2022年最新函数的奇偶性的经典总结.docx

精品文档精品文档一、函数奇偶性的基本概念函数的奇偶性1. 偶函数：一般地,假如对于函数f x 的定义域内任意一个x ,都有 fxfx ,f xf x0 ,那么函数f x 就叫做偶函数；2. 奇 函 数 ： 一 般 地 , 假如对 于 函数 fx 的 定 义 域内 任一 个 x , 都 有 fxfx ,f xf x0 ,那么函数f x 就叫做奇函数；留意： （ 1）判定函数的奇偶性,第一看定义域是否关于原点对称,不关于原点对称是非奇非偶函数,如函数的定义域是关于原点对称的,再判定fxfx之一是否成立；（ 2）在判定fx 与 fx 的关系时,只需验证fxfx0 及 f x =1是否成立刻f x可来确定函数的奇偶性；题型一判定以下函数的奇偶性；f xx1 xf xx2x, （ 2）f xx3x（ 3）f xxx21G xf xfx , xR 45f xx cos x6f xx sin x7f xxx22, 8提示：上述函数是用函数奇偶性的定义和一些性质来判定（ 1）判定上述函数的奇偶性的方法就是用定义；（ 2）常见的奇函数有：f xx , f xx3 ,f xsin x ,f x1 x（ 3）常见的奇函数有：f xx2 ,f xx , f xcos x（ 4）如 fx 、 gx 都是偶函数 ,那么在f x 与 g x的公共定义域上,f x + g x 为偶函数, fxg x 为偶函数；当g x 0 时,f x为偶函数；g x（ 5）如 fx , gx 都是奇函数,那么在f x 与 g x的公共定义域上,f x + g x是奇函数, f xg x 是奇函数, fxg x 是偶函数,当g x 0 时,f x是偶函数；g x（ 6）常函数 fxc c为常数是偶函数, fx0 既是偶函数又是奇函数；（ 7）在公共定义域内偶函数的和、差、积、商分母不为零 仍为偶函数 ; 奇函数和、差仍为奇函数;奇偶 数个奇函数积、商 分母不为零 为奇 偶函数 ;一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.（ 8）对于复合函数 F xf g x；如 g x为偶函数 ,fx 为奇（偶）函数,就F x 都为偶函数；如g x 为奇函数,f x 为奇函数 ,就 Fx 为奇函数 ;如 g x为奇函数,fx 为偶函数,就 F x为偶函数 .题型二三次函数奇偶性的判定已知函数f xax3bx2cxd ,证明：（ 1）当 ac0 时,f x是偶函数（ 2）当 bd0 时,f x是奇函数提示： 通过定义来确定三次函数奇偶性中的常见题型,如f xax 2bxc ,当 b0 , f x是偶函数；当ac0 , f x是奇函数；题型三利用函数奇偶性的定义来确定函数中的参数值1 函数fxax2bx3ab 是偶函数,定义域为a1 ,2 a1,就 ab32 设 f xax2bx2 是定义在 1a,2上的偶函数,就f x的值域是10,23 已知f xsin x是奇函数,就 a 的值为1 x1 xa4 已知f xsin x ln xx2a 是偶函数,就 a 的值为 1提示： （ 1）上述题型的思路是用函数奇偶性的定义,f xf x, f xf x ；（ 2）由于是填空题,所以仍可以用f 1f 1, f 1f 1 ；（ 3）仍可以用奇偶性的性质,如奇函数乘以奇函数是偶函数,奇函数乘以偶函数是奇函数等；题型四利用函数奇偶性的对称1 以下函数中为偶函数的是（B）A. yx2 sin xyxByx2 cosxC yln xD y2 xx2 以下函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是AA yxexB. yx1 xC. y21 2 xD. y1x243 以下函数中,为偶函数的是（C）A yx1B y1 xC yxD yx4 函数f x1x 的图像关于（C）xA y 轴对称B 直线 yx对称 C 坐标原点对称D 直线 yx 