2022年历考研数学线代真题1987-.docx

精品学习资源历年考研数学一真题 1987-20211987 年全国硕士争论生入学统一考试数学 一 试卷一、填空题 此题共 5 小题, 每题 3 分, 总分值 15 分. 把答案填在题中横线上 欢迎下载精品学习资源5 已知三维向量空间的基底为 1301AB= A2B , 其中 A110 , 求矩阵B.014三、 此题总分值 7 分2 设矩阵 A 和B 满意关系式1,1,0,21,0,1,30,1,1, 就向量 2, 0, 0在此基底下的坐标是.欢迎下载精品学习资源*五、挑选题 此题共 4 小题, 每题 3 分, 总分值 12 分. 每题给出的四个选项中 , 只有一个符合题目要求 , 把所选项前的字母填在题后的括号内 欢迎下载精品学习资源4 设A 为n 阶方阵，且 A 的行列式 | A |a0, 而A * 是A 的相伴矩阵，就| A |等于欢迎下载精品学习资源 A a B 1a C a n 1 D an欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源九、此题总分值 8 分x1x2x3x40欢迎下载精品学习资源问a , b 为何值时 , 现线性方程组x2x2 3x12 x3a 2 x22 x43) x3 x312 x4bax41欢迎下载精品学习资源有唯独解 , 无解, 有无穷多解 .并求出有无穷多解时的通解 .欢迎下载精品学习资源二、填空题 此题共 4 小题, 每题 3 分, 总分值 12 分. 把答案填在题中横线上 欢迎下载精品学习资源(4) 设 4 阶矩阵 A , 2, 3 , 4, B , 2, 3, 4 , 其中 , , 2 ,3 , 4 均为 4 维列向量 , 且已知行列式 A4, B1,就行列式 AB =.欢迎下载精品学习资源三、挑选题 此题共 5 小题, 每题 3 分, 总分值 15 分. 每题给出的四个选项中 , 只有一个符合题目要求 , 把所选项前的字母填在题后的括号内 欢迎下载精品学习资源(5) n 维向量组1 , 2 ,s 3sn 线性无关的充要条件是欢迎下载精品学习资源 A 存在一组不全为零的数k1 , k2 , ks , 使k11k22kss0欢迎下载精品学习资源 B C D1, 2,s 中任意两个向量均线性无关1, 2,s 中存在一个向量不能用其余向量线性表示1,2,s 中存在一个向量都不能用其余向量线性表示欢迎下载精品学习资源七、此题总分值 6 分100100欢迎下载精品学习资源已知 APBP , 其中 B000, P210 , 求A, A 5.欢迎下载精品学习资源001211八、此题总分值 8 分200200欢迎下载精品学习资源已知矩阵 A001 与B0y0相像.欢迎下载精品学习资源(1) 求 x 与 y.01x001欢迎下载精品学习资源(2) 求一个满意 P1 APB 的可逆阵 P.欢迎下载精品学习资源一、填空题 此题共 5 小题, 每题 3 分, 总分值 15 分. 把答案填在题中横线上 3001005 设矩阵A140,I010 , 就矩阵 A2I 1 =.003001二、挑选题 此题共 5 小题, 每题 3 分, 总分值 15 分. 每题给出的四个选项中 , 只有一个符合题目要求 , 把所选项前的字母填在题后的括号内 5 设A 是n 阶矩阵 , 且A 的行列式 A0, 就A 中 A 必有一列元素全为 0 B 必有两列元素对应成比例 C 必有一列向量是其余列向量的线性组合 D 任一列向量是其余列向量的线性组合三、 此题共 3 小题, 每题 5 分, 总分值 15 分七、此题总分值 6 分欢迎下载精品学习资源问 为何值时 , 线性方程组八、此题总分值 8 分x1x34x1x26x1x22x3 4x32有解, 并求出解的一般形式 .23欢迎下载精品学习资源假设为n 阶可逆矩阵 A 的一个特点值 , 证明欢迎下载精品学习资源(1) 1 为A1 的特点值 .欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源(2) A 为A 的相伴矩阵A * 的特点值 .欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源5 已知向量组 11,2,3, 4, 22,3, 4,5, 33, 4,5,6, 44,5,6,7,欢迎下载精品学习资源就该向量组的秩是.二、挑选题 此题共 5 小题, 每题 3 分, 总分值 15 分. 每题给出的四个选项中 , 只有一个符合题目要求 , 把所选项前的字母填在题后的括号内 欢迎下载精品学习资源5已知 1、 2 是非齐次线性方程组 AXb 的两个不同的解AXb 的通解 一般解 必是,1 、2 是对应其次线性方程组 AX0 的基础解析,k1 、 k2为任意常数 , 就方程组欢迎下载精品学习资源 A k k 欢迎下载精品学习资源122 B k 1 1k 1221 2212 D k 1211k 21 21 1212欢迎下载精品学习资源 C k k 欢迎下载精品学习资源211212七、此题总分值 6 分设四阶矩阵且矩阵 A 满意关系式21100213401100213B,C0011002100010002欢迎下载精品学习资源A EC1B CE欢迎下载精品学习资源1其中 E 为四阶单位矩阵 ,C表示 C 的逆矩阵 , C 表示C 的转置矩阵 . 将上述关系式化简并求矩阵 A.欢迎下载精品学习资源2八、此题总分值 8 分 求一个正交变换化二次型 fx4 x4 x4 x x4 x x8 x x 成标准型 .欢迎下载精品学习资源221231 21 32 3欢迎下载精品学习资源5 设 4 阶方阵 A5200210000120011, 就A 的逆阵 A1 =.欢迎下载精品学习资源二、挑选题 此题共 5 小题, 每题 3 分, 总分值 15 分. 每题给出的四个选项中 , 只有一个符合题目要求 , 把所选项前的字母填在题后的括号内 欢迎下载精品学习资源5 设n 阶方阵 A 、B 、 C 满意关系式ABCE ,其中E 是n 阶单位阵 , 就必有欢迎下载精品学习资源 A ACBE B CBAE C BACE D BCAE七、此题总分值 8 分欢迎下载精品学习资源已知 11,0,2,3, 21,1,3,5, 31,1, a2,1, 41,2,4, a8) 及1,1 , b3,5.欢迎下载精品学习资源(1) a 、b 为何值时 ,不能表示成 1, 2, 3,4 的线性组合 .(2) a 、b 为何值时 ,有 1, 2,3,4的唯独的线性表示式 .写出该表示式 .八、此题总分值 6 分设A 是 n 阶正定阵 ,E 是 n 阶单位阵 , 证明 AE 的行列式大于 1.欢迎下载精品学习资源5 设Aa1b1 a2b1a1b2 a2b1a1bn a2bn, 其中ai0, bi0, i1,2, n . 就矩阵 A 的秩r A =.欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源anb1anb2anbn欢迎下载精品学习资源二、挑选题 此题共 5 小题, 每题 3 分, 总分值 15 分. 每题给出的四个选项中 , 只有一个符合题目要求 , 把所选项前的字母填在题后的括号内 10欢迎下载精品学习资源5 要使 10 ,21都是线性方程组 AX0 的解, 只要系数矩阵 A 为欢迎下载精品学习资源21 A212 B201011011欢迎下载精品学习资源 C102011八、此题总分值 7 分 D422011欢迎下载精品学习资源设向量组1 , 2 , 3 线性相关 , 向量组2, 3 ,4 线性无关 , 问:欢迎下载精品学习资源121能否由 4 能否由2 ,3 线性表出 .证明你的结论 .1 , 2 ,3 线性表出 .证明你的结论 .欢迎下载精品学习资源九、此题总分值 7 分设 3 阶矩阵 A 的特点值为11111,22,313, 对应的特点向量依次为欢迎下载精品学习资源11, 22, 33, 又向量 2 .1493(1) 将用 1, 2, 3 线性表出 .(2) 求An n为自然数 .欢迎下载精品学习资源5 设n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零 , 且A 的秩为 n1, 就线性方程组 AX0 的通解为.二、挑选题 此题共 5 小题, 每题 3 分, 总分值 15 分. 