2022年双曲线题型归纳含答案.docx
三、典型例题选讲（一）考查双曲线的概念x 2y 2例 1设 P 是双曲线2a1上一点,双曲线的一条渐近线方程为93x2 y0 ,F1 、F2分别是双曲线的左、右焦点如| PF1 |3,就| PF2 | （）A 1 或 5B 6C 7D 9分析： 依据标准方程写出渐近线方程,两个方程对比求出a 的值,利用双曲线的定义求出| PF2 |的值解：双曲线x2y221 渐近线方程为y=3 x ,由已知渐近线为 3x2 y0 ,a9aa2,| PF1 | PF2 |4 ,| PF2 |4| PF1 | .| PF1|3,| PF2|0 ,| PF2 |7 .应选 C归纳小结 ：此题考查双曲线的定义及双曲线的渐近线方程的表示法（二）基本量求解x 2y 2例 22022山东理 设双曲线1 的一条渐近线与抛物线yx21 只有一个公共a 2b 2点,就双曲线的离心率为（）55A B 5C42x 2y 2D 5byb x解析： 双曲线2a21 的一条渐近线为ybx ,由方程组aayx21,消去 y,得x2b x a10 有唯独解,所以 = b 2a40 ,所以 b2 , eca2b2b 215 ,应选 Daaaa归纳小结 ：此题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念,以及直线与抛物线的位置关系,只有一个公共点, 就解方程组有唯独解此题较好地考查了基本概念、基本方法和基本技能2x2y2例 3（ 2022 全国理） 设双曲线a2b21（ a 0,b 0）的渐近线与抛物线y=x+1 相切,就该双曲线的离心率等于A.3B.2C.5D.6解析： 设切点P x , y ,就切线的斜率为y' |2 x 由题意有y0x2 x 又有00yx00x021 ,联立两式解得 :21,b2, ex x0000b 215 aa因此选 Cx2y2例 4（2022 江西）设F1 和 F2 为双曲线221 aab0, b0 的两个焦点,如F1, F2 ,P0,2 b 是正三角形的三个顶点,就双曲线的离心率为（）A 3B 2C 522D 3c32222c解析： 由 tan62b有 3c34b4ca ,就 ea2 ,应选 B 归纳小结 ：留意等边三角形及双曲线的几何特点,从而得出合思想的应用（三）求曲线的方程tanc62b3,表达数形结3x2y2例 5（ 2022,北京） 已知双曲线3为 x3（ 1）求双曲线 C 的方程；C : a2b 21a0,b0 的离心率为3 ,右准线方程（ 2）已知直线xym0 与双曲线 C 交于不同的两点A, B,且线段 AB 的中点在圆x2y25 上,求 m 的值分析：（ 1）由已知条件列出a,b, c 的关系,求出双曲线C 的方程；（ 2）将直线与双曲线方程联立,再由中点坐标公式及点在圆上求出m 的值a23解：（ 1）由题意,得cca3 ,解得 a 31, c3 . b2c2a22 ,所求双曲线 C 的方程为y2x212（ 2）设 A、B 两点的坐标分别为x1, y1 ,x2 , y2,线段 AB 的中点为Mx0 , y0 ,2y2由 x21得 x22mxm220 （判别式0 ）,xym0 xx1x2m, yxm2m ,0002点 Mx, y在圆 x2y25 上,00 m22m 25 , m1 另解： 设 A、B 两点的坐标分别为x1, y1 ,x2, y2,线段 AB 的中点为Mx0, y0,y 21x 21121由22y2x221,两式相减得 x1x2 x1x 1 y 2y2 y1y20 .2由直线的斜率为 1, xx1x2 , yy1y2代入上式,得 y2x .000022又 M y , x 在圆上,得 y 2x 25,又 M y , x 在直线上,可求得m 的值 .000000归纳小结 ：此题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础学问,考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法,考查推理、运算才能例 6过 M1,1的直线交双曲线 xy1 于 A, B 两点,如 M 为弦 AB 的中点,求直线2242AB 的方程分析： 求过定点 M 的直线方程,只需要求出它的斜率为此可设其斜率是k ,利用 M 为弦AB 的中点, 即可求得 k 的值, 由此写出直线 AB 的方程 也可设出弦的两端点坐标用“点差法” 求解解法一： 明显直线 AB 不垂直于 x 轴,设其斜率是k ,就方程为 y1k x1 x2y21222由42消去 y 得 12k x4k1k x2 k4k60y1k x1设 Ax1, y1 , B x2, y2 ,由于 M 为弦 AB 的中点,所以 x1x22k 1k 1 ,所以 k1 212k22明显,当 k1时方程的判别式大于零.2所以直线 AB 的方程为 y11 x21 ,即 x2 y10 解法二： 设A x1, y1, B x2 , y2 ,就x2y211142x2y222142得 x1x2 x1x2 2 y1y2 y1y2 0 .