2022年有理数知识点及经典题型总结讲义.docx

一对一个性辅导一对一七年级数学老师辅导讲义课题第 1 讲有 理 数授课时间：备课时间：1 、把握有理数的分类 , 学会把有理数对应的点画在数轴上；2 、把握相反数、肯定值、倒数的求法 , 会比较有理数的大小；第 17 页,共 14 页教学目标3 、把握有理数的大小比较；4 、把握有理数的加减乘除幂的运算法就,并会敏捷解题；教学内容一、正数和负数正数和负数的概念负数：比 0 小的数正数：比 0 大的数0既不是正数,也不是负数留意：字母 a 可以表示任意数,当 a 表示正数时, -a 是负数；当 a 表示负数时, -a 是正数；当 a 表示 0 时, -a 仍是 0；（假如出判定题为：带正号的数是正数,带负号的数是负数,这种说法是错误的,例如+a,-a 就不能做出简洁判定）正数有时也可以在前面加“ +”,有时“ +”省略不写；所以省略“ +”的正数的符号是正号；2. 具有相反意义的量如正数表示某种意义的量,就负数可以表示具有与该正数相反意义的量,比如： 零上 8表示为： +8；零下 8表示为： -8 3.0 表示的意义0 表示“ 没有”,如教室里有 0 个人,就是说教室里没有人；0 是正数和负数的分界线, 0 既不是正数,也不是负数；练习一例1、 向北走 2000 米与向南走 1000 米,如规定向北走为正, 就向北走 2000 米可记作, 向南走 1000 米记作,原地不动课记作例2、 七年级一班第一小组五名同学某次数学测验的平均成果为 85 分,一名同学以平均成果为标准, 超过平均分记正,将五名同学的成果分别记作 15 分, 4 分, 0 分, 4 分, 15 分；这五名同学的实际成果分别是多少分？例3、 观看下面依次排列的一列数,请接着写出后面的数,你能说出第 15 个、第 101 个、第 2022 个的数是什么？1）、 1、 2、+3、 4、 5、+6、 7、 8、2）、 1、易错点：1 、 3、21 、 5、41 、 7、 1 、68、1） 误认为凡带正号的数就是正数,误认为凡带负号的数就是负数例： a 肯定是正数吗？2） 对于“ 0”的含义懂得不精确1例：以下说法错误选项（）A、0 是自然数B、0 是整数C、0 是偶数D、海拔 0 米表示没有海拔二、有理数1. 有理数的概念正整数、 0、负整数统称为整数（ 0 和正整数统称为自然数）正分数和负分数统称为分数正整数, 0,负整数,正分数,负分数都可以写成分数的形式,这样的数称为有理数；懂得：只有能化成分数的数才是有理数；是无限不循环小数,不能写成分数形式,不是有理数；有限小数和无限循环小数都可化成分数,都是有理数；留意：引入负数以后, 奇数和偶数的范畴也扩大了, 像-2,-4,-6,-8也是偶数, -1,-3,-5也是奇数；2. 有理数的分类 有理数的意义分类按正、负来分正整数正整数整数 0正有理数负整数正分数有理数有理数0（0 不能忽视） 正分数负整数分数负有理数负分数负分数总结： 正整数、 0 统称为非负整数（也叫自然数）负整数、 0 统称为非正整数正有理数、 0 统称为非负有理数负有理数、 0 统称为非正有理数练习二例 1、把以下各数填在相应的集合内：1, 4 错误. 未找到引用源；,-3 , 2, -1 ,-0.58 , 0, -3.14 ,错误. 未找到引用源；,0.618 ,10整数集合：分数集合：非负数集合：例 2、以下说法正确选项（）A 有理数分为正数和负数B有理数 -a 肯定表示负数C 正整数、正分数、负整数、负分数统称为有理数D有理数包括整数和分数数轴数轴的概念2规定了原点,正方向,单位长度的直线叫做数轴；留意：数轴是一条向两端无限延长的直线；原点、正方向、单位长度是数轴的三要素,三者缺一不行；同一数轴上的单位长度要统一；数轴的三要素都是依据实际需要规定的；2. 数轴上的点与有理数的关系全部的有理数都可以用数轴上的点来表示,正有理数可用原点右边的点表示,负有理数可用原点左边的点表示, 0 用原点表示；全部的有理数都可以用数轴上的点表示出来,但数轴上的点不都表示有理数,也就是说,有理数与数轴上的点不是一一对应关系； （如,数轴上的点不是有理数）3. 利用数轴表示两数大小在数轴上数的大小比较,右边的数总比左边的数大；正数都大于 0,负数都小于 0,正数大于负数；两个负数比较,距离原点远的数比距离原点近的数小；4. 