2022年最新人教版九级数学知识点总结2.docx

人教版九年级数学学问点总结21.1 一元二次方程易错点：a 0和 a=0方程两个根的取舍学问点一一元二次方程的定义 : 等号两边都是整式,只含有一个未知数（一元） ,并且未知数的最高次数是 2（二次）的方程,叫做一元二次方程；留意一下几点： 只含有一个未知数；未知数的最高次数是2； 是整式方程；学问点二22一元二次方程的一般形式 :一般形式： ax + bx + c = 0a 0.其中, ax 是二次项, a是二次项系数； bx 是一次项, b 是一次项系数； c 是常数项；学问点三一元二次方程的根 : 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解,也叫做一元二次方程的根；方程的解的定义是解方程过程中验根的依据；21.2 降次解一元二次方程21.2.1 配方法学问点一 直接开平方法解一元二次方程（1） ） 假如方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方,另一边是非负数, 可以直接开平方；a ,x 2=a2一般地,对于形如 x =aa 0 的方程,依据平方根的定义可解得x1=.2（2） ） 直接开平方法适用于解形如 x =p 或mx+a用直接开平方法；2=pm0 形式的方程,假如 p0,就可以利（3） ） 用直接开平方法求一元二次方程的根, 要正确运用平方根的性质, 即正数的平方根有两个,它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根；（4） ） 直接开平方法解一元二次方程的步骤是： 移项； 使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为 1；两边直接开平方,使原方程变为两个一元二次方程；解一元一次方程,求出原方程的根；学问点二 配方法解一元二次方程通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫做配方法,配方的目的是降次,把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解；配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开；（1） ） 把常数项移到等号的右边；（2） ） 方程两边都除以二次项系数；（3） ） 方程两边都加上一次项系数一半的平方, 把左边配成完全平方式； 如等号右边为非负数,直接开平方求出方程的解；21.2.2 公式法学问点一 公式法解一元二次方程22（1） ） 一般地,对于一元二次方程 ax +bx+c=0a0 ,假如 b -4ac 0,那么方程的两个根为2bb4acx=2a,这个公式叫做一元二次方程的求根公式,利用求根公式,我们可以由一元二方程的系数 a,b,c的值直接求得方程的解,这种解方程的方法叫做公式法；（2） ） 一元二次方程求根公式的推导过程,就是用配方法解一般形式的一元二次方程2ax +bx+c=0a0 的过程；（3） ） 公式法解一元二次方程的具体步骤：2 方程化为一般形式： ax +bx+c=0a0 ,一般 a 化为正值 确定公式中 a,b,c的值,留意符号； 求出 b2-4ac 的值； 如 b2-4ac 0,就把 a,b,c和 b-4ac 的值代入公式即可求解,如 b2-4ac 0,就方程无实数根 有虚数根 -高中学 ；学问点二 一元二次方程根的判别式2式子 b -4ac 叫做方程 ax2即 =b -4ac.2+bx+c=0a0 根的判别式,通常用希腊字母表示它,根的判别式 0,方程 ax +bx+c=0a0 有两个不相等的实数根22=0,方程 ax +bx+c=0a 0 有两个相等的实数根2 0,方程 ax +bx+c=0a0 无实数根21.2 3 因式分解法学问点一 因式分解法解一元二次方程（1） ） 把一元二次方程的一边化为 0,而另一边分解成两个一次因式的积,进而转化为求两个求一元一次方程的解,这种解方程的方法叫做因式分解法；（2） ） 因式分解法的具体步骤： 移项,将全部的项都移到左边,右边化为0； 把方程的左边分解成两个因式的积,可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式； 令每一个因式分别为零,得到一元一次方程； 解一元一次方程即可得到原方程的解；学问点二 用合适的方法解一元一次方程方法名称理论依据适用范畴22直接开平方法平方根的意义形如 x =p 或（ mx+n） =pp 0配方法完全平方公式全部一元二次方程公式法配方法全部一元二次方程因式分解法当 ab=0,就 a=0 或 b=0一边为 