2022年北京市届高三理科数学最新模拟试题分类汇编概率与统计.docx

北京 2021 届高三理科数学最新模拟试卷分类汇编11：概率与统计（一）概率一、挑选题- 4 - / 221 （ 2021北京丰台二模数学理科试卷及答案）在平面区域0x1,0y1内任取一点Px, y , 如 x, y 满意 2xyb 的概率大于 14, 就 b 的取值范畴是（）A ,2B 0,2C 1,3D 1,【答案】D2 （ 2021届 北 京 大 兴 区 一 模 理 科 ） 如 实 数a, b 满 足a2 +b 2 1 ， 就 关 于 x 的 方 程x2 -2x +a + b =0 有实数根的概率是（）13A. B3+ 2C- 2D44【答案】 C443 （ 2021北京海淀二模数学理科试卷及答案）如图 , 在边长为 a 的正方形内有不规章图形.向正方形内随机撒豆子, 如撒在图形内和正方形内的豆子数分别为的估量值为m, n , 就图形面积maA. nBnam Cma2n D（）na2m【答案】C4 （北京市石景山区2021届高三一模数学理试卷）将一颗骰子掷两次 , 观看显现的点数 , 并记第一次显现的点数为m,其次次显现的点数为n, 向量 p =m,n,q =3,6,就向量 p 与q 共线的概率为（）1A3【答案】 DB. 14C. 16D. 1125 （北京市朝阳区2021 届高三第一次综合练习理科数学）在以下命题中 ,x31 4“”是“ sin1”的充要条件； 的绽开式中的常数项为2 ；22x设随机变量 N 0,1 , 如P1p , 就 P 101p .2其中全部正确命题的序号是（）ABCD【答案】 C6 （ 2021届东城区一模理科）某嬉戏规章如下：随机地往半径为1 的圆内投掷飞标，如飞标到圆心的距离大于12，就成果为及格；如飞标到圆心的距离小于14，就成果为优秀；如飞标到圆心的距离大于14且小于 12，就成果为良好，那么在全部投掷到圆内的飞标中得到成果为良好的概率为（）3A16【答案】 AB. 14C. 34D. 167 （ 2021北京昌平二模数学理科试卷及答案）在区间0,上随机取一个数x , 就大事“ tan xgcos x1”发生的概率为（）1A3B 12C 23D34【答案】二、填空题C28 （ 2021北京朝阳二模数学理科试卷）将一个质点随机投放在关于x, y 的不等式组3x4 yx 1,y 119,所构成的三角形区域内, 就该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是.【答案】112三、解答题9 （ 2021北京朝阳二模数学理科试卷）为提高同学学习数学的爱好, 某地区举办了学校生“数独竞赛” . 竞赛成果共有90 分,70 分,60 分,40 分,30 分五种 , 按本次竞赛成果共分五个等级 . 从参与竞赛的同学中随机抽取了30 名同学 , 并把他们的竞赛成果按这五个等级进行了统计 , 得到如下数据表 :ABCE9070604030461073成果D等级成果 分 人数 名 依据上面的统计数据, 试估量从本地区参与“数独竞赛”的学校生中任意抽取一人,其成果等级为“A 或 B ”的概率； 依据 的结论 , 如从该地区参与“数独竞赛”的学校生 参赛人数许多 中任选3 人 , 记 X 表示抽到成果等级为“A 或 B ”的同学人数, 求 X 的分布列及其数学期望EX ； 从这 30 名同学中 , 随机选取 2 人, 求“这两个人的成果之差大于20 分”的概率 .【答案】 解: 依据统计数据可知, 从这 30 名同学中任选一人, 分数等级为“ A 或 B ”461013030303的频率为.从本地区学校生中任意抽取一人, 其“数独竞赛”分数等级为“A 或 B ”的概率约为13 由已知得 , 随机变量 X 的可能取值为 0,1,2,3.所以 PX01 02 30C 8 ； P X1 1 12 2124；333271C333279P X2 1 22 12C 62 ； P X3 1 32 01.3332793C3 3327随机变量 X 的分布列为01238421279927X P所以 EX081122631127272727 设大事 M: 从这 30 名同学中 , 随机选取 2 人, 这两个人的成果之差大于20 分.设从这 30 名同学中 , 随机选取 2 人, 记其竞赛成果分别为m, n .明显基本领件的总数为41073不妨设 mn ,2C30 .当 m90时 , n60 或 40 或 30 , 其基本领件数为C1 C1C1C 1 ；当 m70时 , n40 或 30 , 其基本领件数为C1 C1C 1 ；67311当 m60时 , n30 , 其基本领件数为C10C3 ；C1 C1C1C1 C1 C1C1 C1C134.