2022年向量知识点归纳.docx

向量学问点的归纳一、学问梳理：（ 1）本章要点梳理：1、向量 加法 的几何意义： 起点相同时适用 平行四边形法就 （对角线）,首尾相接适用 “ 蛇形法就 ”,1特殊留意： AB2AC 表示 ABC 的边 BC 的中线向量； 向量减法的几何意义： 起点相同适用三角形法就 ,（终点连结而成的向量, 指向被减向量） ,| AB |表示 A 、B 两点间的 距离 ；以 a、b 为邻边的平行四边形的两条对角线分别表示向量a + b 、 ab （或 ba ）；2、懂得单位向量、平行向量、垂直向量的意义；与非零向量 a 同向的 单位向量 a 0a| a |,叫做 a 的单位向量；而a0 都与 a 共线（与 a 反向的单位向量为 - a 0a）；| a |3、两向量所成的角指的是两向量方向所成的角；两向量数量积 a b| a | b | cosa,b；其中| b | cosa, b可视为向量 b 在向量 a 上的投影；4、向量运算中特殊留意2a| a |2的应用；讨论向量的模经常先转化为模平方再进行向量运算；另外,有关向量的运算也可以利用数形结合 的方法来求解,有些题目就可以由作图得解；5、向量的 坐标运算 是高考中的热点内容,向量的坐标形式实质上是其分解形式x iyj 的“简记”；其中i, j分别表示与 x 轴、 y 轴正方向同向的单位向量；6、利用向量求角时,要留意范畴；两向量所成角的范畴是0, ；特殊留意： a b0 不能等同于 a,b 所成角是锐角, 由于当a, b同向时也满意a b0 ；同样的道理, a b0 不能等同于a, b所成角是钝角,由于当a, b反向时也满意a b0 ；例 l 是过抛物线 y 22 px p0 焦点的直线,它与抛物线交于A 、B 两点, O 是坐标原点,就 ABO 是（）A 、锐角三角形；B 、直角三角形；C、钝角三角形；D 、不确定与 P 值有关 .分析：由直线 l 过焦点F p ,0 ,设其方程为x 2myp 2,联立得：y 22 px xmyp2,即：22y2pmyp0 ,就 y1y22p ,又 x1x222y1y2p 2=.就2 p2 p4OA OBx1x2y1y23 p 240 ,就AOB 肯定是钝角 .选 C.7. 直线 l 的向量参数方程式： A 、P、B 三点共线 就 OP8. 关注向量运算与三角函数综合是高考中的常见题型. 1t OAtOB例已知向量 a 2 cosx,1, bcos x,3 sin 2x, xR.设f xa b .（ 1）如f x13 且 x, ,求 x的值；（ 2）如函数 y 332 sin 2x 的图像按向量c m, n| m |平移后得到函数 y2f x的图像,求实数m, n的值.解析：（ 1）f x2 cos2 x3 sin 2 xcos 2 x13 sin 2x2 sin 2 x1 ,6易得 x.（ 2）函数 y42 sin 2 x1 是由函数 y62 sin 2x 的图像向左平移,再把12所得图像向上平移1 个单位而得,所以 m二、易错、易混、易忘点梳理：, n1 .124【易错点 1】涉及向量的有关概念、运算律的懂得与应用,易产生概念性错误；例 1. 以下命题：a 2a 2| a | a b ca cb| a · b |=|a | · | b | 如 a b ,b c , 就 a c a b ,就存在唯独实数 ,使 ba 如 a cb c ,且 c o ,就 ab设 e1 , e2 是平面内两向量,就对于平面内任何一向量a ,都存在唯独一组实数x、 y,使axe1ye2成立；如 | a+ b |=|a b | 就 a· b =0； a · b =0,就 a= 0 或 b = 0 ；其中真命题的个数为（）A 1B 2C 3D 3 个以上2解析： 正确； 依据向量模的运算a aa 判定；错误, 向量的数量积的运算不满意交换律,这是由于依据数量积和数乘的定义 a cb 表示和向量 b 共线的向量, 同理 a bc 