2022年最新高中数学函数与方程知识点总结经典例题及解析高考真题及答案 .docx

精品文档函数与方程【学问梳理】1、函数零点的定义精品文档（1） 对于函数 yf x ,我们把方程f x0 的实数根叫做函数yf x的零点；（2） 方程f x0 有实根函数yf x的图像与 x 轴有交点函数yf x 有零点；因此判定一个函数是否有零点,有几个零点,就是判定方程f x0 是否有实数根,有几个实数根；函数零点的求法：解方程f x0,所得实数根就是f x 的零点（3） 变号零点与不变号零点如函数f x 在零点x 0 左右两侧的函数值异号,就称该零点为函数f x 的变号零点；如函数f x 在零点x 0 左右两侧的函数值同号,就称该零点为函数f x 的不变号零点；如函数f x在区间a,b 上的图像是一条连续的曲线,就f a f b0 是 f x 在区间a, b 内有零点的充分不必要条件；2、函数零点的判定（ 1）零点存在性定理：假如函数yf x 在区间 a, b 上的图象是连续不断的曲线,并且有f af b0 ,那么,函数 yf x 在区间a,b 内有零点,即存在x0a,b ,使得f x00 ,这个x0 也就是方程f x0 的根；（2） 函数 yf x 零点个数（或方程f x0 实数根的个数）确定方法 代数法：函数 yf x 的零点f x0 的根；（几何法）对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数找出零点；（3） 零点个数确定yf x 的图象联系起来,并利用函数的性质0yf x 有 2 个零点0yf x 有 1 个零点f xf x0有两个不等实根；0有两个相等实根；0yf x 无零点f x0 无实根；对于二次函数在区间a,b 上的零点个数,要结合图像进行确定.1、 二分法（1） 二分法的定义 :对于在区间 a, b 上连续不断且f af b0 的函数yf x ,通过不断地把函数yf x的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步靠近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法;（2） 用二分法求方程的近似解的步骤: 确定区间 a, b ,验证f af b0 ,给定精确度;求区间 a,b 的中点 c ;运算 如f c ;f c0 ,就 c 就是函数的零点 ; 如f af c0 ,就令 bc 此时零点x0a, c ; 如f cf b0 ,就令 ac 此时零点x0 c, b ;判定是否达到精确度,即 ab,就得到零点近似值为a 或 b ;否就重复至步 .【经典例题】1. 函数f x=2 x +x32 在区间 0,1 内的零点个数是（）A 、0B 、1C、2D 、32. 函数fx 2x 3x 的零点所在的一个区间是A 、 2, 1B 、 1,0C、0,1D 、1,23. 如函数f xaxxa a0 且 a1有两个零点,就实数a 的取值范畴是.4. 设函数 fx xR满意 fx =fx,fx= f2x,且当 x0,1 时,f x=x3.又函数 gx= |xcosx |,就函数 hx=gx-fx在 1 3, 上的零点个数为（）2 2A 、5B、 6C、7D、 85函数 f xx cos x2 在区间 0,4 上的零点个数为（）A 、46函数 f xxB 、5cosx 在0, 内（C、6）D 、7A 、没有零点B、有且仅有一个零点C、有且仅有两个零点D、有无穷多个零点a, a b1,7对实数 a 和 b,定义运算 “.”： a.bb, a b>1.设函数 f x x2 2.x x2, x R,如函数 y f x c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,就实数c 的取值范畴是24A 、 , 2 1,3B、 , 2 1, 34C、 1, 11, 4D1, 3、41, 48 已 知 函 数 f（x）= loga xxb a 0,且 a1. 当 2 a 3 b 4时 , 函 数 f（ x） 的 零 点x0n, n1, nN * , 就n=.9. 求以下函数的零点：324（ 1）f xx2 xx2 ；（2）f xx.x10. 