所以 PM 41073673103C23087所以从这 30 名同学中 , 随机选取2 人,这两个人的成果之差大于20 分的概率34为87频率组距0.240.20.16- 3 - / 02.213456789 交通指数10 （ 2021 届门头沟区一模理科）交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值，交通指数取值范畴为0 10，分为五个级别，02 畅 通； 24 基本畅通； 4 6 轻度拥堵； 6 8 中度拥堵； 8 10 严峻拥堵早高峰时段，从北京市交通指挥中心随机选取了四环以内的50 个交通路段，依据其交通指数数据绘制的直方图如右图（）这 50 个路段为中度拥堵的有多少个？（）据此估量，早高峰四环以内的三个路段至少有一个是严峻拥堵的概率是多少？（ III）某人上班路上所用时间如畅通时为20 分钟，基本畅通为30 分钟，轻度拥堵为36分钟；中度拥堵为42 分钟；严峻拥堵为60 分钟，求此人所用时间的数学期望污 染 指05051100101150151200201300>300数空 气 质优良轻度污染中度污染重度污染严峻污染【答案】 解：（） 0.20.1615018这 50 路段为中度拥堵的有18 个3 分（）设大事 A “一个路段严峻拥堵”，就P A0.1大事 B “至少一个路段严峻拥堵”，就P B1P A 30.729P B1P B0.271所以三个路段至少有一个是严峻拥堵的概率是（ III）分布列如下表：0.271 8 分XP300.1360.44420.36600.1EX39.96此人经过该路段所用时间的数学期望是39.96分钟13 分11 （ 2021 北京丰台二模数学理科试卷及答案）国家对空气质量的分级规定如下表:量某市去年 6 月份 30 天的空气污染指数的监测数据如下:3414018731212104045782365792078160421013816315422273615149103135201648依据以上信息 , 解决以下问题 : 写出下面频率分布表中a ,b,x ,y 的值； 某人方案今年6 月份到此城市观光4 天, 如将 中的频率作为概率, 他遇到空气质- 28 - / 22量为优或良的天数用X 表示, 求 X 的分布列和均值 EX.频率分布表分组频数0,501450,100a【答案】100,1505150,200b200,2502合计3021833810123418832168181278181频率715x 16y1151解: a6, b3, x1 , y51 ,10 由题意 , 该市 4 月份空气质量为优或良的概率为P= 415252,3P X0C041341 ,813P X1C14,P X2C242232138 ,273P X3C34231332 ,81P X4C444231681X 的分布列为 :XPXB4,2 ,EX42833312. （ 2021 届北京海边一模理科）在某高校自主招生考试中，全部选报II类志向的考生全部参与了“数学与规律”和“阅读与表达”两个科目的考试，成果分为A,B,C,D,E五个等级.某考场考生两科的考试成果的数据统计如下图所示，其中“数学与规律”科目的成绩为 B 的考生有 10 人.（ I ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成果为A 的人数；（ II ）如等级 A，B， C， D， E 分别对应 5 分， 4 分， 3 分， 2 分， 1 分.（ i ）求该考场考生“数学与规律”科目的平均分；ii如该考场共有 10 人得分大于 7 分，其中有 2 人 10 分， 2 人 9 分， 6 人 8 分.从这10人中随机抽取两人，求两人成果之和的分布列和数学期望.频率科目：数学与规律科目：阅读与表达0.375频率0.3750.2500.2000.1500.0750.025等级等级【答案】 解：（）由于“数学与规律”科目中成果等级为B 的考生有 10 人，所以该考场有 100.2540 人 1 分所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成果等级为A 的人数为4010.3750.3750.150.025400.0753 3 分II求该考场考生“数学与规律”科目的平均分为1400.22400.13400.375404400.255400.075 7 分（）设两人成果之和为，就的值可以为 16， 17，18， 19，20 8 分C26112C1021545，P17C C6C1021245C C1612C22C102C1021345，P19C C1212C102445C2212.9C45P16P18P20210的分布列为1617181920151213414545454545所以X P 11 分所以 E 1615171218131942018645454545455所以的数学期望为86 13 分513. （ 2021届东城区一模理科）某班联欢会举办抽奖活动，现有六张分别标有1， 2， 3， 4，5， 6 六个数字的外形相同的卡片，其中标有偶数数字的卡片是有奖卡片，且奖品个数与卡片上所标数字相同，嬉戏规章如下：每人每次不放回抽取一张，抽取两次.