2022年最新高中数学必修4平面向量知识点总结与典型例题归纳.docx
精品文档平面对量【基本概念与公式】【任何时候写向量时都要带箭头】1. 向量 ：既有大小又有方向的量；记作：AB 或 a ；2. 向量的模 ：向量的大小（或长度） ,记作： | AB |或 | a |；3. 单位向量 ：长度为 1 的向量；如 e是单位向量,就| e|1；4. 零向量 ：长度为 0 的向量；记作： 0 ；【 0 方向是任意的,且与任意向量平行】5. 平行向量（共线向量） ：方向相同或相反的向量；6. 相等向量 ：长度和方向都相同的向量；7. 相反向量 ：长度相等,方向相反的向量；ABBA；8. 三角形法就：ABBCAC ； ABBCCDDEAE ； ABACCB （指向被减数）9. 平行四边形法就 ：以 a, b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为ab , ab ；精品文档10. 共线定理 ：aba / /b ；当0 时, a与b 同向；当0 时, a与b 反向；211. 基底 ：任意不共线的两个向量称为一组基底；12. 向量的模： 如 ax, y,就 | a|x2y 2 , a| a |2 , | ab | ab213. 数量积与夹角公式：a b| a | | b | cos；cosa b| a | | b |14. 平行与垂直：a / / babx1 y2x2y1；aba b0x1x2y1 y20题型 1. 基本概念判定正误：（ 1）共线向量就是在同一条直线上的向量；（ 2）如两个向量不相等,就它们的终点不行能是同一点；（ 3）与已知向量共线的单位向量是唯独的；（ 4）四边形 ABCD是平行四边形的条件是ABCD ；（ 5）如 ABCD ,就 A、B、C、D四点构成平行四边形；（ 6）如 a 与 b 共线, b 与 c 共线,就 a 与 c 共线；（ 7）如 mamb ,就 ab ；（ 8）如 mana ,就 mn ；（9）如 a 与 b 不共线,就 a 与 b 都不是零向量；（ 10）如 a b| a | | b | ,就a / /b ；（ 11）如 | ab | | ab |,就 ab ；题型 2. 向量的加减运算1. 设 a 表示“向东走8km”,b 表示“向北走 6km” , 就| ab |；2. 化简 ABMB BOBC OM；3. 已知 | OA |5 , |OB |3 , 就 | AB | 的最大值和最小值分别为、；4. 已知 AC为AB与AD的和向量,且ACa, BDb ,就 AB, AD；5. 已知点 C 在线段 AB 上,且 AC题型 3. 向量的数乘运算3 AB , 就 ACBC , ABBC ；51. 运算： 22a5b3c3 2 a3b2c2. 已知 a1, 4, b3,8 ,就 3a1 b；2题型 4 依据图形由已知向量求未知向量1. 已知在ABC 中, D 是 BC 的中点,请用向量AB,AC表示 AD ；2. 在平行四边形 ABCD 中,已知 ACa, BDb ,求 AB和AD ；题型 5. 向量的坐标运算1. 已知 AB4,5, A2,3,就点 B 的坐标是；2. 已知 PQ 3,5 , P 3,7,就点 Q 的坐标是；3. 如物体受三个力F11,2 ,F2 2,3 ,F3 1,4, 就合力的坐标为；4. 已知 a3,4 , b5, 2 ,求 ab , ab , 3a2b ；5. 已知A1,2, B 3,2, 向量 a x2, x3 y2 与 AB 相等,求x, y的值；6. 已知 AB2,3, BCm, n , CD1,4 ,就 DA；7. 已知 O 是坐标原点,A2,1,B 4,8 ,且 AB3BC0 ,求 OC 的坐标；题型 6. 判定两个向量能否作为一组基底1. 已知e1, e2是平面内的一组基底,判定以下每组向量是否能构成一组基底：A. e1e2和e1e2B. 3e12e2和4e26e1C. e13e2和e23e1D.e2和e2e12. 