0,另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二次方程；21.2.4一元二次方程的根与系数的关系2如一元二次方程 x +px+q=0 的两个根为 x1 ,x 2, 就有 x1+x2=-p,x 1x2=q.2如一元二次方程 a x+bx+c=0a 0 有两个实数根 x1,x 2 , 就有 x1+x2=,21.3 实际问题与一元二次方程b ,x 1x2= c aa学问点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤：（1） ） 审：是指读懂题目,弄清题意,明确哪些是已知量,哪些是未知量以及它们之间的等量关系；（2） ） 设：是指设元,也就是设出未知数；（3） ） 列：就是列方程, 这是关键步骤 , 一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等含义,然后列代数式表示这个相等关系中的各个量,就得到含有未知数的等式,即方程；（4） ） 解：就是解方程,求出未知数的值；（5） ） 验：是指检验方程的解是否保证明际问题有意义,符合题意；（6） ） 答：写出答案；学问点二 列一元二次方程解应用题的几种常见类型（1） ） 数字问题三个连续整数：如设中间的一个数为x,就另两个数分别为 x-1 ,x+1；三个连续偶数（奇数） ：如中间的一个数为x,就另两个数分别为 x-2,x+2 ；三位数的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为a,b,c ,就这个三位数是100a+10b+c.（2） ） 增长率问题设初始量为 a,终止量为 b,平均增长率或平均降低率为x,就经过两次的增长或降低后的等量关系为 a（ 1x） 2=b；（3） ）利润问题利润问题常用的相等关系式有： 总利润 =总销售价 - 总成本； 总利润 =单位利润×总销售量；利润 =成本×利润率（4） ）图形的面积问题依据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系,将图形的面积用含有未知数的代数式表示出来,建立一元二次方程；22.二次函数学问点归纳一、相关概念及定义1 二次函数的概念：一般地,形如2yaxbxc（ a ,b ,c 是常数, a0 ）的函数,叫做二次函数；这里需要强调：和一元二次方程类似,二次项系数义域是全体实数a0 ,而b ,c 可以为零二次函数的定2二次函数yax2bxc 的结构特点：（1） ）等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式, x 的最高次数是 2（2） ） a ,b ,c 是常数, a 是二次项系数, b 是一次项系数, c 是常数项二、二次函数各种形式之间的变换1 二 次 函 数 yax 2bxc用 配 方 法 可 化 成 ： ya xh 2k 的 形 式 , 其 中hb , k 2a4acb 2.4a2 二次函数由特殊到一般, 可分为以下几种形式： yax 2 ； yax 2k ； y2a xh； ya xh 2k ； yax2bxc .2三、二次函数解析式的表示方法1 一般式：yaxbxc （ a , b , c 为常数, a0 ）；2 顶点式：ya xh2k （ a , h , k 为常数, a0）；3 两根式：ya xx1 xx2 （ a0, x1 , x2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标） .24 留意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非全部的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与 x 轴有交点,即b4ac0 时,抛物线的解析式才可以用交点式2表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.四、二次函数yaxbxc 图象的画法1 五点绘图法： 利用配方法将二次函数yax2bxc 化为顶点式ya xh2k ,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与 y 轴的交点 0 ,c、以及 0,c关于对称轴对称的点 2h ,c、与 x 轴的交点x1 ,0, x2 ,0（如与 x 轴没有交点,就取两组关于对称轴对称的点）.2 画草图时应抓住以下几点：开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与 y 轴的交点 .