判定函数y x3 x 1 在区间 1,1.5 内有无零点,假如有,求出一个近似零点精确度 0.1【课堂练习】1、在以下区间中,函数1f xex4x 13 的零点所在的区间为（）1113A 、 ,04B、 0,4C、 ,42D 、 ,2 42、如x0 是方程 lg xx2 的解,就x0 属于区间（）A 、 0,1B、 1,1.25C、 1.25,1.75D、 1.75,23、以下函数中能用二分法求零点的是x4、函数 f x =2+3x 的零点所在的一个区间是（）A （ -2,-1）B、（ -1, 0）C、（ 0, 1）D、（ 1, 2）5、设函数 f x =4sin（ 2x+1） -x ,就在以下区间中函数f x 不存在零点的是（）A 、-4,-2B、-2,0C、0,2D、2,46、函数 fx=x - cos x 在0 ,内（）A 、没有零点B、有且仅有一个零点C、有且仅有两个零点D 、有无穷多个零点7、如函数f x 的零点与g x4 x2 x2的零点之差的肯定值不超过0.25,就f x可以是（）A 、 fx4x1B、 fx x12C、 fxex1D、 f xln x1228、以下函数零点不宜用二分法的是A 、 fxx38B 、 f xln x3C、 f xx22 x2D 、 f xx24 x19、函数 fx=log 2 x+2x-1 的零点必落在区间（）A 、 1 , 1B、 1 , 1C、 1 ,1D 、1,2844 22110、lg xx0 有解的区域是（）A 、 0, 1B、 1, 10C、 10, 100D 、 100,11、在以下区间中,函数f xex4x3 的零点所在的区间为（）A 、 1 ,041B、0,41 1C、,4 213D 、,2412、函数f xxlog 2x 的零点所在区间为（）1A 、0,x81 1B、, 8 41 1C、 , 421D、,1213 、 设 fx3 x3 x8 , 用 二 分 法 求 方 程 33x80在x1,2内 近 似 解 的 过 程 中 得f 10, f1.50, f1.250,就方程的根落在区间（）A 、 1,1.25B 、 1.25,1.5C、 1.5,2D 、不能确定14、设函数f x4sin2 x1x ,就在以下区间中函数f x不存在零点的是（）A 、4, 2B、2,0C、 0,2D、 2,415、函数f xx22x2ln3, xx, x00, 零点个数为（） A 、3B、2C、1D、016、如函数f xx3x22x2 的一个正数零点邻近的函数值用二分法运算,其参考数据如下：f 1 =2f 1.5 = 0.625f 1.25 = 0.984f 1.375 =0.260f 1.4375 = 0.162f 1.40625 = 0.054那么方程 x3x22x20 的一个近似根（精确到0.1）为 （）A 、1.2B 、1.3C、 1.4D、1.517、方程2 xx23 的实数解的个数为.18、已知函数f xx2a 21xa2 的一个零点比1 大,一个零点比 1 小,求实数 a 的取值范畴；19、判定函数f x4 xx22 x3 在区间 1,1 上零点的个数,并说明理由；320 、求函数f xx32 x23 x6 的一个正数零点 精确度 0.1【课后作业】1、以下函数图象与x 轴均有交点,但不宜用二分法求交点横坐标的是2、设f x3xx2 ,就在以下区间中,使函数f x 有零点的区间是A 、0,1B、1,2C、 2, 1D、 1,03、已知f x 唯独的零点在区间1,3 、 1,4 、 1,5 内,那么下面命题错误的（）A 、函数f x 在 1,2 或 2,3 内有零点B 、函数f x 在 3,5 内无零点C、函数f x 在 2,5 内有零点D 、函数f x 在 2, 4 内不肯定有零点4、如函数f xx33 xa 有 3 个不同的零点 ,就实数 a 的取值范畴是（）A 、2,2B 、2,2C、,1D、 1,5、函数f xx lnx 的零点所在的区间为（）A 、（ 1, 0）B、（ 0, 1）C、（ 1, 2）D、（ 1, e）6、求函数f x2x33x1 零点的个数为（）A 、1B 、 2C、 3D、 47 、 如 果 二 次 函 数y x2xm3有 两 个 不 同 的 零 点 , 就 m的 取 值 范 围 是（）A 、 114,B、 11,2C、 11,4D、 112,8、方程lg xx0 根的个数为（）A、无穷多B 、 3C、 1D、 09、用二分法求方程根在区间f x0 在1,2内近似解的过程中得f 10, f 1.50, f 1.250 f1<0 ,就方程的A 