已知 a3,4,能与 a 构成基底的是（）A.3 4,5 543B.,55C.3 ,4 D.55 1,4 3题型 7. 结合三角函数求向量坐标1. 已知 O 是坐标原点,点 A 在其次象限, |OA |2 ,xOA150,求 OA 的坐标；2. 已知 O 是原点,点 A 在第一象限, | OA |43 ,xOA60 ,求 OA 的坐标；题型 8. 求数量积1. 已知 | a |3,| b|4 ,且 a 与 b 的夹角为 60 ,求（ 1） a b ,（ 2） aab ,（ 3） a1 b 2b ,（ 4） 2 ab a3b ；2. 已知 a2,6, b8,10 ,求（ 1） | a |,| b | ,（ 2） a b ,（ 3） a2ab ,（ 4） 2 ab a3b ；题型 9. 求向量的夹角1. 已知 | a |8,| b|3 , a b12 ,求 a 与 b 的夹角；2. 已知 a3,1, b23, 2 ,求 a 与 b 的夹角；3. 已知A1,0 , B 0,1 , C 2,5,求 cosBAC ；题型 10. 求向量的模1. 已知 | a |3,| b|4 ,且 a 与 b 的夹角为 60 ,求（ 1） | ab|,（ 2） | 2 a3b |；2. 已知 a2,6, b8,10 ,求（ 1） | a |,| b | ,（ 5） | ab| ,（6） | a1b |；23. 已知 | a |1,| b |2 , | 3a2b |3 ,求 | 3ab |；题型 11. 求单位向量【与 a 平行的单位向量： ea】| a |1. 与 a12,5平行的单位向量是2.与 m1 1,2平行的单位向量是；题型 12. 向量的平行与垂直1. 已知 a1,2 , b3, 2 ,（1） k 为何值时,向量 kab 与 a3b 垂直？（ 2） k 为何值时向量 kab 与 a3b 平行？2. 已知 a 是非零向量,a ba c ,且 bc ,求证： abc ；题型 13. 三点共线问题1. 已知A0,2 , B 2, 2 , C 3, 4 ,求证：A, B, C 三点共线；2. 设 AB2 a25b, BC2a8b, CD3ab ,求证： A、B、D三点共线；3. 已知ABa2b, BC5a6b,CD7 a2b ,就肯定共线的三点是；4. 已知A1, 3 , B 8,1 ,如点C 2 a1,a2 在直线 AB 上,求 a 的值；5. 已知四个点的坐标O 0,0,A3, 4 ,B 1,2 ,C 1,1,是否存在常数 t ,使 OA tOBOC成立？题型 14. 判定多边形的外形1. 如 AB3e , CD5e,且 | AD| | BC|, 就四边形的外形是；2. 已知A1,0 , B 4,3, C 2, 4 ,D 0,2,证明四边形 ABCD 是梯形；3. 已知A 2,1 , B 6,3 , C 0,5,求证：ABC 是直角三角形；4. 在平面直角坐标系内,OA 1,8,OB 4,1,OC1,3, 求证：ABC 是等腰直角三角形；题型 15. 平面对量的综合应用1. 已知 a1,0 , b2,1 ,当 k 为何值时,向量 kab 与 a3b 平行？2. 已知 a3,5 ,且 ab , | b |2 ,求 b 的坐标；3. 已知 a与b 同向, b1,2 ,就 a b10 ,求 a 的坐标；4. 已知 a1,2 , b3,1 , c5,4,就 cab ；5. 已知 am,3 , b2,1 ,（ 1）如 a 与 b 的夹角为钝角,求 m 的范畴；（ 2）如 a 与 b 的夹角为锐角,求 m 的范畴；6. 已知 a6,2 , b3,m ,当 m 为何值时, （ 1） a与 b 的夹角为钝角？（ 2） a 与 b 的夹角为锐角？7. 已知梯形 ABCD 的顶点坐标分别为求点 C 的坐标；A 1,2 ,B 3, 4 ,D 2,1 ,且AB / / DC ,AB2CD ,8. 已知 ABC 三个顶点的坐标分别为A3, 4 ,B 0,0, Cc,0 ,（ 1）如ABAC0 ,求 c 的值；（2）如 c5 ,求 sin A 的值；