（）求所得奖品个数达到最大时的概率；（）记奖品个数为随机变量X ，求 X 的分布列及数学期望 .【答案】 （）由题意可知所得奖品个数最大为10，概率为：A122Ap6215 （） X 的可能取值是： 0,2,4,6,8,10 0246810111411555151515Xp所以 EX01214164811014 55515151514. （ 2021届房山区一模理科数学）PM2.5 是指大气中直径小于或等于2.5 微 M 的颗粒物， 也称为可入肺颗粒物我国PM2.5 标准采纳世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5 日均值在 35 微克/ 立方 M以下空气质量为一级；在35 微克/ 立方 M75 微克/ 立方 M之间空气质量为二级；在 75 微克 / 立方 M以上空气质量为超标某城市环保局从该市市区2021 年全年每天的 PM2.5 监测数据中随机的抽取15 天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）（）从这 15 天的 PM2.5 日均监测数据中，随机抽出三天数据，求恰有一天空气质量达到一级的概率；PM2.5 日均值 微克/ 立方 M2837143445563879863925（）从这 15 天的数据中任取三天数据，记表示抽到 PM2.5 监测数据超标的天数， 求的分布列和数学期望；（）依据这 15 天的 PM2.5 日均值来估量一年的空气质量情形，就一年（按365 天运算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级【答案】 （）从茎叶图可知，空气质量为一级的有4 天，为二级的有 6 天，超标的有5 天记“从 15天的为大事 APM 2.5 日均监测数据中，随机抽出三天，恰有一天空气质量达到一级”C1 C 244就 P A411C315913 分（）的可能值为 0,1,2,3 ，4 分P051024CC C0331591P151045CC C1231591P2510203C C21C1591P3303C C2510C15918 分所以的分布列为0123244520291919191P2404512023919191919 分E3110 分（） 15天的空气质量达到一级或二级的频率为 11 分10215336522431 ，33所以估量一年中有243 1 天的空气质量达到一级或二级. 13 分3（说明：答 243 天， 244 天不扣分）15. （ 2021北京西城高三二模数学理科）某超市在节日期间进行有奖促销, 凡在该超市购物满300 元的顾客 , 将获得一次摸奖机会 , 规章如下 :奖盒中放有除颜色外完全相同的1 个红球 ,1 个黄球 ,1个白球和 1 个黑球 . 顾客不放回的每次摸出 1 个球 , 如摸到黑球就停止摸奖, 否就就要将奖盒中的球全部摸出才停止. 规定摸到红球嘉奖 10 元, 摸到白球或黄球嘉奖5 元, 摸到黑球不嘉奖 . 求 1 名顾客摸球 3 次停止摸奖的概率； 记 X 为 1 名顾客摸奖获得的奖金数额, 求随机变量 X 的分布列和数学期望 .A 21,【答案】 解: 设“1 名顾客摸球 3 次停止摸奖”为大事A ,就故 1 名顾客摸球 3 次停止摸奖的概率为14 解 : 随机变量 X 的全部取值为0,5,10,15,20P A3A434P X10,41A 21P X52A1,2A624C1A 21P X102,A 2A 36P X1522,A 36444P X3AA1442034所以 , 随机变量 X 的分布列为 :051015201111146664XPEX0151101151201104666416. （ 2021北京顺义二模数学理科试卷及答案）为增强市民的节能环保意识, 某市面对全市征召义务宣扬理想者. 从符合条件的 500 名理想者中随机抽取100 名理想者 , 其年龄频率分布直方图如下列图,其中年龄分组区间是 :20,25 ,25,30 ,30,35 ,35,40 ,40,45 .