五、二次函数 yax2 的性质a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a0向上0 ,0y 轴x0 时, y 随 x 的增大而增大； x0 时, y 随 x的增大而减小； x0 时, y 有最小值 0 a0向下0 ,0y 轴x0 时, y 随 x 的增大而减小； x0 时, y 随 x2的增大而增大； x0 时, y 有最大值 0 六、二次函数yaxc 的性质a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a0向上0 ,cx0 时,y 随 x 的增大而增大； xy 轴0时,y 随x 的增大而减小； x0 时, y 有最小值 c a0向下0 ,cx0 时,y 随 x 的增大而减小； xy 轴0时,y 随x 的增大而增大； x0 时, y 有最大值 c 七、二次函数ya xh2的性质：a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a0向上h ,0X=hxh 时, y 随x 的增大而增大； xh 时, y 随x 的增大而减小； xh 时, y 有最小值 0 a0向下h ,0X=hxh 时, y 随x 的增大而减小； xh 时, y 随x 的增大而增大； xh 时, y 有最大值 0 八、二次函数2ya xhk 的性质a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a0向上h ,kX=hxh 时, y 随 x 的增大而增大； xh 时, y 随x 的增大而减小； xh 时, y 有最小值 k a0向下h ,kX=hxh 时, y 随 x 的增大而减小； xh 时, y 随x 的增大而增大； xh 时, y 有最大值 k 九、抛物线yax2bxc 的三要素：开口方向、对称轴、顶点 .1 a 的符号打算抛物线的开口方向：当a 0 时,开口向上；当 a0 时,开口向下；a 相等,抛物线的开口大小、外形相同 .2 对称轴：平行于 y 轴（或重合）的直线记作xb.特殊地, y 轴记作直线 x0.2 a3 顶点坐标：（b 4acb 2,）2a4a4 顶点打算抛物线的位置 .几个不同的二次函数,假如二次项系数a 相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同.十、抛物线 yax 2bxc 中,a, b, c 与函数图像的关系21 二次项系数 a二次函数yaxbxc中, a 作为二次项系数,明显 a0 当a 当a0 时,抛物线开口向上, a 越大,开口越小,反之 a 的值越小,开口越大；0 时,抛物线开口向下, a 越小,开口越小,反之 a 的值越大,开口越大总结起来, a 打算了抛物线开口的大小和方向,a 的正负打算开口方向, a 的大小打算开口的大小2 一次项系数 b在二次项系数 a 确定的前提下, b 打算了抛物线的对称轴 在a0 的前提下,当b0 时, 当b0 时,当b0 时,b0 ,即抛物线的对称轴在 y 轴左侧；2ab0 ,即抛物线的对称轴就是 y 轴；2ab0 ,即抛物线对称轴在 y 轴的右侧2a 在 a0 的前提下,结论刚好与上述相反,即当b0 时, 当b0 时,当b0 时,b0 ,即抛物线的对称轴在 y 轴右侧；2ab0 ,即抛物线的对称轴就是 y 轴；2ab0 ,即抛物线对称轴在 y 轴的左侧2a总结起来,在 a 确定的前提下, b 打算了抛物线对称轴的位置 总结：3 常数项 c 当c 当c 当c0 时,抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方,即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正；0 时,抛物线与 y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为 0 ；0 时,抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方,即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为负总结起来, c 打算了抛物线与 y 轴交点的位置总之,只要 a ,b ,c 都确定,那么这条抛物线就是唯独确定的 十一、求抛物线的顶点、对称轴的方法1 公式法： yax2bxc2a xb 2a4acb24a,顶点是（b4acb 2,2 a4a）,对称轴是直线xb .2a2 配方法：运用配方的方法, 将抛物线的解析式化为ya xh 2k 的形式,得到顶点为 h , k ,对称轴是直线 xh.3 运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失.十二、用待定系数法求二次函数的解析式1 一般式： yax 2bxc .已知图像上三点或三对 x 、 y 的值,通常挑选一般式 .2 顶点式： ya xh 2k .