2022年千题百炼——高中数学100个热点问题第100炼-利用同构特点解决问题.docx

精品学习资源第 100 炼 利用同构特点解决问题一、基础学问：1、同构式：是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式2、同构式的应用：欢迎下载精品学习资源1在方程中的应用：假如方程fa0 和 fb0 出现同构特点，就a,b 可视为方程欢迎下载精品学习资源fx0 的两个根2在不等式中的应用：假如不等式的两侧出现同构特点，就可将相同的结构构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系；可比较大小或解不等式欢迎下载精品学习资源3在解析几何中的应用： 假如A x1, y1, B x2, y2满意的方程为同构式， 就A, B 为方程欢迎下载精品学习资源所表示曲线上的两点； 特殊的，假设满意的方程是直线方程，就该方程即为直线AB 的方程欢迎下载精品学习资源 4在数列中的应用：可将递推公式变形为“依序同构”的特点，即关于an ,n与欢迎下载精品学习资源an 1, n1 的同构式，从而将同构式设为帮助数列便于求解二、典型例题：例1： 2021 天津十二校联考 设x, yR ，满意x1552xsinx13，就xyy12 ysiny11A.0B.2C.4D.6思路： 此 题 研 究对 象并非 x, y ， 而 是x1 , y1，进而 可 变 形 为欢迎下载精品学习资源5x 12 x5y 12 y1sin x1sin y11，观看上下式子左边结构相同，进而可将相同的结构11欢迎下载精品学习资源视为一个函数， 而等式右边两个结果互为相反数，可联想到函数的奇偶性，从而利用函数性质求解欢迎下载精品学习资源5x 12x解：5y 12 ysin x13sin y115x 12 x5y 12y1sin x111sin y11欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源设 ftt 52tsint ，可得 ft 为奇函数，由题意可得：欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源fx11fy11fx1fy1欢迎下载精品学习资源x1y1xy2欢迎下载精品学习资源答案： B例 2：假设函数fxx1m在区间a, b 上的值域为a , bba 221 ，就实数 m 的欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源取值范畴是 思路：留意到 fx 是增函数，从而得到faa , fbb ，即a1ma2 ，发觉欢迎下载精品学习资源22b1mb 2欢迎下载精品学习资源两个式子为a,b 的同构式， 进而将同构式视为一个方程，而 a,b 为该方程的两个根， m 的取欢迎下载精品学习资源值只需要保证方程有两根即可解：fx为增函数欢迎下载精品学习资源faa , fbba1ma 2欢迎下载精品学习资源22b1mb 2xx欢迎下载精品学习资源a, b 为方程x1m在 1,上的两个根，即2mx1 有两个不同的根2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源令 tx1 t0xt21欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以方程变形为： m1 t 21t1 t 22t1，结合图像可得：m0, 1欢迎下载精品学习资源2221答案： m0,2欢迎下载精品学习资源例 3：设a,bR ，就| “ ab ”是“ a ab b ”的欢迎下载精品学习资源A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充要又不必要条件思路：观看 a ab b 可发觉其同构的特点，所以将这种结构设为函数fxx x ，分析欢迎下载精品学习资源其单调性；fxx xx2 , xx2 , x0可得 fx 为增函数；所以 abfafb ，0欢迎下载精品学习资源即 aba ab b ，所以是充要条件答案： C欢迎下载精品学习资源例 4：假设 0x1x21，就欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源A.ex2ex1ln xln xB.ex1ex2ln xln x欢迎下载精品学习资源2121欢迎下载精品学习资源C. x ex1x ex2D. x ex1x ex2欢迎下载精品学习资源2121答案： C欢迎下载精品学习资源思路：此题从选项动身可发觉，每个选项通过不等式变形将x1, x2 分居在不等式两侧后都具欢迎下载精品学习资源备同构的特点，所以考虑将相同的形式构造为函数，从而只需判定函数在0,1 的单调性欢迎下载精品学习资源即可解： A 选项：ex 2ex1ln xln xex2ln xex1ln x ，设fxexln x欢迎下载精品学习资源2121欢迎下载精品学习资源f 'xex1xex1 ，设 g xxex1 ，就有 g'xx1 ex0 恒成立，所欢迎下载精品学习资源xx欢迎下载精品学习资源以 g x 在 0,1 单调递增，所以g 010,g 1e 10 ，从而存在x00,1 ，使欢迎下载精品学习资源得 g x00 ，由单调性可判定出：欢迎下载精品学习资源x0, x0, g'x0f ' x0, xx ,1 , g'x0f ' x0， 所 以 fx在欢迎下载精品学习资源00,1 不单调，不等式不会恒成立欢迎下载精品学习资源B 选项： ex1ex2ln xln xex1ln xex2ln x ，设f xexln x 可知 fx欢迎下载精品学习资源2112欢迎下载精品学习资源单调递增；所以应当fx1ex1fx2 ex2， B 错误exx1 ex欢迎下载精品学习资源21C 选 项 ： x ex1x ex2， 构 造 函 数 fx， f 'x， 就欢迎下载精品学习资源x1x2xx2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源f 'x0 在 x0,1恒成立；所以 fx 在 0,1 