每题给出的四个选项中 , 只有一个符合题目要求 , 把所选项前的字母填在题后的括号内 123欢迎下载精品学习资源5 已知 Q24t, P 为三阶非零矩阵 , 且满意 PQ0, 就欢迎下载精品学习资源 A t3696 时P 的秩必为 1B t6 时P 的秩必为 2欢迎下载精品学习资源 C t6 时P 的秩必为 1 D t6 时P 的秩必为 2欢迎下载精品学习资源1231232 3123七、此题总分值 8 分欢迎下载精品学习资源已知二次型f x , x, x 2 x23 x23 x22ax x a0 通过正交变换化成标准形fy 22y 25 y2 , 求参数 a 及所用的正交变换矩阵 .欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源八、此题总分值 6 分设A 是 nm 矩阵 , B 是mn 矩阵, 其中nm, I 是n 阶单位矩阵 , 假设ABI, 证明 B 的列向量组线性无关 .欢迎下载精品学习资源5 已知 1, 2,3, 11设1,2 3A,其中 是的转置 , 就An =.欢迎下载精品学习资源二、挑选题 此题共 5 小题, 每题 3 分, 总分值 15 分. 每题给出的四个选项中 , 只有一个符合题目要求 , 把所选项前的字母填在题后的括号内 5 已知向量组 1,2, 3, 4 线性无关 , 就向量组欢迎下载精品学习资源 A 1 C 12 ,22 ,23 , 33 , 34 , 44 , 41 线性无关 B 11 线性无关 D 12 , 22 ,23 ,33 ,34 ,44 ,41 线性无关 1 线性无关欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源八、此题总分值 8 分设四元线性齐次方程组 为x1x20 ,x2x40欢迎下载精品学习资源又已知某线性齐次方程组 的通解为(1) 求线性方程组 的基础解析 .k10,1,1,0k2 1,2, 2,1.欢迎下载精品学习资源(2) 问线性方程组 和 是否有非零公共解 .假设有, 就求出全部的非零公共解 . 假设没有 , 就说明理由 .九、此题总分值 6 分欢迎下载精品学习资源设A 为 n 阶非零方阵, A * 是A 的相伴矩阵 , A是A 的转置矩阵 , 当 A *A时, 证明 A0.欢迎下载精品学习资源1003欢迎下载精品学习资源5 设三阶方阵A , B 满意关系式A 1BA6 ABA , 且 A010,就B =.4欢迎下载精品学习资源0017010100,P1100, P2010, 就必有001101二、挑选题 此题共 5 小题, 每题 3 分, 总分值 15 分. 每题给出的四个选项中 , 只有一个符合题目要求 , 把所选项前的字母填在题后的括号内 欢迎下载精品学习资源5 设Aa11 a21 a31a12 a22 a32a13a23, Ba33a11 a21 a31a12 a22 a32a13 a23 a33欢迎下载精品学习资源 AAP1P2= B BAP2P1 = B欢迎下载精品学习资源 CP1P2 A = B DP2 P1 A = B欢迎下载精品学习资源八、此题总分值 7 分设三阶实对称矩阵 A 的特点值为 11, 231, 对应于 1的特点向量为 101 , 求A.1欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源九、此题总分值 6 分设A 为 n 阶矩阵, 满意 AAI I 是n 阶单位矩阵 , A是A 的转置矩阵 , A0, 求 AI .欢迎下载精品学习资源1023 矩阵, 且A的秩 r A 2, 而 B020, 就 r AB =.5 设A 是 4103二、挑选题 此题共 5 小题, 每题 3 分, 总分值 15 分. 每题给出的四个选项中 , 只有一个符合题目要求 , 把所选项前的字母填在题后的括号内 a100b10a2b200a3b30b400a45 四阶行列式的值等于欢迎下载精品学习资源 Aa1a2 a3a4b1b2 b3b4 Ba1a2 a3 a4b1b2b3b4欢迎下载精品学习资源 Ca1 a2b1b2 a3 a4b3b4 Da2 a3b2b3 a1a4b1 b4 欢迎下载精品学习资源八、此题总分值 6 分T设 AIT, 其中I 是n 阶单位矩阵 ,是 n 维非零列向量 , T 是 的转置. 