已知图像的顶点或对称轴,通常挑选顶点式.3 交点式：已知图像与 x 轴的交点坐标十三、直线与抛物线的交点x1、 x2 ,通常选用交点式： ya xx1xx2 .1 y 轴与抛物线 yax 2bxc 得交点为 0, c .2 与 y 轴平行的直线 xh 与抛物线 yax 2bxc有且只有一个交点 h , ah 2bhc .3 抛物线与 x 轴的交点 :二次函数 y2axbxc 的图像与 x 轴的两个交点的横坐标x1、 x2 ,是对应一元二次方程ax 2bxc0 的两个实数根 .抛物线与 x 轴的交点情形可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点0抛物线与 x 轴相交；有一个交点（顶点在x 轴上）0抛物线与 x 轴相切；没有交点0抛物线与 x 轴相离.4 平行于 x 轴的直线与抛物线的交点可能有 0 个交点、 1 个交点、 2 个交点.当有 2 个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为 k ,就横坐标是ax 2bxck 的两个实数根 .5 一次函数 ykxn k0 的图像 l 与二次函数 yax 2bxc a0 的图像 G 的交点,由方程yk xn组2的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时l 与G 有两个交点 ; ya xb xc方程组只有一组解时l 与G 只有一个交点；方程组无解时l 与G 没有交点 .6 抛物线与 x 轴两交点之间的距离：如抛物线yax 2bxc 与x 轴两交点为A x1,0 , Bx2,0 ,由于 x1、 x2 是方程xxax 2bxc0 的两个根,故b , xxc12ABxx12aa2xxx2x4x x2b4cb24ac12121212aaaa十四、二次函数图象的对称: 二次函数图象的对称一般有五种情形,可以用一般式或顶点式表达1 关于 x 轴对称ya 2xb x关c于 x 轴对称后,得到的解析式是yax2bxc ；2ya xhk 关于 x 轴对称后,得到的解析式是2ya xhk ；22 关于 y 轴对称ya xb x关c于 y 轴对称后,得到的解析式是2yaxbxc；2ya xhk 关于 y 轴对称后,得到的解析式是2ya xhk ；3 关于原点对称ya 2xb x2关c于原点对称后,得到的解析式是yax2bxc ；2yaxh4 关于顶点对称关k 于原点对称后,得到的解析式是yaxhk ；22ya xb x关c于顶点对称后,得到的解析式是2yaxbxcb；2a2ya xh5 关于点 m,nk 关于顶点对称后,得到的解析式是对称2ya xhk 2ya xhk 关于点 m,n对称后,得到的解析式是yaxh22m2nk总结：依据对称的性质,明显无论作何种对称变换,抛物线的外形肯定不会发生变化,因此a 永久不变 求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或便利运算的原就, 挑选合适的形式,习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式十五、二次函数图象的平移1.平移步骤：2 将抛物线解析式转化成顶点式2ya xhk ,确定其顶点坐标 h ,k； 保持抛物线yax 的外形不变,将其顶点平移到h ,k处,具体平移方法如下：y=ax2向上k>0【或向下k<0】平移|k|个单位y=ax2+k向右h>0【或左h<0】平移|k|个单位y=ax-h2向右h>0【或左h<0】平移 |k|个单位向上k>0【或下k<0】平移|k|个单位向上k>0【或下k<0】平移|k|个单位向右h>0【或左h<0】平移|k|个单位y=ax-h2+k2 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移； k 值正上移,负下移 ”概括成八个字“左加右减,上加下减 ”十六、依据条件确定二次函数表达式的几种基本思路；1. 三点式；（1） ）已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A（ 3 , 0）,B（ 2的解析式；3 ,0）,C（0,-3）三点,求抛物线（2） ）已知抛物线 y=ax-1+4 , 经过点 A（2,3）,求抛物线的解析式；2. 顶点式；（ 1）已知抛物线 y=x2-2ax+a2+b 顶点为 A（ 2, 1）,求抛物线的解析式；（ 1）已知抛物线 y=4x+a2-2a的顶点为（ 3, 1）,求抛物线的解析式；3. 交点式；（1） ）已知抛物线与 x 轴两个交点分别为（ 3,0）,5,0,求抛物线 y=x-ax-b 的解析式；（2） ）已知抛物线线与 x 轴两个交点（ 4, 0）,（1, 0）求抛物线 y=4. 