2022年李庆扬数值分析第五版第5章习题测验答案.docx

精品学习资源第 5 章复习与摸索题1、用高斯消去法为什么要选主元？哪些方程组可以不选主元？欢迎下载精品学习资源答：使用高斯消去法时，在消元过程中可能显现ka0kk的情形，这时消去法无法进行；即欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源akk时主元素k0 ，但相对很小时，用其做除数，会导致其它元素数量级的严峻增长和舍入欢迎下载精品学习资源误差的扩散， 最终也使得运算不精确； 因此高斯消去法需要选主元，以保证运算的进行和运算的精确性；当主对角元素明显占优（远大于同行或同列的元素）时，可以不用挑选主元；运算时一般挑选列主元消去法；2、高斯消去法与LU 分解有什么关系？用它们解线性方程组Ax = b 有何不同？ A 要满意什么条件？答：高斯消去法实质上产生了一个将A分解为两个三角形矩阵相乘的因式分解，其中一个为上三角矩阵U，一个为下三角矩阵L；用 LU 分解解线性方程组可以简化运算，削减运算量，提高运算精度；A 需要满意的条件是，次序主子式（1,2， ，n -1）不为零；3、楚列斯基分解与LU 分解相比，有什么优点？楚列斯基分解是 LU 分解的一种，当限定下三角矩阵L 的对角元素为正时，楚列斯基分解具有唯独解；4、哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法运算稳固？ 具有对称正定系数矩阵的线性方程可以使用平方根法求解；平方根法在分解过程中元素的数量级不会增长，切对角元素恒为正数， 因此， 是一个稳固的算法；5、什么样的线性方程组可用追逐法求解并能保证运算稳固？ 对角占优的三对角方程组6、何谓向量范数？给出三种常用的向量范数；向量范数定义见 p53，符合 3 个运算法就；正定性齐次性三角不等式设 x 为向量，就三种常用的向量范数为：（第 3 章 p53,第 5 章 p165）欢迎下载精品学习资源| x |1n| xi |i 1欢迎下载精品学习资源n122| x |2xi i 1| x |max | xi |1 i n7、何谓矩阵范数？何谓矩阵的算子范数？给出矩阵A = ai j 的三种范数 |A| 1，|A| 2，|欢迎下载精品学习资源A| ，|A| 1 与|A| 2 哪个更简单运算？为什么？ 向量范数定义见 p162，需要满意四个条件；正定条件 齐次条件 三角不等式相容条件矩阵的算子范数有| A |1| A |2| A |欢迎下载精品学习资源从定义可知，| A |1更简单运算；欢迎下载精品学习资源8、什么是矩阵的条件数？如何判定线性方程组是病态的？欢迎下载精品学习资源答：设 A 为非奇特阵，称数condA vA 1A（ vvv1,2,）为矩阵 A 的条件数欢迎下载精品学习资源当 condA . 1 时，方程是病态的；9、满意下面哪个条件可判定矩阵接近奇特？（1） 矩阵行列式的值很小；（2） 矩阵的范数小；（3） 矩阵的范数大；（4） 矩阵的条件数小；（5） 矩阵的元素肯定值小；接近奇特阵的有（1）、（ 2）注：矩阵的条件数小说明A 是良态矩阵；矩阵的元素肯定值小，不能说明行列式的值小等；10、判定以下命题是否正确：（1） 只要矩阵 A 非奇特，就用次序消去法或直接LU 分解可求得线性方程组Ax = b 的解；答：错误，主元位置可能为0，导致无法运算结果；（2） 对称正定的线性方程组总是良态的；答：正确；（3） 一个单位下三角矩阵的逆仍为单位下三角矩阵；答：正确；（4） 假如 A 非奇特，就 Ax = b 的解的个数是由右端向量b 的打算的；答：正确；说明：如A|b 与 A 的秩相同，就 A 有唯独解；如不同，就A 无解；（5） 假如三对角矩阵的主对角元素上有零元素，就矩阵必奇特；（6） 范数为零的矩阵肯定是零矩阵；答：正确；（7） 奇特矩阵的范数肯定是零；欢迎下载精品学习资源答：错误， .可以不为 0；（8）假如矩阵对称，就 |A|1 = | A| ；答：依据范数的定义，正确；（9）假如线性方程组是良态的，就高斯消去法可以不选主元；答：错误；对于病态方程组，选主元对误差的降低没有影响；（11） |A |1 = |AT | ；答：依据范数的定义，正确；（12）如 A 是 nn 的非奇特矩阵，就cond Acond A 1 ；答：正确； A 是 nn 的非奇特矩阵，就A 存在逆矩阵；cond AA . A 1依据条件数的定义有：cond A1 A. A11 1A 1. AA . A 1答：错误，不选主元时，可能除数为0；（10）在求解非奇特性线性方程组时，小；即使系数矩阵病态，用列主元消去法产生的误差也很欢迎下载精品学习资源1、设 A 是对称阵且a11习题0，经过高斯消去法一步后，A 约化为a11Ta1，证明A2 是对欢迎下载精品学习资源称矩阵；证明：设对称矩阵 Aa11a12.a1n a12a22.an 20A2，就经过 1 次高斯校区法后，有欢迎下载精品学习资源.