对称5 已知函数f x1) 是 R上的奇函数,且f 14 ,就f 3 =-46 已知函数f x2) 是 R上的偶函数,就f 33 ,就f 7=-3提示： （ 1）上述题型的思路是用函数奇偶性的定义,f xf x, f xf x ；(2) 奇函数关于原点对称,偶函数的图像关于y 轴对称；(3) 在原点有定义的奇函数必有f 00 ；（ 4）已知函数f xt 是 R 上的奇函数,就f x 关于点t ,0对称；5 已知f xt 是偶函数,就f x 关于直线 xt 对称；题型五奇偶函数中的分段问题1 设 f x为定义在 R上的奇函数, 当 x0 时, f x2x2 xb（ b 为常数） ,就f 1-32 已知 fx 是奇函数,且当x0 时,fxx x2 ,求 x0 时, fx 的表达式；f xx x23 已知函数f x是定义在 R 上的奇函数,当 x0 时,f x2 x3x 2 ,就 f 3 =-454 已知 fx 是偶函数,当 x0 时,f xx22 x ,求 f 4245 设偶函数f x 满意f xx24x0 ,就x fx20 = x | x0或x4提示： （ 1）已知奇函数f x ,当 x0 , fxg x ,就当 x0 时,f xgx ；（ 2）已知偶函数f x ,当 x0 , f xg x ,就当 x0 时,f xgx ；类型六奇函数的特别和性质71 已知函数f x353ax2 ,求 f 2 f 2 的和为 42 已知 f x xbxcxdx6 ,且 f312 ,就 f3 =03 已知f x53xaxbxx2x8 , f 2110 ,2f 2=_-26 44 已知函数f x x21,如 f a,就 f3a3提示： 已知f x满意,f xg xt ,其中g x是奇函数,就有f af a2t ；题型七函数奇偶性的结合性质1 设 f x 、g x 是 R 上的函数,且f x 是奇函数,g x是偶函数,就结论正确选项A. f xg x 是偶函数B .|f x | gx 是奇函数C . f x| g x |是奇函数D .|f xg x|是奇函数2 设函数f x 和g x 分别是 R上的偶函数和奇函数,就以下结论恒成立的是A f xg x是偶函Bf xg x是奇函数C f xg x | 是偶函数Df xgx | 是奇函数3 设 函 数f x 与g x的 定 义 域 是 xR 且 x1 , f x是 偶 函 数,g x是 奇 函数 , 且f xg x1,求 f x1x和 g x 的解析式 ,f x1x21, g xx；x21提示： （ 1）已知f x是奇函数,就f x是偶函数；（ 2 ）已知h x是 R 上的函数,且f x也是 R 上的偶函数和g x也是 R 上的奇函数,满意h xf xg x ,就有g xhx 2h x,f xh xhx；2题型八函数的奇偶性与单调性1 以下函数中,既是偶函数又在区间0, 上单调递减的是（）A y1 xB ye xCyx21D ylg x2 以下函数中,既是偶函数,又在区间（1,2）内是增函数的为（ A ） ycos 2 x , xR（ B） ylog 2x , xR 且 x0exe x（ C）y, xR（ D ）2yx31, xR3 设 f xxsinx,就f x（ B）A 既是奇函数又是减函数B 既是奇函数又是增函数C 有零点的减函数 D 没有零点的奇函数4 设奇函数f x在 0, 上为增函数,且f 10 ,就不等式f xf x x0 的解集为（ 1,00,1）5 已知偶函数 fx 在 0,单调递减, f20 ,如 fx10 ,就 x 的取值范畴是1,3 .6 已知偶函数f x在区间0, 单调增加,就满意f 2 x1 1x12f 的3取值范畴是,33提示： （ 1）已知f x是奇函数,且在,0 上是增（减）函数,就在0, 上也是增（减）函数；（ 2）已知f x 是偶函数,且在 ,0 上是增（减）函数,就在0, 上也是减（增）函数；（ 3）已知f x 是偶函数,必有f xf xf x ；题型九函数的奇偶性的综合问题1 