单调递减，所以fx1fx2成立欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源D 选项：x ex1x ex2ex1ex2，同样构造 fxex，由 C 选项分析可知D 错误欢迎下载精品学习资源xx2112x答案： C欢迎下载精品学习资源例 5 ：已知函数fx 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有欢迎下载精品学习资源xfx1x1 fx ，就 f120212的值是5欢迎下载精品学习资源A.0B.2fx1C.1D.2fxft欢迎下载精品学习资源思路：观看条件可变形为：x120212f20212f12f1220212021112222f，从而得到等式左右的结构均为x的形式，t欢迎下载精品学习资源且括号内的数间隔为1；所以；由于 fx欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源为偶函数，所以f1f1，由f1f122可得 f1f10 ，进而欢迎下载精品学习资源f202122112222欢迎下载精品学习资源20f20210欢迎下载精品学习资源202122答案： A欢迎下载精品学习资源例 6：假如cos5sin 57 sin3cos3,0,2，那么的取值范畴是 欢迎下载精品学习资源思路：此题很难直接去解不等式，观看式子特点可发觉假设将关于sin,cos的项分居在欢迎下载精品学习资源不等号两侧：cos57cos3sin57sin 3，就左右出现同构的特点，将相同的结构欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源设 为 函 数fxx57x3， 能 够 判 断 fx是 奇 函 数 且 单 调 递 增 ； 所 以 不 等 式欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源fcosfsin等价于 cossin，即 sincos02 sin0 ，所4欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源以 2k2kkZ，结合0,2，可得5，444欢迎下载精品学习资源，答案：544欢迎下载精品学习资源例 7：如图， 设点P x0 , y0在直线xm ym,0m1, 且m为常数 上， 过点 P 作双欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源曲线 x2y 21的两条切线PA, PB ，切点为A, B ，求证：直线欢迎下载精品学习资源AB 过某一个定点欢迎下载精品学习资源解：设A x1, y1, B x2 , y2， PA 的斜率为 k欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源就 PA:yy1k xx1，联立方程yy1x2y2k xx1消去1欢迎下载精品学习资源y 可得：欢迎下载精品学习资源22xkxkx1y11 ，整理可得：欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源1k2x22ky1kx1xy12kx110，由于 PA 与双曲线相切欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以4k22ykx4 1k 22ykx4 1k 20欢迎下载精品学习资源1111欢迎下载精品学习资源24 y1kx14 1k 20欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源k 2 x22kx yy21k 20x21 k 22kx yy210欢迎下载精品学习资源11 1111 11欢迎下载精品学习资源x2y21x21y2, y21x2 代入可得：欢迎下载精品学习资源111111欢迎下载精品学习资源y2 k22 x y kx220 即 y kx0欢迎下载精品学习资源111111欢迎下载精品学习资源即 kx1 y1PA : yyx1xxy yx x1欢迎下载精品学习资源1111y1欢迎下载精品学习资源同理，切线 PB 的方程为y2yx1x1欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源P m, y0在切线PA, PB 上，所以有y0 y1 y0 y2mx11mx21欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源A, B 满意直线方程y0 ymx1 ，而两点唯独确定一条直线欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源AB : y0ymx1x所以当y1m 时，无论0y0 为何值，等式均成立欢迎下载精品学习资源1点,0m恒在直线 AB 上，故无论 P 在何处， AB 恒过定点1 ,0m欢迎下载精品学习资源例 8：已知椭圆 C 中心在原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点为0,1 ，离心率为 255欢迎下载精品学习资源1求椭圆 C 的方程2过右焦点 F 作直线 l 交椭圆于A, B ，交 y 轴于 R ，假设RAAF , RBBF ，求欢迎下载精品学习资源c2解：1 eb1a5欢迎下载精品学习资源a2c2b21解得 a5,c2欢迎下载精品学习资源x22C :y15欢迎下载精品学习资源2思路：此题确定从RAAF, RBBF 入手，将向量关系翻译成坐标的方程，但欢迎下载精品学习资源观看发觉两个等式除了A,B 不同，系数,不同，其余字母均相同； 且A x1, y1, B x2, y2欢迎下载精品学习资源也仅是角标不同； 所以可推断由RAAF , RBBF 列出的方程是同构的， 而A, B 在同欢迎下载精品学习资源一椭圆上，所以假如用,表示x1, x2, y1, y2 ，代入椭圆方程中也可能是同构的；通过运算欢迎下载精品学习资源可得：210520k 2210520k 20 ，所以 ,为方程 x2010 