定点式；1 ax-2ax-b的解析式；2（1） ）在直角坐标系中,不论 a 取何值,抛物线y1 x225a x 22a2 经过 x 轴上肯定点Q,直线 ya2x2 经过点 Q,求抛物线的解析式；（2） ）抛物线 y= x2 +2m-1x-2m 与 x 轴的肯定交点经过直线 y=mx+m+4,求抛物线的解析式；2（3） ） 抛物线 y=ax +ax-2 过直线 y=mx-2m+2 上的定点 A,求抛物线的解析式；5. 平移式；（1） ）把抛物线 y= -2x2 向左平移 2 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度,得到抛物线 y=a x-h2+k,求此抛物线解析式；（2） ）抛物线 yx2x3 向上平移 ,使抛物线经过点 C0,2,求抛物线的解析式 .6. 距离式；（1） ）抛物线 y=ax2+4ax+1a0与 x 轴的两个交点间的距离为 2,求抛物线的解析式；（2） ）已知抛物线 y=m x2+3mx-4mm 0与 x 轴交于 A、B 两点,与 轴交于 C 点,且 AB=BC,求此抛物线的解析式；7. 对称轴式；（1） ）抛物线 y=x2-2x+m2-4m+4与 x 轴有两个交点, 这两点间的距离等于抛物线顶点到y 轴距离的 2 倍,求抛物线的解析式；（2） ）已知抛物线 y=-x2+ax+4, 交 x 轴于 A,B （点 A 在点 B 左边）两点,交y 轴于点 C,且OB-OA=3 OC,求此抛物线的解析式；48. 对称式；（1） ）平行四边形 ABCD 对角线 AC 在 x 轴上,且 A（ -10,0）,AC=16,D（2,6）；AD 交 y 轴于 E,将三角形 ABC 沿 x 轴折叠,点 B 到 B1 的位置,求经过 A,B,E 三点的抛物线的解析式；（2） ）求与抛物线 y=x2+4x+3 关于 y 轴（或 x 轴）对称的抛物线的解析式；9. 切点式；（1） ）已知直线 y=ax-a2a 0与抛物线 y=mx2 有唯独公共点,求抛物线的解析式；（2） ） 直线 y=x+a 与抛物线 y=ax2 +k 的唯独公共点 A（ 2, 1） ,求抛物线的解析式；10. 判别式式；（ 1）已知关于 X 的一元二次方程（ m+1）x2+2m+1x+2=0 有两个相等的实数根,求抛物线y=-x 2+m+1x+3 解析式；（ 2）已知抛物线 y=a+2x 2 -a+1x+2a的顶点在 x 轴上,求抛物线的解析式；23 旋转23.1 图形的旋转学问点一 旋转的定义在平面内,把一个平面图形围着平面内某一点O转动一个角度,就叫做图形的旋转,点O叫做旋转中心,转动的角叫做旋转角；我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素；学问点二 旋转的性质旋转的特点：（1）对应点到旋转中心的距离相等； （ 2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等；懂得以下几点：（ 1） 图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度； （2）对应点到旋转中心的距离相等,对应线段相等,对应角相等； （ 3）图形的大小和外形都没有发生转变,只转变了图形的位置；学问点三 利用旋转性质作图旋转有两条重要性质：（1）任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； （2） 对应点到旋转中心的距离相等,它是利用旋转的性质作图的关键；步骤可分为：连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心；转：即把直线按要求绕旋转中心转过肯定角度（作旋转角）截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离,得到各点的对应点；接：即连接到所连接的各点；23.2 中心对称学问点一 中心对称的定义中心对称：把一个图形围着某一个点旋转180°,假如它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,这个点叫做对称中心；留意以下几点：中心对称指的是两个图形的位置关系；只有一个对称中心；绕对称中心旋转180°两个图形能够完全重合；学问点二 作一个图形关于某点对称的图形要作出一个图形关于某一点的成中心对称的图形, 关键是作出该图形上关键点关于对称中心的对称点；最终将对称点依据原图形的外形连接起来,即可得出成中心对称图形；学问点三 中心对称的性质有以下几点：（1） 关于中心对称的两个图形上的对应点的连线都经过对称中心,并且都被对称中心平分；（2） 关于中心对称的两个图形能够相互重合,是全等形；（3） 关于中心对称的两个图形,对应线段平行（或共线）且相等；学问点四 中心对称图形的定义把一个图形围着某一个点旋转 