已知函数 fx ,当 x, yR 时,恒f xyf xf y ,且 x0时, fx0 ,又1f1（ 1）求证： fx 是奇函数； （ 2）求证：2f x在 R 上是减函数； （ 3）求f x 在区间2,6 上的最值；最大值1,最小值 -3；2 设 f x 在R上是偶函数,在区间,0 上递增,且有f 2a2a1f 2a22a3,求 a的取值范畴； 2 , 3练习题一、 判定以下函数的奇偶性（ 1）f xxx21（ 2）f xx21（ 3） fxx111x , x x1,1（ 4）f xx2x2（ 5）f x1, xR （ 5）f x0, x2,2 （ 6）f xeln x7f xx3x8f xsin xtan x（ 9 ）f xx21, 10f xx1 ,11f xexex, 12f xx sin x213f xx2x, 14f xx2 cos x ,15f x2 x , 16f xx lnx1x ,17f xln1| x |121x二、利用函数的奇偶性求参数的值1 如函数 fxm1x22mx3 是偶函数,求 m 的值； 02 如函数f xx3a1) x2bxc4 是奇函数,求 ac 25 的值； 43 函数f xax 3b1 x2x 是奇函数,定义域为b1, a ,就 ab2) 2 的值是 94 如 f x12 x1a 是奇函数,就a125 如函数f xx 2xa 为偶函数,就实数 a 0.6 设函数f xxexae x xR 是偶函数,就实数 a -1 7 如函数f x xlog a xx22 xm2a 2 是奇函数,就 a=2.28 如 f x为奇函数 , 就实数 m -2.x9 如函数f xx ln xax2 为偶函数,就 a110 如 fxln e3x1ax 是偶函数,就 a 3.2三、 函数奇偶性定义的应用1 函数 y= y2log 22x 的图像 Ax（ A ）关于原点对称（B）关于直线 yx 对称（ C）关于 y 轴对称（ D）关于直线 yx 对称2 已知函数 fx1x2 , xR就 （B ）A.fxfxB. fx 为偶函数 C.fxfx0D. fx 不是偶函数3 如 fx 是偶函数,就kfx （ k 为常数） AA. 是偶函数B. 不是偶函数C.是常数函数D.无法确定是不是偶函数4 函数 fx =1, x1, x0. 就 fx 为（B ）0A. 偶函数B. 奇函数C.既是奇函数又是偶函数D. 既不是奇函数又不是偶函数5 已知 fx 为奇函数,就fxx 为（ A） A 奇函数B.偶函数 C.既不是奇函数又不是偶函数D. 既是奇函数又是偶函数6 已知点 1,3 是偶函数fx 图像上一点,就f1 等（ B ）A.-3B.3C.1D.-17 如点1,3 在奇函数 yfx 的图象上,就2A.0B.-1C.3D.-3f 1 等于（ D）8 已知 yf xx 是奇函数 , 且f 11 . 如g xf x2 , 就 g 1 -1.9 设 f x 是定义在 R上的一个函数,就函数F xf xf x ,在 R 上肯定是（A）A 奇函数B偶函数C既是奇函数又是偶函数D 非奇非偶函数10 设f x是 R 上的奇函数,且 yf x 的图象关于直线 x1 对称,就2f 1f 2f 3f 4f 5011 已知偶函数f x的图像关于直线 x2 对称,f 33,就f 1 3.12 设函数 fx 对于任意x, yR 都有 fxyfxfy ,求证：fx 是奇函数；13 已知 tR ,函数f x2xt, x g x, x0, 为奇函数,就t-1,g f0, 2-714 已知奇函数f x的,且方程f x0 仅有三个根x1, x2, x3 ,就 x1x2x3 的值 0515 设函数 fx 是 R 上为奇函数,且f x2f xf 2 ,在f 5 的值216 已知偶函数f x2x4 x0 ,求f 2 x4 f x30 的个数 717 已知偶函数f xx24 x6 x0,求f 3 x12 f2 x44 f x480 的个数 9四、 函数奇偶性的性质1 已知f x3 是偶函数,且f 02 ,就 2 f63 的值为 12 已知f xx2 ,就 f 3f 3的值 43 已知f xax3bx4 其中a, b 为常数,如f 22 ,就f 2的值等于 -104 已知f xax2 ,就 f 3f 3的值-45 已知f xaxb x2 ,就f ln 3f ln1 的值 -436 已知f xaxb xcsin x3 ,就f ln 3f ln1 的值 637 已知函数 fxln1x2x2 ,就 flg 51flg5（ 4）8 已知函数 fxln19 x23 x1,.