表示和向量c 共线的向量,明显向量b 和向量 c 不肯定是共线向量,故 a b ca cb 不肯定成立；错误；应为 aba b 错误；留意零向量和任意向量平行, 非零向量的平行性才具有传递性；错误；应加条件“非零向量a ”；错误；向量不满意消去律；依据数量的几何意义,只需向量 b 和向量 b 在向量 c 方向的投影相等即可,作图易知满意条件的向量有很多多个；错误；注意平面对量的基本定理的前提有向量e1 , e2是不共线的向量即一组基底；正确；条件表示以两向量为邻边的平行四边形的对角线相等,即四边形为矩形；故a · b =0；错误；只需两向量垂直即可；答案： B【学问点归类点拔】在利用向量的有关概念及运算律判定或解题时,肯定要明确概念或定理成立的前提条件和依据向量的运算律解答,要明确向量的运算和实数的运算的相同和不同之处；一般地已知 , 和实数 ,就向量的数量积满意以下运算律：··交换律 （ ）· （· ） ·（ ） 数乘结合律 · · · 安排律 说明：（ 1）一般地, · （· ）（ 2）有如下常用性质： ,（）（ ）· ·· ·, · 2【练习】设 a、b、c 是任意的非零平面对量, 且相互不共线 , 就 （ a·b）c（ c·a）b=0 |a|2 |b|<|a b|（ b· c） a（ c· a） b 不与 c 垂直 （ 3a+2b）（ 3a 2b） =9|a|是真命题的有（） A. B. C. D. 答案： D 4|b|中,【易错点 2】利用向量的加法、减法、数量积等运算的几何意义解题时,数形结合的意识不够, 忽视隐含条件；例 2. 四边形 ABCD中, AB , BC , CD , DA ,且·· ·· ,试问四边形ABCD是什么图形 .【易错点分析】 四边形的外形由边角关系确定,关键是由题设条件演化、 推算该四边形的边角量, 易忽视如下两点： （ 1）在四边形中, AB , BC , CD , DA 是顺次首尾相接向量,就其和向量是零向量,即 0,应留意这一隐含条件应用；2 由已知条件产生数量积的关键是构造数量积,由于数量积的定义式中含有边、角两种关系；解：四边形 ABCD是矩形,这是由于一方面：由 0 得（ ）,即 （ ）2 即 · · 由于 · ·, 同理有 由可得 ,且 即四边形 ABCD两组对边分别相等 四边形 ABCD是平行四边形 . 另一方面, 由·· ,有（ ） ,而由平行四边形 ABCD 可得 ,代入上式得 · 2 即 · , 也即 ABBC；综上所述,四边形 ABCD是矩形 .【学问点归类点拔】向量是高考的一个亮点,由于向量学问,向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用,而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体,能与中学数学教学内容的很多主干学问综合,形成学问交汇点,所以高考中应引起足够的重视；基于这一点解决向量有关问题时要树立起数形结合,以形助数的解题思路；例如很多重要结论都可用这种思想直观得到： （ 1）向量形式的平行四边形定理： 2（ a 2 + b 2 ） = a b 2 + a + b 2 （ 2）向量形式的三角形不等式： a - b a ± b a + b 试问：取等号的条件是什么 .等有用的结论；【练习】（1）点 O是 ABC 所在平面内的一点,满意ABC 的（）OA OBOB OCOC OA ,就点 O是（ A）三个内角的角平分线的交点（ B）三条边的垂直平分线的交点（ C）三条中线的交点（ D）三条高的交点（ 2） ABC 的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H, OH数 m =答案：（ 1） D（ 2） m=1【易错点 3】忽视向量积定义中对两向量夹角的定义；mOAOBOC,就实例 3. 已知ABC 中, a5, b8,c7 , 求 BCCA .