欢迎下载精品学习资源a11a0aa1na12a12a2 na.annaa1naa1n a欢迎下载精品学习资源A1221211n21211欢迎下载精品学习资源.欢迎下载精品学习资源0a110aa2n a12a12a1n a11aa12.a.aann a1na12a1n a11aa12欢迎下载精品学习资源a221211n21n11欢迎下载精品学习资源.欢迎下载精品学习资源0aa1n a.aa1n a欢迎下载精品学习资源an 21211nn1 n11欢迎下载精品学习资源a所以 aT a.a112n 2欢迎下载精品学习资源aa12 a.aa12 a欢迎下载精品学习资源a221211n21n11欢迎下载精品学习资源aA2.欢迎下载精品学习资源aa1 n a.aa1n a欢迎下载精品学习资源n 212a11所以 A2 为对称矩阵；nn1na11欢迎下载精品学习资源2、设 A 是对称正定矩阵，经过高斯消去法一步后，A 约化为 A aij n ，其中 Aaij n ，欢迎下载精品学习资源aA22ijn 1 ；欢迎下载精品学习资源证明：（ 1）A 的对角元素aii0i1,2,L, n ；（ 2）A2 是对称正定矩阵；欢迎下载精品学习资源（ 1）依次取 xi0,0,0,1,0,i,0 T ,i1,2, n ，就由于 A 是对称正定矩阵，欢迎下载精品学习资源所以有a iix T Ax0 ；欢迎下载精品学习资源（ 2）A2 中的元素满意 2 aijaijai1 a1 j,a11i , j2,3, n ，又由于 A 是对称正定欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源矩阵，满意aija ji ,i , j1,2, n ，所以 2aijaijai 1a1 ja11a jia1i a j1a11 2 a，ji欢迎下载精品学习资源即 A2 是对称矩阵；欢迎下载精品学习资源3、设Lk 为指标为 k 的初等下三角矩阵 （除第 k 列对角元以下元素外，Lk 和单位阵 I相同），欢迎下载精品学习资源即1.1Lkm1k 1,k.mn, k1欢迎下载精品学习资源求证当矩阵；i, jk 时， ±LkI ij Lk I ij也是一个指标为 k 的初等下三角矩阵，其中I ij为初等置换欢迎下载精品学习资源4、试推导矩阵A 的 Crout 分解 A=LU 的运算公式，其中L 为下三角矩阵， U 为单位上三角矩阵；此题不推导；参见书上例题；P147 页；5、设 Uxd，其中 U 为三角矩阵；（1） 就 U 为上及下三角矩阵推导一般的求解公式，并写出算法（2） 运算解三角方程组 Uxd 的乘除法次数欢迎下载精品学习资源（3） 设 U 为非奇特矩阵，试推导求U1 的运算公式欢迎下载精品学习资源此题考查求解公式的一般方法，可从第 n 个元素开头， 逐步运算 n-1, 1时对应的求解公式；解法，略；6、证明：欢迎下载精品学习资源T（1） 假如 A是对称正定矩阵，就A 1 也是对称正定矩阵欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源（2） 假如 A 是对称正定矩阵，就A 可以唯独地写成AL L ，其中 L 是具有正对角元的下欢迎下载精品学习资源三角矩阵均是对称正定矩阵的性质；应予以记住；7、用列主元消去法解线性方程组欢迎下载精品学习资源12x118x13x23x23x315x315欢迎下载精品学习资源x1x2x36并求出系数矩阵 A 的行列式的值1233A1831111欢迎下载精品学习资源A| b1233151831151116欢迎下载精品学习资源使用列主元消去法，有123315欢迎下载精品学习资源A| b1831151116欢迎下载精品学习资源18311512331511161831157015307173161861831150717316186701531831150717316186006666217A 的行列式为 -66欢迎下载精品学习资源方程组的解为X1=1,x2=2,x3=38、用直接三角分解（ Doolittle 分解）求线性方程组的解欢迎下载精品学习资源1 x1 x1 x9欢迎下载精品学习资源123456欢迎下载精品学习资源1 x1 x1 x8欢迎下载精品学习资源3 141x1x222532x38欢迎下载精品学习资源此题考查 LU 分解；解：115611451200101111561113609014A13121L131214U000957540欢迎下载精品学习资源9、用追逐法解三对角方程组Axb ，其中欢迎下载精品学习资源2112A01000000011000210， b0 ；12100120欢迎下载精品学习资源解：追逐法实际为LU 分解的特别形式；设U 为、单位上三角矩阵；有（1） 运算i 的递推公式欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源1 c1/ b11/ 20.5欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2 c2/ b2a211/ 2 10.52 / 3欢迎下载精品学习资源3c3 / b3a321/ 212 / 33 / 44c4 / b4（2）解 Ly=fa431/ 213 / 44 / 5y1f1 / b11/ 2y2 f2a2 y1 / b2a21011/ 2 / 210.51/ 3y3 f3a3 y2 / b3a32 011/ 3 / 212 / 31/ 4y4 f4a4 y3 / b4a43 011/ 4 / 213 / 41/ 5y5 f5a5 y4 / b5a54 011/ 5 / 214 / 51/ 6（3）解 UX=yx5y51/ 6x4y44 x51/ 54 / 51/ 61/ 3x3y33x41/ 43 / 41/ 31/ 2x2y22 x31/ 3 2 / 31/ 22 / 3x1y11x221/ 22 / 35 / 610、用改进的平方根法解方程组211x14123x25 ；131x36此题明确要求使用平方根法进行求解；实际考查的LDU分解；见 P157欢迎下载精品学习资源12x10 , x 97 , x3923 ；9欢迎下载精品学习资源11、以下矩阵能否分解为LU （其中 L 为单位下三角阵，U 为上三角阵）？如能分解，那么分解是否唯独；欢迎下载精品学习资源12A244631 ， B 7111221 ， C3311262515；61546欢迎下载精品学习资源LU 分解存在的条件一个可逆矩阵可以进行LU 分解当且仅当它的全部子式都非零；假如要求其中的L 矩阵（或U 矩阵）为单位三角矩阵，那么分解是唯独的；同理可知，矩阵的LDU 可分解条件也相同， 并且总是唯独的；即使矩阵不行逆， LU 仍旧可能存在；实际上，假如一个秩为k 的矩阵的前k 个次序主子式不为零，那么它就可以进行LU 分解，但反之就不然；解：由于 A 的一、二、三阶次序主子式分别为1，0，-10 ，所以 A不能直接分解为三角阵的乘积，但换行后可以；由于 B 的一、二、三阶次序主子式分别为1，0，0，所以 B不能分解为三角阵的乘积；由于 C的一、二、三阶次序主子式分别为1，5，1，所以 C能够分解为三角阵的乘积，并且分解是唯独的；12、设0.60.5A，0.10.3运算 A 的行范数，列范数， 2- 范数及 F- 范数；此题考查的是矩阵范数的定义及求法行范数 0.6+0.5=1.1列范数 0.5+0.3=0.82- 范数的运算需要用到特点值，特点值的运算可以使用幂法进行运算，也可以直接求；AT A 的最大特点值为 0.3690所以 2- 范数为 0.6074F- 范数 0.842613、求证：欢迎下载精品学习资源（a） xx 1n x；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源1（b） A FnA 2A F ；欢迎下载精品学习资源依据定义求证；欢迎下载精品学习资源xmax xinx 1xin max xin x；欢迎下载精品学习资源1 i ni 11 i n欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源12n A F1nn i , j2aij1欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2pA 2max AT A欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源14、设 PRn n 且非奇特，又设x 为 Rn 上一向量范数，定义xPx ；试证明x p 是欢迎下载精品学习资源nR 上向量的一种范数；依据向量范数的定义来证明：要求就有正定性，齐次性，三角不等式等性质；欢迎下载精品学习资源x明显pPx0 ， cx pPcxc Pxc x p 、欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源x1x2 pP x1x2Px1Px2Px1Px2x1 px2 p，从而x是Rn欢迎下载精品学习资源p上向量的一种范数；欢迎下载精品学习资源15、设 An nR为对称正定，定义欢迎下载精品学习资源1nAx Ax, x 