、1.25,1.5B、1,1.25C、1.5,2D、不能确定110、设函数 fx 3x lnxx 0,就 y fxA 、在区间 1, 1 , 1, e内均有零点B 、在区间11 , 1, e内均无零点e,e11C、在区间, 1 内有零点,在区间 1,e内无零点D 、在区间e, 1 内无零点,在区间 1,e内有零点e11、设函数12f xln xx 21x0 ,就函数yf xA 、在区间 0,1, 1,2内均有零点B、在区间 0,1内有零点,在区间1,2 内无零点C、在区间 0,1, 1,2内均无零点D、在区间 0,1内无零点,在区间1,2 内有零点12、用二分法讨论函数f xx33x1的零点时,第一次经运算f 00,f 0.50 ,可得其中一个零点x0,其次次应运算. 以上横线上应填的内容为A 、（ 0,0.5）,f 0.25 B、（ 0, 1）,f 0.25 C、（ 0.5, 1）,f 0.75 D、（ 0, 0.5）,f 0.12513、函数f x2 xx32 在区间 0,1内的零点个数是（）A 、0B、1C、2D、 314 、（ 已 知 函 数f xlog axxba0, 且a1. 当 2a34是 , 函 数f x的 零 点x0 n, n1 ,n* N就 n,=.15、用二分法求函数yf x 在区间 2,4上的近似解,验证f2f·4<0 ,给定精确度 0.01,取区间 2,4的中点 x1 2 423,运算得 f2f·x 1 <0,就此时零点x 0 16、已知函数f x 2x 1, x>0,x22x, x0, 如函数gx f x m 有 3 个零点,就实数m 的取值范畴是17、函数f xx 25x6 的零点组成的集合是.18、用 “二分法 ”求方程 x32 x50 在区间 2,3 内的实根,取区间中点为x02.5 ,那么下一个有根的区间是19、函数f xln xx2 的零点个数为.20、证明方程6 3x2x 在区间 1,2 内有唯独一个实数解,并求出这个实数解精确度 0.1【考纲说明】函数与方程2、 明白函数的零点与方程根的联系,能判定一元二次方程根的存在性及根的个数；3、 能够依据详细函数的图像,用二分法求出相应方程的近似解；【学问梳理】1、函数零点的定义（1） 对于函数 yf x,我们把方程f x0 的实数根叫做函数yf x的零点；（2） 方程f x0 有实根函数yf x的图像与 x 轴有交点函数yf x 有零点；因此判定一个函数是否有零点,有几个零点,就是判定方程f x0 是否有实数根,有几个实数根；函数零点的求法：解方程f x0,所得实数根就是f x 的零点（3） 变号零点与不变号零点如函数f x 在零点x 0 左右两侧的函数值异号,就称该零点为函数f x 的变号零点；如函数f x 在零点x 0 左右两侧的函数值同号,就称该零点为函数f x 的不变号零点；如函数f x在区间a,b 上的图像是一条连续的曲线,就f a f b0 是 f x 在区间a, b 内有零点的充分不必要条件；2、函数零点的判定（ 1）零点存在性定理：假如函数yf x 在区间 a, b 上的图象是连续不断的曲线,并且有f af b0 ,那么,函数 yf x 在区间a,b 内有零点,即存在x0a,b ,使得f x00 ,这个x0 也就是方程f x0 的根；（2） 函数 yf x 零点个数（或方程f x0 实数根的个数）确定方法 代数法：函数 yf x 的零点f x0 的根；（几何法）对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数找出零点；（3） 零点个数确定yf x 的图象联系起来,并利用函数的性质0yf x 有 2 个零点0yf x 有 1 个零点f xf x0有两个不等实根；0有两个相等实根；0yf x 无零点f x0 无实根；对于二次函数在区间a,b 上的零点个数,要结合图像进行确定.4、 二分法（1） 二分法的定义 :对于在区间 a, b 上连续不断且f af b0 的函数yf x ,通过不断地把函数yf x的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步靠近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法;（2） 用二分法求方程的近似解的步骤: 确定区间 a, b ,验证f af b0 ,给定精确度;求区间 a,b 的中点 c ;运算 如f c ;f c0 ,就 c 就是函数的零点 ; 如f af c0 ,就令 bc 此时零点x0a, c ; 如f cf b0 ,就令 ac 此时零点x0 c, b ;判定是否达到精确度,即 ab,就得到零点近似值为a 或 b ;否就重复至步 .