就flg 21flg229 已知函数f xax3b sin x4a, bR ,f lglog 2 105 ,就f lglg 2310 设函数f x x12x2sin x 1的最大值为 M ,最小值为 m ,就 Mm =_2 11 已知函数f x 是定义在 R上的奇函数,当 x,0 时,f x2 x3x2 ,就f 211 在 R 上的奇函数 fx 和偶函数 g x 满意f xgxa xa x2 a 0, 且 a0 . 如g 2a ,就 f2 = 15412 如函数f x, g x 分别是 R 上的奇函数、偶函数,且满意f xg xex ,就有（ D）Af 2f 3g 0Bg 0f 3f 2C f2g 0f 3D g 0f 2f 313 如函数 fx为 R 上的偶函数, 且当 0x10 时, fxln x ,就fefe2314 函 数f x是 定 义 在 实 数 集 R上 的 不 恒 为 零 的 偶 函 数 , 且 对 任 意 实 数 x 都 有xf x11xf x ,就f 5 2的值是 015 函 数f x是 定 义 在 实 数 集 R上 的 不 恒 为 零 的 偶 函 数 , 且 对 任 意 实 数 x 都 有xf x11xf x ,就f f 5 2的值是 016 如函数f xxax2bx在1,1 上是奇函数 ,就1f x的解析式为 fxx .x2117 设f x是 R 上的奇函数,且当x0,时, f xx13 x ,就当 x, 0 时f x x13 x _18 已知定义在 R 上的奇函数f x ,当 x0 时,f xx 2| x |1 ,那么 x0 时,f xx2x1.19 函数f xlnx1x23ex ex1在区间1k, k k0 上的最大值为M ,最小值为m ,就 Mm420 奇函数f x的定义域为 R,如f x2 为偶函数,且f 11 ,就f 8f 9（ 1）21 设定义在 R 上的奇函数,满意f xf x2 ,那么f 1f 2f 2022 的值 022 已知函数f x 是 R 上的偶函数,当 x0 ,都有f x2f x,且当 x 0,2 时,f xlog 2 x1) ,就有 f 2022f 2022的值 1五、函数奇偶性和单调性的应用1 已知函数f xk2 x2 k1x3 是偶函数,就f x的递减区间是0,2 设奇函数f x在 0, 上为增函数,且f 10 ,就不等式f xf xx0 的解集为（ 1,00,1）3 已知函数f x3x1 x ,就3f x（ A）是偶函数,且在R 上是增函数（B）是奇函数,且在R上是增函数（ C）是偶函数,且在R 上是减函数（D）是奇函数,且在R上是减函数4 已知奇函数f x在 R 上是增函数 . 如 aflog1) , bflog4.1,cf2 0.8 ,就 a,b,c225的大小关系为5 已知f x是定义在 R 上的偶函数, 且f x4f x2) . 