(I) 求图中 x 的值并依据频率分布直方图估量这500 名理想者中年龄在35,40岁的人数；(II) 在抽出的 100 名理想者中按年龄采纳分层抽样的方法抽取20 名参与中心广场的宣扬活动 , 再从这 20 名中采纳简洁随机抽样方法选取3 名理想者担任主要负责人. 记这 3 名理想者中“年龄低于35 岁”的人数为 X , 求 X 的分布列及数学期望 .0 0 x0 0频率/ 组距0 00 0O223344年 龄 /【答案】 解:I小矩形的面积等于频率 , 除35,40外的频率和为0.70,x10.7050.06500 名理想者中 , 年龄在35,40岁的人数为0.065500150 人.II用分层抽样的方法, 从中选取 20 名, 就其中年龄“低于35 岁”的人有 12 名,“年龄不低于 35 岁”的人有 8 名.C故 X 的可能取值为0,1,2,3,8P X0314, P X112828CCC1295,C320C 2 C 128544320,C 311P X2128C320, P X312C5795320故 X 的分布列为012314284411285959557X所以 EXP0141282859524495311571719517. （ 2021 届北京西城区一模理科）某班有甲、乙两个学习小组，两组的人数如下：现采纳分层抽样的方法（层内采纳简洁随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3 名同学进行（）求从甲组抽取的同学中恰有1名女同学的概率；（）记 X 为抽取的 3 名同学中男同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望【答案】 （）解：依题意，甲、乙两组的同学人数之比为35 : 222 :1 ， 1 分所以，从甲组抽取的同学人数为232 ；从乙组抽取的同学人数为131 2 分33设“从甲组抽取的同学中恰有1名女同学”为大事A ， 3 分C1 C115，就 P A35C8228故从甲组抽取的同学中恰有1名女同学的概率为 1528 5 分（）解：随机变量X 的全部取值为 0,1,2,3 6 分C2C15C1C1C1C2C125P X052，P X135252，C2 C128C2C1C2 C156848484C2C1C1C1C19C2C13P X232352，P X332C2C1C2 C128C2 C15610 分848484所以，随机变量X 的分布列为 :X0123P5259328562856525935 11 分EX0123285628564 13 分18. （ 2021 北京海淀二模数学理科试卷及答案）福彩中心发行彩票的目的是为了猎取资金资助福利事业 , 现在福彩中心预备发行一种面值为5 元的福利彩票刮刮卡 , 设计方案如下 :1 该福利彩票中奖率为50%；2 每张中奖彩票的中奖奖金有5 元,50 元和 150 元三种； 3 顾客购买一张彩票获得150 元奖金的概率为 p , 获得 50 元奖金的概率为2% .(I) 假设某顾客一次性花10 元购买两张彩票 , 求其至少有一张彩票中奖的概率；(II) 为了能够筹得资金资助福利事业,求 p 的取值范畴 .【答案】 解:I设至少一张中奖为大事A就 P A10.520.75II设福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金为就可以取 5,0,45, 145的分布列为5045145P50%50%2%p2%p所以的期望为 E550%050%2%p452% 145p2.590%145p所以当1.6145 pp0 时, 即87250所以当8p725 时, 福彩中心可以猎取资金资助福利事业19. （ 2021 届北京市延庆县一模数学理）空气质量指数PM 2.5 单位 :g / m3 表示每立方M空气中可入肺颗粒物的含量, 这个值越高 , 就代表空气污染越严峻:甲、乙两城市 2021 年 2 月份中的 15 天对空气质量指数甲城PM市2.5 进行监乙测城市, 获得PM 2.5日均浓度指数数据如茎叶图所示:3 0 2 2 43 2 0 4（）依据你所学的统计学问估量甲、乙两城市15 天4内8 9 65 56 1 5 16 4哪个城市空气质量总体较好.（注：不需说明理由 （）在 15 天内任取 1 天，估量甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率；7 88 2 3 09 87 6 9 78 8 0 79 1 8 0 9 在乙城市 15 个监测数据中任取 2 个, 设 X 为空气质量类别为优或良的天数,求 X 的分布列及数学期望 .【答案】 解：（）甲城市空气质量总体较好. 