【经典例题】【例 1】 函数f x=2 x +x32 在区间 0,1 内的零点个数是（）A 、0B 、1C、2D 、3【答案】 B【解析】解法 1：由于f 0=1+02=1 ,f 1=2+2 32=8 ,即f 0f 1<0 且函数f x 在 0,1 内连续不断,故f x 在 0,1 内的零点个数是 1.解法 2：设xy1 =2 ,y2 =2x3 ,在同一坐标系中作出两函数的图像如下列图：可知B 正确 .425102【例 2】 函数 f x 2x 3x 的零点所在的一个区间是A 、4 2, 1B 、1,0C、0,1D 、1,2【答案】 B【解析】 f 1 2 1 3× 1 56f 0 20 0 1>0,2<0, f8 1 f 0<0. fx 2x 3x 的零点所在的一个区间为 1,0【例 3】如函数【答案】（1,f x）axxa a0 且 a1有两个零点,就实数a 的取值范畴是.【解析】函数f x = axxa a0 且 a1 有两个零点,方程 a xxa0 有两个不相等的实数根,即两个函数 ya x 与 yxa 的图像有两个不同的交点,当0a1时,两个函数的图像有且仅有一个交点,不合题意；当a1时,两个函数的图像有两个交点,满意题意.【例 4】设函数 f x xR 满意 fx =fx,fx =f2x,且当 x0,1 时,fx= x3.又函数 gx= |xcos x |,就函数 hx=gx-fx在 13, 上的零点个数为（）22A 、5B、 6C、7D、 8【答案】 B【解析】由于当x0,1时, fx= x3. 所以当 x1,2 时, 2x0,1 ,f xf 2x2x3 ,当1 时,g xx cosx ；当13时, g xx cosx ,留意到函数fx、 gx都是x0,2x,22g偶函数,且 f0= g0, f1= g1 ,13g 0 ,作出函数 fx、 gx的大致图象,函数 hx 除了 0、2211131 这两个零点之外,分别在区间,0 、0,、,1 、1, 上各有一个零点,共有6 个零点,应选 B【例 5】函数f x22222x cos x 在区间 0,4 上的零点个数为（）A 、4B 、5C、6D 、7【答案】 C【解析】： fx=0 ,就 x=0 或 cosx22=k2=0,x+ ,k Z ,又 x 0,4 , k=0,1,2,3,4 ,所以共有 6 个解选 C【例 6】函数f xxcos x 在0, 内（）A 、没有零点B、有且仅有一个零点C、有且仅有两个零点D、有无穷多个零点【答案】 B【解析】解法一：数形结合法,令f xxcos x0 ,就xcos x ,设函数 yx 和 ycosx ,它们在 0, 的图像如下列图,明显两函数的图像的交点有且只有一个,所以函数f xxcosx 在0, 内有且仅有一个零点；解法二：在 x, 上,2x1 , cosx1,所以f xxcos x0 ；在 x0, ,2f x1sin x2x0 ,所以函数f xxcos x 是增函数,又由于f 01 ,f 20 ,所以2f xx cos x 在 x0, 上有且只有一个零点2【例 7】对实数 a 和 b,定义运算 “.”： a.ba,a b1,b, a b>1.设函数 f x x2 2. x x2 , x R ,如函数 y fx c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,就实数c 的取值范畴是24A 、 , 2 1,3B、 , 2 1, 3、C 1, 1 4【答案】 B1 , 4D、 1, 341 , 4x23x2 2, x2 2x x21, 2, 1x ,2【解析】 fxx x2, x2 2x x2>1x 2, x<1,或x>x 3, 2就 fx的图象如图 y fx c 的图象与 x 轴恰有两个公共点, y fx与 y c 的图象恰有两个公共点,由图象知 c2,或 1<c< 3.4【例8 】已知函数f（x）= log a xxba0,且 a1. 当 2 a 3 b 4 时,函数 f（x）的零点x0 n, n1, nN*就,n=.