数轴上特别的最大（小）数最小的自然数是 0,无最大的自然数；最小的正整数是 1,无最大的正整数；最大的负整数是 -1 ,无最小的负整数5.a 可以表示什么数a>0 表示 a 是正数；反之, a 是正数,就 a>0；a<0 表示 a 是负数；反之, a 是负数,就 a<0a=0 表示 a 是 0；反之, a 是 0, ,就 a=06. 数轴上点的移动规律依据点的移动,向左移动几个单位长度就减去几,向右移动几个单位长度就加上几,从而得到所需的点的位置；练习三3例 1、请画出一条数轴,并且在数轴上标出下面的有理数：3, -2 ,-3.5 , 2,0,+2,0.5.例 2、如下列图,在数轴上,点 A,B,C,D 依次表示 1.5 ,-2 ,2,-2.5 ；说出各点与原点的位置关系以及与原点的距离是多少个单位长度？D BA C-3-2-1-2.501231.5例 3、如图,数轴上所标出的点中,相邻两点间的距离相等,就点A 表示的数为（）A、30B、50C、60D、803例 5、如图,数轴的一部分被墨水污染,被污染的部分内含有的整数为 例 6、文具店、书店和玩具店一次坐落在一条笔直的东西走向的大街上,文具店位于书店西边20m处, 玩具店位于书店东边100m处；小明从书店沿街向东走了40m,接着又向东走了 60m,你知道此时小明的位置在哪吗？a例 7、有理数 a,b,c在数轴上的位置如下列图,求abcbc 的值c0ba四、相反数相反数只有符号不同的两个数叫做互为相反数,其中一个是另一个的相反数,0 的相反数是 0；留意：相反数是成对显现的；相反数只有符号不同,如一个为正,就另一个为负；0 的相反数是它本身；相反数为本身的数是0；2. 相反数的性质与判定任何数都有相反数,且只有一个；0 的相反数是 0；互为相反数的两数和为 0,和为 0 的两数互为相反数,即 a,b 互为相反数,就 a+b=03. 相反数的几何意义在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数,是互为相反数；互为相反数的两个数,在数轴上的对应点（ 0 除外）在原点两旁,并且与原点的距离相等；0 的相反数对应原点；原点表示 0 的相反数；说明：在数轴上,表示互为相反数的两个点关于原点对称；4. 相反数的求法求一个数的相反数,只要在它的前面添上负号“- ”即可求得（如： 5 的相反数是 -5 ）；求多个数的和或差的相反数是, 要用括号括起来再添 “- ”,然后化简（如；5a+b 的相反数是 -（5a+b）；化简得 -5a-b ）；求前面带“ - ”的单个数,也应先用括号括起来再添“- ”,然后化简 如： -5 的相反数是 - （-5 ）,化简得 55. 相反数的表示方法一般地,数 a 的相反数是 -a,其中 a 是任意有理数,可以是正数、负数或0；当 a>0 时, -a<0（正数的相反数是负数）当 a<0 时, -a>0（负数的相反数是正数） 当 a=0 时, -a=0,（0 的相反数是 0）考试常考：已知 a,b 互为相反数,立马要想到 a+b=0.6. 多重符号的化简多重符号的化简规律 : “+”号的个数不影响化简的结果,可以直接省略； “- ”号的个数打算最终化简4结果；即：“- ”的个数是奇数时,结果为负, “- ”的个数是偶数时,结果为正；如.练习四3 1 214 1 5 52例 1、有理数 3 的相反数是（）1（A） 31（B） 3（C）3（D）3例 2、a 的相反数是, -a的相反数是, 0 的相反数是例 3、如 a 和 b 互为相反数,就 a+b=例 4、假如 ab0 ,那么 a , b 两个实数肯定是（ ）A. 都等于 0B.一正一负C.互为相反数D.互为倒数例 5、假如 a 与 1 互为相反数,就 | a2 | 等于（）A2B 2C1D 1五、肯定值肯定值的几何定义一般地,数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做 a 的肯定值,记作 |a| ；2. 肯定值的代数定义一个正数的肯定值是它本身；一个负数的肯定值是它的相反数；0 的肯定值是 0.可用字母表示为：假如 a>0,那么 |a|=a ；假如 a<0,那么 |a|=-a ；假如 a=0,那么 |a|=0 ；可归纳为： a0, < > |a|=a（非负数的肯定值等于本身；肯定值等于本身的数是非负数；）a0,<> |a|=-a（非正数的肯定值等于其相反数；肯定值等于其相反数的数是非正数；）3. 