x520k20 的两个不同根，欢迎下载精品学习资源进而利用韦达定理即可得到10欢迎下载精品学习资源解：由 1得 F2,0，设直线l : ykx2 ，可得 R0, 2k ，设A x1, y1, B x2, y2欢迎下载精品学习资源可得：RAx1, y12k , AF2x1,y1，由 RAAF 可得：欢迎下载精品学习资源2x12x1x11yy12ky12 k11欢迎下载精品学习资源由于 A 在椭圆上，x25 y25 ，将代入可得：欢迎下载精品学习资源1122欢迎下载精品学习资源22+52k=54 220k 251欢迎下载精品学习资源11欢迎下载精品学习资源210520k20欢迎下载精品学习资源对于，RBx2 , y22k , BF2x2 ,y2 ， RBBF欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源同理可得：210520k 20欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2,为方程 x10x2520k0 的两个不同根欢迎下载精品学习资源10欢迎下载精品学习资源例 9 ： 已 知 函 数xa， a 为 正 常 数 ， 假 设 g xx1ln xx， 且 对 任 意欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源x1, x20,2 , x1x2 ，都有gx2 x2g x1 x11，求 a 的取值范畴欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源思路：观看到已知不等式为轮换对称式，所以考虑定序以便于化简，令x2x1 ，就不等式欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源变形为g x2g x1x1x2，将相同变量放置一侧，可发觉左右具备同构特点，所以将欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源相同结构视为函数 h xg xx ，从而由 x2x1 且 h x2h x1可知只需 h x 为增欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源函数即可；从而只需不等式h' x0 恒成立刻可，从而求出a 的范畴欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解： g xln xa，不妨设x1x1x2 ，就恒成立不等式转化为：欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源g x2g x1x1x2g x2x2g x1x1欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源设 h xg xxln xax ，就由x1h x2h x1 恒成立和x1x2 可得：欢迎下载精品学习资源只需 h x 在 0,2 单调递增即可欢迎下载精品学习资源h'xh' x0 恒成立1a1xx1 21a10xx1 2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2即 ax12x12恒成立所以只需 ax1x2x1xmin欢迎下载精品学习资源22x1令 p xx1x22欢迎下载精品学习资源p' x2 x12x x1x1x2x12 x1x2欢迎下载精品学习资源p x 在10,单调递减，在21,2单调递增2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源p x minp12722欢迎下载精品学习资源0a272欢迎下载精品学习资源例 10：已知数列an满意 a12t3 tR,t1 ，且欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源an 12tn 13 an an22 tnt1 t n11欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源求数列an 的通项公式欢迎下载精品学习资源思路： 此题递推公式较为复杂，所以考虑先化简分式，观看到分子中含有分母的项，所以想欢迎下载精品学习资源到别离常数简化分式，即an 112 tn 11ann1，寻求相邻同构的特点，转化为欢迎下载精品学习资源2 an1an2t1欢迎下载精品学习资源an 11tn 11tnan11 ，即可设 bn2an1 ，递推公式变为tn1bn 12bnbn2，就能够求出bn 通欢迎下载精品学习资源t n1项公式，进而求出 an欢迎下载精品学习资源解： an 12t n 13 an an22tnt1 t n11欢迎下载精品学习资源2t n 12 a2t n 12a2tn12 tn 11a1欢迎下载精品学习资源nnn欢迎下载精品学习资源a2t n1a2t n11欢迎下载精品学习资源an 112 tn 1a12tnnnan11欢迎下载精品学习资源an 11n2 an1an 11an1nnn2 t n1欢迎下载精品学习资源tn 11a2tn1tn 11a2tn1 t1欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源设 bnan1n，就递推公式变为t1bn 12bnb2欢迎下载精品学习资源n欢迎下载精品学习资源1bn21111t1，且t11欢迎下载精品学习资源bn 12bnbn 1bn2b1a112t312欢迎下载精品学习资源bn为公差是2的等差数列1bn1b11n121n2tn1n，解得 an2 tn1111an12n小炼有话说： 同构式在处理数列问题时，通常应用在构造帮助数列求通项公式；当递推公式欢迎下载精品学习资源比较复杂时， 构造出an 和 an1 的同构式， 其中关于 n 的表达式构造出fn , fn1分别欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源与 an 和 an1相对应，进而查找到帮助数列；欢迎下载