180°,假如旋转后的图形能够与原先的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的对称中心；学问点五 关于原点对称的点的坐标在平面直角坐标系中,假如两个点关于原点对称,它们的坐标符号相反,即点p（x,y ） 关于原点对称点为（ -x,-y）；24 圆24.1 圆24.1.1 圆学问点一 圆的定义圆的定义：第一种：在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点 O旋转一周,另一个端点A 所形成的图形叫作圆；固定的端点O叫作圆心,线段 OA叫作半径；其次种：圆心为 O,半径为 r 的圆可以看成是全部到定点 O的距离等于定长 r 的点的集合；比较圆的两种定义可知：第一种定义是圆的形成进行描述的,其次种是运用集合的观点下的定义,但是都说明确定了定点与定长,也就确定了圆；学问点二 圆的相关概念（1） ） 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫作直径；（2） ） 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧；圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆；（3） ） 等圆：等够重合的两个圆叫做等圆；（4） ） 等弧：在同圆或等圆中,能够相互重合的弧叫做等弧；弦是线段,弧是曲线,判定等弧首要的条件是在同圆或等圆中,只有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧,而不是长度相等的弧；24.1.2 垂直于弦的直径学问点一 圆的对称性圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是它的对称轴；学问点二 垂径定理（ 1） 垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧；如下列图,直径为CD,AB是弦,且 CD AB,AM=BM垂足为 MAC=BCAD=BDCAMBD垂径定理的推论 ：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧如上图所示,直径 CD与非直径弦 AB相交于点 M,CDAB AM=BMAC=BCAD=BD留意：由于圆的两条直径必需相互平分,所以垂径定理的推论中,被平分的弦必需不是直径,否就结论不成立；24.1.3 弧、弦、圆心角学问点 弦、弧、圆心角的关系（1） 弦、弧、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等, 所对的弦也相等；（2） 在同圆或等圆中,假如两个圆心角,两条弧,两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余的各组量也相等；（3） 留意不能忽视同圆或等圆这个前提条件,假如丢掉这个条件,即使圆心角相等,所对的弧、弦也不肯定相等,比如两个同心圆中,两个圆心角相同,但此时弧、弦不肯定相等；24.1.4 圆周角学问点一 圆周角定理（1） ） 圆周角定理 ：在同圆或等圆中, 同弧或等弧所对的圆周角相等, 都等于这条弧所对的圆心角的一半；（2） ） 圆周角定理的推论 ：半圆（或直径） 所对的圆周角是直角, 90°的圆周角所对弦是直径；（3） ） 圆周角定理 揭示了同弧或等弧所对的圆周角与圆心角的大小关系； “同弧或等弧” 是不能改为“同弦或等弦”的,否就就不成立了,由于一条弦所对的圆周角有两类；学问点二 圆内接四边形及其性质圆内接多边形：假如一个多边形的全部顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做这个多边形的外接圆；圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；24.2 点、直线、圆和圆的位置关系24.2.1 点和圆的位置关系学问点一 点与圆的位置关系（1） 点与圆的位置关系有：点在圆外,点在圆上,点在圆内三种；（2） 用数量关系表示：如设 O的半径是 r ,点 P 到圆的距离 OP=d,就有：点 P 在圆外dr ；点 p 在圆上d=r；点 p 在圆内dr ；学问点二 过已知点作圆（1） ） 经过一个点的圆（如点 A）以点 A外的任意一点（如点 O）为圆心,以 OA为半径作圆即可,如图,这样的圆可以作很多个；AO1O2O3（2） ） 经过两点的圆（如点 A、B）以线段 AB的垂直平分线上的任意一点 （如点 O）为圆心, 以 OA（或 OB）为半径作圆即可,如图,这样的圆可以作很多个；AB（3） ） 经过三点的圆 经过在同一条直线上的三个点不能作圆 