【答案】 5【解析】方程log a xxba0,且a1 =0的根为x0 ,即函数 ylog ax 2a3) 的图象与函数y xb3b4) 的 交 点 横 坐 标 为x, 且 x0n, n1) , nN *, 结 合 图 象 , 因 为 当x a 2a30时, y1 ,此时对应直线上y 1 的点的横坐标x1b4,5;当 y2 时, 对数函数 ylogax2a3的图象上点的横坐标x4,9,直线yxb3b4 的图象上点的横坐标x5,6,故所求的 n5 .【例 9】求以下函数的零点：（ 1）f xx32 x2x2 ；（ 2）f xx4 .x【答案】（ 1） 2,1, -1.（2） 2, -2.【解析】（ 1）由 x32 x2x20,x2 x2x20, x2 xx2或x1x1或x10,1.2故函数的零点是 2, 1, -1.（ 2） 由x40,得 x40, x2 x xxx20, x2 x20,x2或x=-2.故函数的零点是 2, -2.【例 10】判定函数 y x3 x 1 在区间 1,1.5 内有无零点,假如有,求出一个近似零点精确度 0.1【答案】 1.312 5【解析】 由于 f 1 1<0,f1.5 0.875>0 ,且函数 y x3 x 1 的图象是连续的曲线, 所以它在区间 1,1.5内有零点,用二分法逐次运算,列表如下：区间中点值中点函数近似值1,1.51.25 0.31.25,1.51.3750.221.25,1.3751.312 5 0.051.312 5,1.3751.343 750.08由于 |1.375 1.312 5| 0.062 5<0.1 ,所以函数的一个近似零点为1.312 5.【课堂练习】1、在以下区间中,函数1f xex4x13 的零点所在的区间为（）1 11 3A 、 ,04B、 0,4C、 ,4 2D 、 , 2 42、如x0 是方程 lg xx2 的解,就x0 属于区间（）A 、 0,1B、 1,1.25C、 1.25,1.75D、 1.75,23、以下函数中能用二分法求零点的是4、函数 f x =2 x +3x 的零点所在的一个区间是（）A （ -2,-1）B、（ -1, 0）C、（ 0, 1）D、（ 1, 2）5、设函数 f x =4sin（ 2x+1） -x ,就在以下区间中函数f x 不存在零点的是（）A 、-4,-2B、-2,0C、0,2D、2,46、函数 fx=x - cos x 在0 ,内（）A 、没有零点B、有且仅有一个零点C、有且仅有两个零点D 、有无穷多个零点7、如函数f x 的零点与g x4 x2 x2的零点之差的肯定值不超过0.25,就f x可以是（）A 、 fx4x1B、 fx x12C、 fxex1D、 f xln x128、以下函数零点不宜用二分法的是A 、 fxx38B 、 f xln x3C、 f xx222 x2D 、 f xx24 x19、函数 fx=log 2 x+2x-1 的零点必落在区间（）A 、 1 , 1B、 1 , 1C、 1 ,1D 、1,2844 22110、lg xx0 有解的区域是（）A 、 0, 1B、 1, 10C、 10, 100D 、 100,11、在以下区间中,函数f xex4x3 的零点所在的区间为（）A 、 1 ,041B、0,41 1C、,4 213D 、,2412、函数f xxlog 2x 的零点所在区间为（）1A 、0,x81 1B、, 8 41 1C、 , 421D、,1213 、 设 fx3 x3 x8 , 用 二 分 法 求 方 程 33x80在x1,2内 近 似 解 的 过 程 中 得f 10, f1.50, f1.250,就方程的根落在区间（）A 、 1,1.25B 、 1.25,1.5C、 1.5,2D 、不能确定14、设函数f x4sin2 x1x ,就在以下区间中函数f x不存在零点的是（）A 、4, 2B、2,0C、 0,2D、 2,415、函数f xx22x2ln3, xx, x00, 零点个数为（） A 、3B、2C、1D、016、如函数f xx3x22x2 的一个正数零点邻近的函数值用二分法运算,其参考数据如下：f 1 =2f 1.5 = 0.625f 1.25 = 0.984f 1.375 =0.260f 1.4375 = 0.162f 1.40625 = 0.054那么方程 x3x22x20 的一个近似根（精确到0.1）为 （）A 、1.2B 、1.3C、 1.4D、1.517、方程2 xx23 的实数解的个数为.