2 ，欢迎下载精品学习资源试证明x A 是 R 上向量的一种范数；欢迎下载精品学习资源依据向量范数的定义来证明：T要求就有正定性，齐次性，三角不等式等性质；欢迎下载精品学习资源明显 x A1 Ax, x2x Ax0 ，欢迎下载精品学习资源11欢迎下载精品学习资源cx A Acx,c x 2c2 xT Axc Ax, x 2c x A欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源xx Axx, xx1 2 xxT A xx 欢迎下载精品学习资源12 A12121212欢迎下载精品学习资源x T Axx T Axxx11221 A2 A欢迎下载精品学习资源116、设 A 为非奇特矩阵，求证1Aymin；欢迎下载精品学习资源由于 A 1maxA 1 xAmaxy 0A 1xyy1max，欢迎下载精品学习资源x 0xx 0AA 1 xy A 1x 0AyAymin欢迎下载精品学习资源所以得证1minAyy 0y欢迎下载精品学习资源A 1y 0y欢迎下载精品学习资源17、矩阵第一行乘以一数，成为此题考查条件数的运算2A，证明当112 时， cond A 3有最小值；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源cond AA 1A欢迎下载精品学习资源第一运算 A 的逆阵欢迎下载精品学习资源11A 112欢迎下载精品学习资源A2| 3|2|3| 3|2 ，当23 ，取得最小值为2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源A 11|2|，当取值越大，就最小值为2欢迎下载精品学习资源从而 cond AA 1A 12 max 3,2，欢迎下载精品学习资源又当2 时，3欢迎下载精品学习资源cond A 12max 3,2 3227 ；2欢迎下载精品学习资源当2 时，3欢迎下载精品学习资源cond A 12max 3,2 12 3367 ；欢迎下载精品学习资源综上所述，cond A7 时最小，这时2 ，即2 ；33欢迎下载精品学习资源10099欢迎下载精品学习资源18、设A，运算 A的条件数cond A vv2,欢迎下载精品学习资源9910099由 A999898可知， A 1989999100，从而欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源 A 1 T A 1989998991009999100194051960219602，19801欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源由I A1 T A 11940519602196021980123920610 ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源AT A100999998100999998198011960219602，19405欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源由IAT A1980119602196021940523920610 ，欢迎下载精品学习资源可得A 2A1219603384277608 ，从而cond A 2A12A 21960338427760839206 ；A 1199， A199 ，从而 cond AA 1A19919939601；19、证明：假如 A 是正交矩阵，就cond A 21如 A 是 正 交 阵 ， 就 A 1AT， 从而 AT AI ， A1 T A1AA1I ， 故A 2A1121， cond A 2A2A 21；20、设 A, BRn n ，且 . 为 Rnn 上矩阵的算子范数，证明：cond ABcond Acond Bcond AB AB1ABB1 A 1ABB1A 1AB A1A B1B cond Acond B21、设 Axb ，其中 A 为非奇特矩阵，证明：（1） AT A为对称正定矩阵；（2） cond AT Acond A 22x AT Ax AxT Axb 20 ，所以 AT A为对称正定矩阵；cond A 22max AT Amin AA T由于 A A为对称正定矩阵，所以TA ATAAT欢迎下载精品学习资源cond AT AAT A AT A1222max AT AT AT Amin AT A AT AT max AAT T AT Amin AAT AT AT 就max AT AAT A min AAT AAT max AT A2 min AAT 2max AT Amin AAT cond A 22欢迎下载