不在同一条直线上的三个点确定一个圆,即经过不在同一条直线上的三个点可以作圆, 且只能作一个圆；如经过不在同一条直线上的三个点A、B、C作圆,作法：连接 AB、BC（或 AB、AC或 BC、AC）并作它们的垂直平分线,两条垂直平分线相交于点O,以点O为圆心,以 OA（或 OB、OC）的长为半径作圆即可,如图,这样的圆只能作一个；AOBC学问点三 三角形的外接圆与外心（1） ） 经过三角形三个顶点可以作一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆；（2） ） 外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点,叫做这个三角形的外心；学问点四 反证法（1） ） 反证法：假设命题的结论不成立,经过推理得出冲突,由冲突肯定所作假设不正确,从而得到原命题成立,这种证明命题的方法叫做反证法；（2） ） 反证法的一般步骤： 假设命题的结论不成立； 从假设动身,经过规律推理,推出或与定义,或与公理,或与定理,或与已知等相冲突的结论； 由冲突判定假设不正确,从而得出原命题正确；24.2.2 直线和圆的位置关系学问点一 直线与圆的位置关系（1） ） 直线与圆的位置关系有：相交、相切、相离三种；（2） ） 直线与圆的位置关系可以用数量关系表示如设 O的半径是 r ,直线 l 与圆心 0 的距离为 d,就有：直线 l 和 O相交 d r ；直线 l 和 O相切 d = r；直线 l 和 O相离 d r ；学问点二 切线的判定和性质（1） ） 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；（2） ） 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径；（3） ） 切线的其他性质：切线与圆只有一个公共点； 切线到圆心的距离等于半径； 经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；必过切点且垂直于切线的直线必经过圆心；学问点三 切线长定理（1） ） 切线长的定义：经过园外一点作圆的切线, 这点和切点之间的线段的长, 叫做这点到圆的切线长；（2） ） 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等, 这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角；（3） ） 留意：切线和切线长是两个完全不同的概念,必需弄清晰切线是直线,是不能度量的；切线长是一条线段的长,这条线段的两个端点一个是在圆外一点,另一个是切点；学问点四 三角形的内切圆和内心(1) 三角形的内切圆定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆；这个三角形叫做圆的外切三角形；(2) 三角形的内心：三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心；(3) 留意：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点,所以当三角形的内心已知时,过三角形的顶点和内心的射线,必平分三角形的内角；24.2.3 圆和圆的位置关系学问点一 圆与圆的位置关系（1） ） 圆与圆的位置关系有五种： 假如两个圆没有公共点,就说这两个圆相离,包括外离和内含两种； 假如两个圆只有一个公共点,就说这两个圆相切,包括内切和外切两种； 假如两个圆有两个公共点,就说这两个圆相交；（2） ） 圆与圆的位置关系可以用数量关系来表示：如设两圆圆心之间的距离为 d,两圆的半径分别是 r 1 r 2, 且 r 1 r 2,就有两圆外离dr 1+r 2两圆外切d=r1+r 2两圆相交r2-r 1dr 1+r 2两圆内切 d=r2 -r 1两圆内含dr 2-r 124.3 正多边形和圆学问点一 正多边形的外接圆和圆的内接正多边形正多边形与圆的关系特别亲密：把圆分成n（n 是大于 2 的自然数）等份,顺次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆；正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心；正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径；正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角；正多边形的边心距：中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距；学问点二 正多边形的性质（1） ） 正 n 边形的半径和边心距把