证明欢迎下载精品学习资源(1) A 2A的充分条件是 1.欢迎下载精品学习资源(2) 当 T 1 时, A 是不行逆矩阵 .九、此题总分值 8 分已知二次型 f x , x , x 5x25 x2cx22 x x6x x6 x x 的秩为 2,1231231 21 32 3(1) 求参数 c 及此二次型对应矩阵的特点值.(2) 指出方程 f x1 , x2 , x3 1表示何种二次曲面 .欢迎下载精品学习资源122欢迎下载精品学习资源4 设A4t3,B 为三阶非零矩阵 , 且ABO ,就t =.欢迎下载精品学习资源311二、挑选题 此题共 5 小题, 每题 3 分, 总分值 15 分. 每题给出的四个选项中 , 只有一个符合题目要求 , 把所选项前的字母填在题后的括号内 a1b1c1a1xb1 yc10,4 设 1a2,2b2,3c2, 就三条直线a2xb2yc20,a3b3c3a3xb3 yc30 其中 a 2b20, i1, 2,3 交于一点的充要条件是欢迎下载精品学习资源ii A 1 , 2 , 3 线性相关 B1 ,2 , 3 线性无关欢迎下载精品学习资源 C 秩 r1 ,2 ,3 秩r 1, 2 D1 ,2 , 3 线性相关,1,2 线性无关欢迎下载精品学习资源TTT七、 此题共 2 小题, 第1 小题 5 分, 第2 小题 6 分, 总分值 11 分欢迎下载精品学习资源1231 设B 是秩为 2的54 矩阵, 1,1, 2,3, 1,1, 4,1 , 5,1,8,9是齐次线性方程组 B x0 的解向量 , 求B x0 的解空间的一个标准正交欢迎下载精品学习资源基.12122 已知1是矩阵 A5a3的一个特点向量 .11b21) 试确定 a , b 参数及特点向量 所对应的特点值 .2) 问A 能否相像于对角阵 .说明理由 .八、此题总分值 5 分设A 是 n 阶可逆方阵 , 将A 的第 i 行和第 j 行对换后得到的矩阵记为B.(1) 证明 B 可逆.(2) 求AB1 .欢迎下载精品学习资源4 设A 为n 阶矩阵 , A0, A *为A 的相伴矩阵 , E 为n 阶单位矩阵 . 假设 A 有特点值 ,就 A E 必有特点值.欢迎下载精品学习资源* 2二、挑选题 此题共 5 小题, 每题 3 分, 总分值 15 分. 每题给出的四个选项中 , 只有一个符合题目要求 , 把所选项前的字母填在题后的括号内 4 设矩阵欢迎下载精品学习资源a1b1c1a2b2c2是满秩的 , 就直线xa 3y b3z c 3与直线xa1y b1z c1欢迎下载精品学习资源a3b3c3a1a 2b1b2c1c 2a 2a3b2b3c2c3欢迎下载精品学习资源 A 相交于一点 B 重合 C 平行但不重合 D 异面十、此题总分值 6 分x欢迎下载精品学习资源已知二次曲面方程 x2ay2z22bxy2 xz2 yz4 可以经过正交变换y1kzP化为椭圆柱面方程24 24, 求 a, b 的值和正交矩阵 P.欢迎下载精品学习资源十一、此题总分值 4 分 设A 是n 阶矩阵 , 假设存在正整数性无关的 .十二、此题总分值 5 分k,使线性方程组A k x0 有解向量, 且A k 0.证明: 向量组, A , A1是线欢迎下载精品学习资源已知方程组 a11x1 a21x1a12x2 a22 x2a1,2 n x2n0a2,2 n x2n0欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源an1x1an2 x2an,2 n x2n0b11 y1b12 y2b1,2 n y2 n0欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源11121,2 n的一个基础解析为b , b,bT , b , b, bT , b ,b, b T . 试写出线性方程组 b21 y1b22 y2b2,2 n y2n0欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源21222,2 nn1n2n,2 n的通解 , 并说明理由 .bn1 y1bn 2 y2bn ,2n y2n0欢迎下载精品学习资源4 设n 阶矩阵 A 的元素全为 1, 就A 的 n 个特点值是.