2 分（）甲城市在15 天内空气质量类别为优或良的共有10 天，任取 1 天，空气质量类别为优或良的概率为 102 ，153 4 分乙城市在 15 天内空气质量类别为优或良的共有5 天，任取 1 天，空气质量类别为优或良的概率为5151， 6 分3在 15 天内任取 1 天，估量甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率为212.339 8 分 X 的取值为 0,1,2 ， 9 分C 0C 23C1C110C 2C 02P X0510C 2， P X17510C 2， P X021510C 221151515X 的分布列为：X02P数学期望 EX13 分31027212103110222721213 20. （北京市石景山区2021 届高三一模数学理试卷）PM2.5 指大气中直径小于或等于2.5 微 M的颗粒物 , 也称为可入肺颗粒物 .PM2.5 日均值在 35 微克 / 立方 M以下空气质量为一级 : 在35 微克 / 立方 M75 微克/ 立方 M之间空气质量为二级；在75 微克 / 立方 M以上空气质量为超标 .石景山古城地区 2021 年 2 月 6 日至 I5 日每天的 PM2.5 监测数据如茎叶图所示. 小陈在此期间的某天曾经来此地旅行, 求当天 PM2.5 日均监测数据未超标的概率； 小王在此期间也有两天经过此地, 这两天此地 PM2.5 监测数据均未超标. 请运算出这两天空气质量恰好有一天为一级的概率； 从所给 10 天的数据中任意抽取三天数据, 记表示抽到 PM2.5 监测数据超标的天数 ,求的分布列及期望 .【答案】21. （北京市顺义区2021届高三第一次统练数学理科试卷（解读）现有甲、乙两个靶 . 某射手向甲靶射击两次, 每次命中的概率为3 , 每命中一次得 1 分, 没有命中得 0 分；向乙靶4射击一次 , 命中的概率为2 , 命中得 2 分, 没有命中得 0 分. 该射手每次射击的结果相互独3立. 假设该射手完成以上三次射击 .(I) 求该射手恰好命中两次的概率；(II) 求该射手的总得分X 的分布列及数学期望EX ；(III) 求该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次的概率 .【答案】 解:I 记: “该射手恰好命中两次”为大事 A , “该射手第一次射击甲靶命中” 为大事 B , “该射手其次次射击甲靶命中”为大事 C , “该射手射击乙靶命中”为大事D .由题意知 , P BP C3 , P D2 ,43所以 P AP BC DP BCDP BCDP B P C P DP B P C P DP B P C P D331244371631344213323443(II) 依据题意 , X 的全部可能取值为0,1,2,3,4.P X0P BC D13413121 ,4348P X11.8P X2P BC DP BC DP BC DP BCD31344331441213334421313344123211,348P X3P X4P BCDP BCDP BCD313443323,443821334321,434故 X 的分布列是X0123411P48811134848所以 EX011148821131431748486(III) 设“该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次”为大事A1 , “该射手向甲靶射击命中一次且向乙靶射击未命中”为大事B1 , “该射手向甲靶射击命中2 次且向乙靶射击命中”为大事B2 , 就 A1B1B2 , B1 , B2 为互斥大事 .P A1P B1P B2332114431.233211443332443所以 , 该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次的概率为1222. （ 2021北京房山二模数学理科试卷及答案）小明从家到学校有两条路线, 路线 1 上有三个路口 , 各路口遇到红灯的概率均为1 ；路线 2 上有两个路口 , 各路口遇到红灯的概率依次2为 3 , 4 .4 5 如小明上学走路线1, 求最多遇到 1 次红灯的概率； 如小明上学走路线2, 求遇到红灯次数X 的数学期望； 依据“平均遇到红灯次数越少为越好”的标准, 请你帮忙小明从上述两条路线中挑选一条最好的上学路线, 并说明理由 .【答案】 设走路线 1 最多遇到 1 次红灯为 A 大事 , 就3P A=C 01 3111 21C32222 依题意 , X 的可能取值为 0,1,2.P X =0=13 14 1 ,4520P X =1= 31413 47 ,P X =2=454520343455的