肯定值的性质任何一个有理数的肯定值都是非负数,也就是说肯定值具有非负性；所以,a 取任何有理数,都有 |a|0；即 0 的肯定值是 0；肯定值是 0 的数是 0. 即： a=0 < > |a|=0；一个数的肯定值是非负数, 肯定值最小的数是 0. 即： |a| 0；任何数的肯定值都不小于原数；即： |a| a；肯定值是相同正数的数有两个,它们互为相反数；即：如|x|=a （a>0）,就 x=±a；互为相反数的两数的肯定值相等；即：|-a|=|a|或如 a+b=0,就|a|=|b|；肯定值相等的两数相等或互为相反数；即：|a|=|b|,就 a=b 或 a=-b ；如几个数的肯定值的和等于 0,就这几个数就同时为 0；即|a|+|b|=0,就 a=0 且 b=0；（非负数的常用性质：如几个非负数的和为0,就有且只有这几个非负数同时为0）4. 有理数大小的比较利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较,左边的总比右边的小；利用肯定值比较两个负数的大小：两个负数比较大小,肯定值大的反而小；异号两数比较大小,正5数大于负数；5. 肯定值的化简当 a0 时, |a|=a；当 a 0 时, |a|=-a6. 已知一个数的肯定值,求这个数一个数 a 的肯定值就是数轴上表示数 a 的点到原点的距离,一般地,肯定值为同一个正数的有理数有两个,它们互为相反数,肯定值为0 的数是 0,没有肯定值为负数的数；例 1. 已知 a=5, b=8, 且a+b= -a+b,试求 a+b 的值；练习 2. 已知 a=5, b=8, 且 ab = -ab, 试求 a+b 的值；有理数的加减法1. 有理数的加法法就同号两数相加,取相同的符号,并把肯定值相加；肯定值不相等的异号两数相加, 取肯定值较大的加数的符号, 并用较大的肯定值减去较小的肯定值；互为相反数的两数相加,和为零；一个数与零相加,仍得这个数；2. 有理数加法的运算律加法交换律： a+b=b+a加法结合律： a+b+c=a+b+c在运用运算律时,肯定要依据需要敏捷运用,以达到化简的目的,通常有以下规律：互为相反数的两个数先相加“相反数结合法”；符号相同的两个数先相加“同号结合法” ；分母相同的数先相加“同分母结合法” ；几个数相加得到整数,先相加“凑整法” ；整数与整数、小数与小数相加“同形结合法”；3. 加法性质一个数加正数后的和比原数大；加负数后的和比原数小；加0 后的和等于原数；即：当 b>0 时, a+b>a当 b<0 时, a+b<a当 b=0 时, a+b=a4. 有理数减法法就减去一个数,等于加上这个数的相反数；用字母表示为：a-b=a+-b ；5. 有理数加减法统一成加法的意义在有理数加减法混合运算中,依据有理数减法法就,可以将减法转化成加法后,再依据加法法就进行运算；在和式里,通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写,写成省略加号的和的形式；如：-8+-7+-6+5=-8-7-6+5.和式的读法：按这个式子表示的意义读作“负8、负 7、负 6、正 5 的和”6按运算意义读作“负8 减 7 减 6 加 5”6. 有理数加减混合运算中运用结合律时的一些技巧： . 把符号相同的加数相结合（同号结合法）-33-18+-15-+1+23原式=-33+18+-15+-1+23（将减法转换成加法）=-33+18-15-1+23（省略加号和括号）=-33-15-1+18+23（把符号相同的加数相结合）=-49+41（运用加法法就一进行运算）=-8（运用加法法就二进行运算）. 把和为整数的加数相结合（凑整法）+6.6+-5.2-3.8+-2.6-+4.8原式=+6.6+-5.2+3.8+-2.6+-4.8（将减法转换成加法）=6.6-5.2+3.8-2.6-4.8（省略加号和括号）=6.6-2.6+-5.2-4.8+3.8（把和为整数的加数相结合）=4-10+3.8（运用加法法就进行运算）=7.8-10（把符号相同的加数相结合,并进行运算）=-2.2（得出结论）. 把分母相同或便于通分的加数相结合（同分母结合法）- 3 -51 + 3 -242 + 1 - 7528原式=-3 - 2 +-1 + 1 +3 - 7 5=-1+0-522481 =-1 188. 既有小数又有分数的运算要统一后再结合（先统一后结合）+0.125-33 +-341 -1082 -+1.253原式=+ 1 +383 +-341 +1082 +-11 34=1 +3 3 -3841 +10 2 -1 1834=313 -141 +421 -381 +10 283=2-3+1023=-3+13=10 16. 