答案 :-20【学问点归类点拔】高中阶段涉及角的概念不少, 在学习过程中要明确它们的概念及取值范畴, 如直线的倾斜角的取值范畴是0 ,180,两向量的夹角的范畴是0 ,180,留意向量的夹角是 否为三角形内角；【易错点 4】向量数积性质的应用；例 4. 已知 a、b 都是非零向量,且a + 3b与 7a5b 垂直, a4b 与 7a2b 垂直,求 a 与 b 的夹角；解析：此题应依据两向量夹角公式树立整体求解的思想；答案： 60；【学问点归类点拔】利用向量的数量积的重要性质结合向量的坐标运算可解决涉及长度、角度、垂直等解析几何、 立体几何、 代数等问题, 要熟记并敏捷应用如下性质：设与 都是非零向量, 与 的数量积的几何意义是向量 在向量 方向的单位向量正射影的数量· · 或 a aa 2 a bab · · 5【练习】（ 1）已知向量 a1,2, b 2,4, c5, 如 ab c,就 a 与 c的夹角为（）2A 30° B 60° C 120°D 150°答案： C（留意b 2a ）（ 2 已知向量 a e, | e| 1,对任意 t R,恒有 | a t e| | a e|,就（）Aa e Ba a eCe a eD a e a e答案： C【易错点 5】向量与三角函数求值、运算的交汇例 5、a1cos,sin, b1cos,sin, c1,0,0,2 ,a 与 c 的夹角为 1, b 与 c 的夹角为 2,且12, 求sin 3的值 .2【易错点分析】此题在解答过程中,同学要将向量的夹角运算与三角变换结合起来,留意在用已知角表示两组向量的夹角的过程中,易忽视角的范畴而导致错误结论；解析：a 2 cos 2,2 sin2cos222 cos2cos2, sin, 2b 2sin 2, 2sin2cos 222sinsin2,cos 220,2,0,222, 故有2| a |2 cos| b |2sincos2cos2a c2cos,222sin 21| a | | c |2cos2212cosb c2sin, 0,因2| b | | c |2sin2222222212,2222,从而6sin2sin1 .62【学问点归类点拔】当今高考数学命题留意学问的整体性和综合性,重视学问的交汇性,向量是新课程新增内容,详细代数与几何形式的双重身份；它是新旧学问的一个重要的交汇点,成为联系这些学问的桥梁,因此,向量与三角的交汇是当今高考命题的必定趋势；高考对三角的考查经常以向量学问为载体,结合向量的夹角、向量的垂直、向量的模或向量的运算来进行考查同学综合运用学问解决问题的才能；【易错点 6】向量与解三角形的交汇例 6. ABC 内接于以 O 为圆心, 1 为半径的圆,且 3 OA 4OB 5OC= 0；求数量积,OA · OB , OB· OC , OC· OA ；求 ABC 的面积；【思维分析】第 1 由题意可知 3 OA 、4OB、5OC三向量的模,故依据数量积的定义及运算律将一向量移项平方即可；第2 问据题意可将已知三角形分割成三个小三角形利用正弦懂得答；解析： | OA|=| OB|=| OC|=1 由 3OA 4OB 5OC=0得： 3OA 4OB= 5OC两边平方得： 9OA224OA 2 2 4·OB 16OB=25OC OA·OB=0同理：由 4OB 5OC= 3OA求得 OB·OC= 5 由 3OA5OC= 4OB求得 3OA·OC= 5由 114432OA· OB=0,故 s0AB =|OA|OB|=2由OB· OC= 5得 cos BOC= 5 sin BOC= 5 s0BC =12| OB| OC|sin BOC= 310,由OC·OA= 35得 cos COA= sin COA= 3455s0 AC =12| OA|sin COA=2即5sABC = s 0 ABs 0 AC s0BC1326= =21055| OC【学问点归类点拔】此题考查了向量的模、 向量的数量积的运算,用于表达三角形的内角、面积；