二、挑选题 此题共 5 小题, 每题 3 分, 总分值 15 分. 每题给出的四个选项中 , 只有一个符合题目要求 , 把所选项前的字母填在题后的括号内 4 设A 是mn 矩阵, B 是nm 矩阵, 就 A 当 mn 时, 必有行列式 | AB|0 B 当mn 时, 必有行列式 | AB|0 C 当 nm 时, 必有行列式 | AB|0 D 当nm 时, 必有行列式 | AB|0十、 此题总分值 8 分欢迎下载精品学习资源设矩阵 Aa15b1c0c3 , 其行列式 | Aa|1, 又 A 的相伴矩阵00A * 有一个特点值, 属于 的一个特点向量为 1,1,1T , 求a, b,c 和的值.欢迎下载精品学习资源0十一、 此题总分值 6 分欢迎下载精品学习资源T设A 为m阶实对称矩阵且正定 , B 为 mn 实矩阵, B为B 的转置矩阵 , 试证 B T AB 为正定矩阵的充分必要条件是 B 的秩r B n.欢迎下载精品学习资源一、填空题 此题共 5 小题, 每题 3 分, 总分值 15 分. 把答案填在题中横线上 121x11欢迎下载精品学习资源4 已知方程组23a2x 23 无解, 就 a =.欢迎下载精品学习资源1a2x30二、挑选题 此题共 5 小题, 每题 3 分, 总分值 15 分.欢迎下载精品学习资源4 设n 维列向量组1 , m mn 线性无关 , 就 n 维列向量组1,m 线性无关的充分必要条件为欢迎下载精品学习资源 A 向量组1,m 可由向量组1, m 线性表示 B 向量组1,m 可由向量组1 ,m 线性表示欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源 C 向量组1,m 与向量组1,m 等价D 矩阵 A1 , m 与矩阵 B1 , m 等价欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源十、 此题总分值 6 分*设矩阵 A 的相伴矩阵 A1000010010100308, 且 ABA1BA13E , 其中 E 为 4 阶单位矩阵 , 求矩阵 B .欢迎下载精品学习资源十一、 此题总分值 8 分某适应性生产线每年1 月份进行娴熟工与非娴熟工的人数统计, 然后将 1 娴熟工支援其他生产部门 , 其缺额由招收新的非娴熟工补齐 . 新、老非娴熟6欢迎下载精品学习资源工经过培训及实践至年终考核有2 成为娴熟工 . 设第 n 年 1 月份统计的娴熟工与非娴熟工所占百分比分别为5xn和xnyn , 记成向量. yn欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源(1) 求xn 1与yn 1xn的关系式并写成矩阵形式 :ynxn 1xnA.yn 1yn1欢迎下载精品学习资源12(2) 验证 4 , 1 是A 的两个线性无关的特点向量 , 并求出相应的特点值 . 3当 x12时, 求11y112xn 1.yn 1欢迎下载精品学习资源一、填空题 此题共 5 小题, 每题 3 分, 总分值 15 分. 把答案填在题中横线上 欢迎下载精品学习资源4 设A 2A4 EO , 就 A2E1 =.欢迎下载精品学习资源111140001111, B00001111000011110000二、挑选题 此题共 5 小题, 每题 3 分, 总分值 15 分. 每题给出的四个选项中 , 只有一个符合题目要求 , 把所选项前的字母填在题后的括号内 欢迎下载精品学习资源4 设A, 就A 与B欢迎下载精品学习资源 A 合同且相像 B 合同但不相像 C 不合同但相像 D 不合同且不相像欢迎下载精品学习资源九、 此题总分值 6 分设1 ,2 ,s 为线性方程组 AXO 的一个基础解系 , 1时 1 , 2 , s 也为 AXO 的一个基础解系 .t11t2 2 ,2t12t2 3 ,st1st2 1 , 其中 t1 ,t 2 为实常数 , 试问t1,t 2 满意什么条件欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源十、 此题总分值 8 分2已知三阶矩阵 A 和三维向量 x , 使得x , A x , A 2 x 线性无关 , 且满意 A 3 x3 A x2 A 2 x .