把带分数拆分后再结合（先拆分后结合）-3 15+106 -12111 +4 722157原式=-3+10-12+4+-1 + 7 +5156 -1 1122=-1+4 + 111522=-1+8 + 153030= -730. 分组结合2-3-4+5+6-7-8+9 +66-67-68+69原式=2-3-4+5+6-7-8+9+66-67-68+69=0. 先拆项后结合（1+3+5+7+99）- （2+4+6+8+100）有理数的乘除法1. 有理数的乘法法就法就一：两数相乘,同号得正,异号得负,并把肯定值相乘；（“同号得正,异号得负”专指“两数相乘”的情形,假如因数超过两个,就必需运用法就三）法就二：任何数同 0 相乘,都得 0；法就三：几个不是 0 的数相乘,负因数的个数是偶数时,积是正数；负因数的个数是奇数时,积是负数；法就四：几个数相乘,假如其中有因数为0, 就积等于 0.2. 倒数乘积是 1 的两个数互为倒数,其中一个数叫做另一个数的倒数,用式子表示为a·1 =1（ a 0）,就是a说 a 和1 互为倒数,即aa 是 1 的倒数,a1 是 a 的倒数；a留意： 0 没有倒数；求假分数或真分数的倒数,只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可；求带分数的倒数时,先把带分数化为假分数,再把分子、分母颠倒位置；正数的倒数是正数,负数的倒数是负数； （求一个数的倒数,不转变这个数的性质） ；倒数等于它本身的数是 1 或-1, 不包括 0；考试常常考：已知 a,b 互为倒数,立马要想到 ab=1.例 2. 已知 a,b 互为相反数, c, d 互为倒数, x 的肯定值为 5试求下式的值：x 2abcdab1998cd19993. 有理数的乘法运算律8乘法交换律：一般地,有理数乘法中,两个数相乘,交换因数的位置,积相等；即ab=ba乘法结合律：三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积相等；即abc=abc.乘法安排律：一般地,一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,在把积相加；即 ab+c=ab+ac4. 有理数的除法法就（1） 除以一个不等 0 的数,等于乘以这个数的倒数；（2） 两数相除,同号得正,异号得负,并把肯定值相除；0 除以任何一个不等于 0 的数,都得 05. 有理数的乘除混合运算（1） 乘除混合运算往往先将除法化成乘法,然后确定积的符号,最终求出结果；（2） 有理数的加减乘除混合运算,如无括号指出先做什么运算,就依据先乘除,后加减的次序进行；练习 3. 快速运算（133156-减法没有结合律 .（2） 32 51 4-除法没有结合律 .（3） 608 4-除法没有安排律 .（4） 621 3-同一级运算时肯定要从左向右.有理数的乘方1. 乘方的概念求 n 个相同因数的积的运算,叫做乘方,乘方的结果叫做幂；在2. 乘方的性质（1） 负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂的正数；（2） 正数的任何次幂都是正数, 0 的任何正整数次幂都是 0；a n中, a 叫做底数, n 叫做指数；9练习 4：运算：2 2322 22232322312022练习 5 n 为正整数时, 1 n+ 1 n1 的值是（）2A2B-2C0D不能确定22练习 6：1. 运算：14148的值；2.已知 x2y40 ,求 xy练习 7：观看以下算式发觉规律： 717 ,7 249 ,734343 , 72401,7 516807 ,7 6117649,用你所发觉的规律写出：72022 的末位数字是；练习 8：某校初一年级共有 8 个班,以每班 65 人为标准, 超过的人数记为正数, 不足的人数记为负数, 统计情形记录如下： -1 ,-6 ,+2, -3 ,+4,0,-7 ,+3,求该校初一年级总人数；有理数的混合运算做有理数的混合运算时,应留意以下运算次序：1. 先乘方,再乘除,最终加减；2. 同级运算,从左到右进行；3. 