如当 x3,0时, fx6 x ,就 f 919.6 已知偶函数 fx 在 0,单调递减, f20 ,如 fx10 ,就 x 的取值范畴是1,3 .7 已知偶函数f x在区间0, 单调增加,就满意f 2 x1 1x12f 的3取值范畴是,338 如偶函数f x 在, 1 上是增函数,就以下关系式中成立的是（D）Af 3 2f 1f 23B. f 1f 3 23f 2C. f 2f 1f 2D. f 2f 2f 19 设偶函数f x 满意f xx38 x0 ,就 x |f x20 x | x0或x410 已 知 函 数 fx是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 且 在 区 间,上 单 调 递 减 , 如f3x1f10 ,就 x 的取值范畴是 2 ,311 已知f x是定义在 R上的偶函数,且在区间,0 上单调递增,如实数a 满意f 2|a1|f 2 ,就 a 的取值范畴是（ 1 , 3 ）2212 已 知 定 义 在 R上 的 函 数 fx2 x m1（ m为 实 数 ） 为 偶 函 数 , 记af log0.5 3,bflog2 5 , cf2m,就a, b,c 的大小关系为 cab13 f x 是定义在 R上的偶函数, 在 ,0上是减函数, 且f 20 ,就使得f x0 的 x 的取值范畴是 2,214 已 知 函 数f x是 偶 函 数 , 在 0, 上 单 调 递 减 , 就f 12x 的 单 调 递 增 区 间 是2, 10,115 已知函数f x4 是偶函数,在4, 上单调递减,就f log 2 x4 x5 的单调递减区间为 1,416 已知f x, g x 都是奇函数,假如f x0 的解集是4,10, g x0 的解集为2,5 ,就f xg x0 的解集为 5, 4 4,517 已 知 函 数f x是R 上 的 偶 函 数 , 且 在0,上 是 增 函 数 , 令af sin 2 7, bf cos 57, cf tan 57 ,就a, b,c 的大小, cab18 已知函数f x是 R上的奇函数, 如当 x0, 时,f xlg x4 ,就满意f x0 的解集, 5,05,19 设f x是奇函数,且在0, 内是增函数,又f 30 ,就xf x0 的解集是（x | x3或 0x3 ）20 设 fx 是定义在上 R 的偶函数,且当 x0 时, fx2x . 如对任意的xa, a2 ,不等式 fxaf 2x 恒成立,就实数 a 的取值范畴是a3221 函数 fx是 R 上的偶函数,且在 0, 上单调递增,就以下各式成立的是（B ）A f 2f 0f 1B f 2f 1f 0C f1f 0f 2D f 1f 2f 022 R 上的偶函数f x 满意：对任意的x1, x20, x1x2 ,有f x2 f x10 .就 A.x2x1（ A）f 3f 2f 1Bf 1f 2f 3Cf 2f 1f 3Df 3f 1f 223 设函数 fxln 1xln 1x ,就 fx 是（ A）A奇函数,且在0,1 上是增函数B奇函数,且在0,1 上是减函数C偶函数,且在0,1 上是增函数D偶函数,且在0,1 上是减函数24 已知函数f xln xln2x ,就A fx 在（ 0,2）单调递增Bf x在（ 0,2）单调递减C y=f x 的图像关于直线 x=1 对称D y=f x 的图像关于点（ 1,0）对称25 函数f x在 , 单调递减, 且为奇函数 如f 11 ,就满意 1f x21 的 x的取值范畴是26 函数fxx0 是奇函数,且当 x0,时是增函数,如f10 ,求不等式 fx10 的解集；227 已知f x是奇函数并且是 R上的单调函数,如函数yf x22f 2 xm 只有一个零点,就函数g xmx4 x x11 的最小值是（ 5 ）28 已知定义在 R上的奇函数f x ,满意f x4f x ,且在区间 0,2 上是增函数 ,如方程f xm m0在 区 间8,8上 有 四个 不 同 的 根x1, x2, x3, x4,就x1x2x3x4 . -829 已知函数f xx34x ,求f x20 的解集0,24,30 已知 R上的奇函数f xx 24 x4b x0 ,求f x23x8x 的解集为六、函数奇偶性综合应用1 已知函数f x是定义在 R 上的奇函数,当 x0 时,f x1 xa 22x2a 23a 2 ；如 xR,f x1f x , 就实数 a 的取值范畴为 6 ,6 662 已知函数f xx 2m2 m 3