（ 1）原曲线方程可化简得：8815mm2由题意可得：885mm805m2，解得： 7m5280m2（2）由已知直线代入椭圆方程化简得：2k 21x216kx240 ，=322 k 23，解得：k 232由韦达定理得：xMx N16k，2k 21xM x N24，2k 21设 N xN, k xN4 ， M xM, kxM4 ， G xG ，1MB 方程为： ykxM6 x xM2 ，就 G3 xM，1，kxM6AG3 xM， 1，ANx，x k2 ，xM k6NN欲证 A ，G ，N三点共线，只需证AG ， AN 共线即 3xM x k2x成立，化简得：3kkxx6 xx NNxM k6MNMN将代入易知等式成立，就A ，G ，N 三点共线得证；20 解：（1） 由题意可知r1A1.2 ， r2A1.2 ， c1A1.1， c2A0.7 ， c3A1.8 kA0.7（2） 先用反证法证明 kA 1：如 kA1就 | c1A | | a1|a11 ， a0同理可知 b0 ， ab0由题目全部数和为 0即 abc1 c1ab1与题目条件冲突 kA 1 易知当 ab0 时， kA1 存在 kA的最大值为 1（3） kA 的最大值为 2t1 .第一构造满意tk A22t1 的 At2 ai , j i1,2, j1,2,., 2t1 ：aa.a1,aa.at1 ，1,11,21,t1,t11,t21,2 t 1t2a2,1a2,2.a2,tt 2t tt1, a2,t 12a2,t 2.a2,2 t 11 .经运算知， A 中每个元素的肯定值都小于1，全部元素之和为0，且| r A | | r A |2t1 ，12t2t 2t1t12t1| c1 A | | c2 A |.|ct A | 11，| ct1 A | | ct2 A |.| c2tt t1 A |12t2t2t12t1.t2t2下 面 证 明 2tt1 是 最 大 值 . 如 不 然 ， 就 存 在 一 个 数 表2AS2, 2t1) ， 使 得k Ax2t1.t2由 k A 的定义知 A 的每一列两个数之和的肯定值都不小于x ，而两个肯定值不超过1的数的和，其肯定值不超过2，故 A 的每一列两个数之和的肯定值都在区间 x, 2 中. 由于x1 ，故 A 的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且肯定值均不小于x1.设 A 中 有 g 列 的 列 和 为 正 ， 有 h 列 的 列 和 为 负 ， 由 对 称 性 不 妨 设 gh ， 就gt, ht1 . 另外，由对称性不妨设A 的第一行行和为正，其次行行和为负.考虑 A 的第一行，由前面结论知A 的第一行有不超过t 个正数和不少于 t1 个负数，每个正数的肯定值不超过1（即每个正数均不超过1 ），每个负数的肯定值不小于x1（即每个负数均不超过1x） . 因此| r1 A |r1 At 1t11x2t1t1) xx2t1t2) xx，故 A 的第一行行和的肯定值小于x ，与假设冲突 . 因此 kA的最大值为 2t1 .t2