如有括号,先做括号内的运算,按小括号,中括号,大括号依次进行；科学记数法把一个大于 10 的数表示成na10 的形式（其中 1a10 , n 是正整数）,这种记数法是科学记数法；2如: 地球上的陆地面积约为149 000 000km ,用科学记数法表示为；第 1 讲作业一填空题1. 7的相反数为 ,相反数等于本身的数为2. 已知 x3y1xy>0,就 xy= ,2= ,且2103x 与 2 12的差为 12,就 x=4. 近似数 1.50 精确到,78950 用科学记数法表示为5. 按规律写数 12, 14, 1 , 1816,第 6 个数是二、挑选题1. 以下说法正确选项（）A. 最小的有理数是 0；B. 最大的负整数是 1；C. 最小的自然数是 1；D. 最小的正数是 1.2. 以下说法正确选项（）A. 两个有理数的和为零,就这两个有理数都为0；B. 两个有理数的和肯定大于其中任何一个加数；C. 两个有理数的和为正数,就这两个数中至少有一个加数是正数；D. 两个有理数的和为负数,就这两个数肯定都是负数.3. 以下说法正确选项（）A. 一个正数减去一个负数,结果是正数；B. 零减去一个数肯定是负数；C. 一个负数减去一个负数,结果是负数；D. “ 2 3”读作“负 2 减负 3”4. 以下说法正确选项（）A. n 个有理数相乘,当因数是奇数个时,积为负；B. n 个有理数相乘,当正因数有奇数个时,积为负；C. n 个有理数相乘,当负因数有奇数个时,积为负；D. n 个有理数相乘,当积为负时,负因数有奇数个.5. 以下说法正确选项（）A. 相反数是本身的数是 1 和 0；B. 倒数是本身的数是 1 和 0；C. 肯定值是 本身的数是 0 和正数；D. 平方等于 64 的数是 8.6、已知字母 a 、 b 表示有理数,假如 a + b =0,就以下说法正确选项（）A .a 、 b 中肯定有一个是负数B.a 、 b 都为 0C.a 与 b不行能相等D.a 与 b 的肯定值相等7、一个数的平方为 16,就这个数是（）A. 4 或 4B.4C.4D.8 或 88、肯定值大于 2 且小于 5 的全部整数的和是（）A. 7B.7C. 0D. 511310、4等于（）A 12B.12C.64D.6411、数轴上的点 A、B、C、D 分别表示数 a、b、c、d,已知 A 在 B 的右侧, C 在 B 的左侧, D 在 B、C之间,就以下式子成立的是（）A、a<b<c<dB、b<c<d<aC、c<d<b<aD、c<b<d<a12、如 x 为有理数,就 xx 必是 （）A、非正数B、非负数C、0D、正数13、以下各语句中正确选项（）A、如 a>-0.5 ,就 a 是正数B、如 a <0,就 aaC、如 ab ,就 abD、如 ab ,就 ab14、a, b, c 三个数在数轴上的位置如下列图,就以下结论中错误选项（）A、a+b<0B、a+c<0C、a-b>0D、b-c<三、运算1、5.5 +3.22.54.82、8 25 0.023 、152957612364、11132125 、 2 +316、 823243187、 1111232114311000199912四、解答题1假如 a 、b 互为相反数, c 、d 互为倒数, y1 没有倒数, x1 的肯定值等于 2那么代数式 2 | ab |cdx y1ab1) 的值是多少？请你求出来2、已知 | a2 |与|b3 |互为相反数,求3a2b 的值；3、已知abca、b、c均为非零的有理数,且abc1,求abc的值；abc4“ ”代表一种新运算,已知 abab ,求 xy 的值其中 x 和 y 满意方程 x ab1 22|13 y |0 五、某地探空气球的气象观测资料说明,高度每增加1 千米,气温大约降低 6；如该地地面温度为21,高空某处温度为 39,求此处的高度是多少千米？六、找规律：以下数中的第 2003 项是多少？ 2004 项呢？第 n 个呢？1, 2,3, 4,5, 6· · ··13七、下表记录的是流花河今年某一周内的水位变化情形,上周末（星期六）的水位已达到戒备水位33米；（正号表示水位比前一天上升,负号表示水位比前一天下降）本周哪一天河流的水位最高？哪一天河流的水位最低？它们位于戒备水位之上仍是之下？与上周末相比 , 本周末河流的水位是上升了仍是下降了？以戒备水位作为零点,用折线统计图表示本周的水位情形；星期日一二三四五六水位变化（米）0.2+0.8-0.4+0.2+0.3-0.5-0.2水位变化（米）解：10.80.60.40.20日 一 二 三 四 五 六星期14