欢迎下载精品学习资源(1) 记P x, Ax ,A x , 求B 使APBP1 .(2) 运算行列式 AE .欢迎下载精品学习资源x2一、填空题 此题共 5 小题, 每题 3 分, 总分值 15 分. 把答案填在题中横线上 欢迎下载精品学习资源4 已知实二次型f x1, x2, x3 a x 22x 2 4 x1 x24 x1 x34 x 2 x3 经正交变换可化为标准型 f6 y1 , 就a =.欢迎下载精品学习资源132二、挑选题 此题共 5 小题, 每题 3 分, 总分值 15 分. 每题给出的四个选项中 , 只有一个符合题目要求 , 把所选项前的字母填在题后的括号内 欢迎下载精品学习资源4 设有三张不同平面 , 其方程为的位置关系为九、 此题总分值 6 分ai xbi yci zdi i1,2 ,3 它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2, 就这三张平面可能欢迎下载精品学习资源已知四阶方阵 AA x的通解 .1, 2 ,3, 4 ,1,2,3, 4 均为四维列向量 , 其中2 ,3, 4 线性无关 , 1223 . 假设 1234 , 求线性方程组欢迎下载精品学习资源十、 此题总分值 8 分设A , B 为同阶方阵 ,(1) 假设 A , B 相像, 证明 A , B 的特点多项式相等 .(2) 举一个二阶方阵的例子说明 1 的逆命题不成立 .(3) 当A , B 为实对称矩阵时 , 证明1 的逆命题成立 .欢迎下载精品学习资源1212(4) 从R 2 的基 1 ,1到基 1 ,1 的过渡矩阵为.0112二、挑选题 此题共 6 小题, 每题 4 分, 总分值 24 分. 每题给出的四个选项中 , 只有一个符合题目要求 , 把所选项前的字母填在题后的括号内 欢迎下载精品学习资源(4) 设向量组 I :1,2, r 可由向量组 II :1 ,2, s 线性表示 , 就欢迎下载精品学习资源 A 当 r C 当 rs时, 向量组 II 必线性相关 B 当 rs时, 向量组 I 必线性相关 D 当 rs时, 向量组 II 必线性相关s时, 向量组 I 必线性相关欢迎下载精品学习资源(5) 设有齐次线性方程组 Ax0 和 Bx0 , 其中A ,B 均为 mn 矩阵, 现有 4 个命题 :欢迎下载精品学习资源 假设 A x0 的解均是 Bx0 的解, 就秩 A 秩B 欢迎下载精品学习资源 假设秩 A 秩 B , 就A x0 的解均是 Bx0 的解欢迎下载精品学习资源 假设 A x0 与Bx0 同解, 就秩 A 秩 B欢迎下载精品学习资源 假设秩 A 秩 B ,就A x0 与 Bx0 同解欢迎下载精品学习资源以上命题中正确的选项是 A B C D 九 、 此题总分值 10 分欢迎下载精品学习资源322010设矩阵A232,P101 , BP1A * P , 求 B2E 的特点值与特点向量223001, 其中A * 为A 的相伴矩阵 , E 为 3 阶单位矩阵 .欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源十 、 此题总分值 8 分已知平面上三条不同直线的方程分别为l1 :ax2by3c0 , l 2 :bx2cy3a0 , l 3 :cx2ay3b0 . 试证这三条直线交于一点的充分欢迎下载精品学习资源必要条件为 abc0.欢迎下载精品学习资源5 设矩阵 A210120001, 矩阵 B 满意ABA *2BA *E , 其中*A 为A 的相伴矩阵 , E 是单位矩阵 , 就 B =.欢迎下载精品学习资源二、挑选题 此题共 8 小题, 每题 4 分, 总分值 32 分. 每题给出的四个选项中 , 只有一个符合题目要求 , 把所选项前的字母填在题后的括号内 (11) 设 A 是 3 阶方阵 , 将 A 的第 1 列与第 2 列交换得 B , 再把 B 的第 2 列加到第 3 列得 C , 就满意 AQC 的