又由于 x1x22, y1y22 ,所以 x1x22 y1y2 如 x1x2, 就 y1y2 ,由 x1x22, y1y22 得 x1x21, y1y21就点 A、B 都不在双曲线上,与题设冲突,所以x1x2 所以 ky1y21 x1x22所以直线 AB 的方程为 y11 x21 ,即 x2 y10 经检验直线 x2 y10 符合题意,故所求直线为x2 y10 解法三： 设 A（ x, y ）,由于 A、B 关于点 M（ 1,1）对称, 所以 B 的坐标为 （ 2x,2y ）,x2y21,就42消去平方项,得x2 y10 2-x 242y21.2即点 A 的坐标满意方程,同理点B 的坐标也满意方程故直线 AB 的方程为 x2 y10 归纳总结： 由于双曲线（抛物线）不是“封闭”的曲线,以定点为中点的弦不肯定存在,所以在求双曲线（抛物线）中点弦方程时,必需判定满意条件的直线是否存在（四）轨迹问题x2y2例 7已知点P1 x0 , y0 为双曲线221 （ b 为正常数）上任一点, 8bbF2 为双曲线的右焦点, 过P1 作右准线的垂线, 垂足为 A ,连接F2 A 并延长交 y 轴于P2 求线段P1 P2 的中点 P 的轨迹 E 的方程分析： 求轨迹问题有多种方法,如相关点法等,此题留意到点P 是线段P1 P2 的中点,可利用相关点法解： 由已知得F2 3b,0,A 8 b,3y0 ,就直线 F2 A的方程为： y3 y0 x b3b 令 x0 得 y9 y0 ,即P2 0,9 y0 设 P（ x, y）,就xx0 2yy09 y0 2,5 y0x02xx 2y 24 x2y2即y 代入001 得：1 ,0y8b2b 258b 225b2x2y2即 P 的轨迹 E 的方程为221 xR 2b25b归纳小结 ：将几何特点转化为代数关系是解析几何常用方法（ 五）突出几何性质的考查2例 8（ 2006 江西） P 是双曲线 xy1 的右支上一点, M ,N 分别是圆 x52y242916和 x52y21上的点,就 | PM| PN|的最大值为（）A.6B.7C.8D .9解析： 双曲线的两个焦点F15,0 与 F2 5,0 恰好是两圆的圆心,欲使| PM| PN| 的值最大,当且仅当 | PM|最大且 | PN|最小,由平面几何性质知,点M 在线段PF1 的延长线上,点 N 是线段PF2 与圆的交点时所求的值最大.此时 | PM| PN |PF12PF21PF1PF239 因此选 D例 9（ 2022 重庆）已知以原点 O 为中心的双曲线的一条准线方程为（ 1）求该双曲线的方程；x5 ,离心率 e5 5（ 2）如图,点 A 的坐标为 5,0 , B 是圆 x2 y5 21 上的点,点 M 在双曲线右支上,求 MAMB 的最小值,并求此时M 点的坐标 .分析：（ 1）比较基础,利用所给条件可求得双曲线的方程； （ 2）利用双曲线的定义将MA 、MB转化为其它线段,再利用不等式的性质求解解 ：（ 1 ） 由 题 意 可 知 , 双 曲 线 的 焦 点 在 x 轴 上 , 故 可 设 双 曲 线 的 方 程 为x2y2225a 25221 aab0, b0 ,设cab ,由准线方程为 x得,5c5由 e解得 a5 得 ca1, c5 5 . 从而 b2 ,该双曲线的方程为y2x21 .4（ 2）设点 D 的坐标为 5,0 ,就点 A、D 为双曲线的焦点,就 | MA | MD |2a2 .所以 | MA| MB|2| MB| MD| 2| BD | 由于 B 是圆 x2 y5 21 上的点,其圆心为C0,5 ,半径为 1,故 | BD | CD |1101,从而 | MA | MB| 2| BD |101 当 M , B 在线段 CD 上时取等号,此时 | MA | MB | 的最小值为101 直线 CD 的方程为 yx5 ,因点 M 在双曲线右支上,故x0 4 x2y245424542由方程组解得 x, yyx533所以 M 点的坐标为 5423, 4542 3归纳小结 ：此题综合考查双曲线的学问及不等式性质,考查推理才能及数形结合思想
