2022年变化率与导数3导数的几何意义.docx

1 1.3导数的几何意义错误 .教材分析本节课是在学习了变化率、导数概念等学问的基础上，结合函数图象来争论导数的几何意义，是导数概念的延长，是导数学问的重要内容探究和懂得导数的几何意义，就是从几何的角度分析问题，利用割线和切线的辩证关系，通过逐步靠近的方法和“以直代 曲”思想的运用，在给切线以新的定义的同时，产生了导数的几何意义本节的学习为争论变量和函数供应了重要的方法，为今后学习函数单调性制造了条件课时安排1 课时 教案目标1. 学问与技能目标通过试验探究，懂得导数的几何意义，体会导数在刻画函数性质中的作用2. 过程与方法目标培育同学分析、抽象、概括等思维才能；通过“以直代曲”思想的详细运用，使同学达到思维方式的迁移，培育同学科学的思维习惯3. 情感、态度与价值观渗透靠近和“以直代曲”思想，能激发同学的学习爱好，培育同学不断发觉、探究新学问的精神，引导同学从有限中熟悉无限，体会量变和质变的辩证关系，感受数学思想方法的魅力重点难点重点：导数的几何意义及“数形结合，以直代曲”的思想方法 难点：发觉、懂得及应用导数的几何意义错误 .错误 .提出问题：平面几何中，我们怎样判定一条直线是否是圆的切线？学情猜测：同学肯定回答：与圆只有一个公共点的直线就叫做圆的切线提出问题：能否将它推广为一般曲线的切线定义？直线与曲线只有一个公共点就是相切吗？学情猜测：同学可能无从入手，老师可通过帮忙同学回忆以前学过的曲线与切线来引导活动设计：老师引导同学，举例如下：10 / 7活动成果：师生共同得出如下结论：有些曲线虽然和直线只有一个交点，但不是相切而是相交，有些曲线在某点处和直线相切，但整体上却和直线有多个交点所以，对于一般曲线，我们必需重新寻求曲线切线的定义提出问题：曲线在一点处的切线应当怎样定义呢？ 活动设计：老师演示多媒体结论： 当点 B 沿曲线趋近于点A 时，割线 AB绕点 A 转动，它的最终位置为直线AD ，这条直线 AD 叫做此曲线在点 A 处的切线 设计意图中学平面几何中有圆的切线的定义：直线和圆有唯独公共点时，叫做直线和圆相 切这时，直线叫做圆的切线，唯独的公共点叫做切点但是，圆是一种特别的曲线，这种定义并不适用于一般曲线的切线，如上面的例子这样，同学对于切线的熟悉产生了疑问，也就激发了同学的探究欲望错误 .提出问题：导数的概念及其本质是什么？写出它的表达式活动设计：一位同学板书，其他同学在练习本上写出，老师订正如下： 导数 f x 0>的本质是函数fx> 在 x x 0 处的瞬时变化率，即 f x 0>错误 . .老师：导数的本质是从代数数> 的角度来诠释，如从图形形>的角度来探究导数的几何意义，应从哪儿入手呢？试回忆求导数f x 0>的基本步骤同学：求导数 f x 0>的基本步骤分三步：第一步：求 y；其次步：求平均变化率错误 . ；第三步：当 x趋近于 0 时，平均变化率 错误 . 无限趋近于的常数就是f x 0>老师：如从“形”的角度探究导数的几何意义，是否也可以分下面三个步骤？第一步： y的几何意义是当 x 0x与 x 0 所对应的函数值的差量，即纵坐标之差；其次步：平均变化率 错误 . 的几何意义是割线AB 的斜率其中Ax 0， fx 0>>， Bx 0 x， fx 0 x>>；第三步： x0 时，割线 AB有什么变化？x 0， Bx 0 x， fx 0 x>> Ax 0 ，fx 0>>，当 x 0 时， A ， B 之间的差距越来越小老师：结合前面的多媒体演示，你有什么发觉？同学：既然平均变化率错误 . 的几何意义是割线AB 的斜率，那么当x0 时，割线AB 的斜率逐步变为曲线fx> 上过 A 点的切线的斜率老师：当x 0 时，割线 AB 有一个无限趋近的确定位置，这个确定位置上的直线叫做曲线在 x x0 处的切线活动成果：师生共同得出如下结论：当 x0 时，割线 AB 切线 AD ，就割线 AB 的斜率切线 AD 的斜率即f x 0>错误 . 切线 AD 的斜率，所以，函数 fx> 在 x x 0 处的导数 f x 0>的几何意义就是函数fx> 的图象在 x x 0 处的切线 AD 的斜率设计意图通过复习回忆、分析争论、动手实践，使同学经受探究“导数的几何意义”的建构过程，从而精确懂得“导数的几何意义”，把握“数形结合，类比探讨”的数学思想方法错误 .提出问题：已知 fx> x 2，求曲线 y fx> 在 x2 处的切线的斜率活动设计：同学先独立摸索，再自由发言，老师点评，然后要求同学在练习本上写出过程活动成果：思路分析： 为求得过点 2,4> 的切线的斜率，可从经过点2,4>的任意一条直线割线 >入手解： 设 P2,4>， Q2 x， 2 x>2>，就割线 PQ 的斜率 k PQ错误 . 4 x.当 x无限趋近于 0 时， kPQ 无限趋近于常数 4，即 f 2> 4 x> 4.从而曲线 y fx> 在点 P2,4>处的切线斜率为 4.结合详细函数，懂得导数的几何意义，会求过曲线上一点的切线的斜率设计意图错误 .例 1 求曲线 y fx> x 2 1 在点 P1,2>处的切线方程思路分析： 求切线方程，在知道切点的情形下，求出过点P 的切线斜率即可 解： k错误 . 错误 . 2 x> 2.因此，所求切线方程为y 2 2x 1> ，即 y2x.点评： 利用导数求切线方程，是导数几何意义的重要应用求曲线在某点处的切线方程的基本步骤：求出 P 点的坐标；求出函数在点x 0 处的变化率f x 0>错误 . k，得到曲线在点 x 0， fx 0>>的切线的斜率；利用点斜式求出切线方程例 2 已知曲线 y 错误 . x3 上的一点 P2， 错误 . >，求： 1>点 P 处切线的斜率； 2> 点 P处的切线方程思路分析： 此题是例题的巩固和延长，基本方法一样，但在解读式的化简上有难度 解： 1>k 错误 . 错误 .126x x2> 4.2>因此，所求切线方程为y 错误 . 4x 2> ，即 12x 3y 160.点评： 利用导数的几何意义求斜率、求切线方程的基本方法和步骤比较固定，但因函数的不同，运算难度也不同，待学习完导数公式后，此类问题运算难度将大幅度降低例 3 如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数hx> 4.9x 2 6.5x 10，依据图象，请描述、比较曲线ht> 在 t0、t 1、t2 邻近的变化情形思路分析： 依据导数的几何意义，曲线在某点处的瞬时变化率，即函数在该点处的导数，也是通过该点的曲线的切线的斜率值解： 我们用曲线 ht> 在 t0、t1、t2 处的切线，刻画曲线ht> 在上述三个时刻邻近的变化情形1>当 t t0 时，曲线 ht> 在 t0 处的切线 l 0 平行于 x 轴，所以，在 t t0 邻近曲线比较平整，几乎没有升降2>当 tt 1 时，曲线 ht> 在 t1 处的切线 l 1 的斜率 h t1><0 ，所以，在 t t1 邻近曲线下降，即函数 hx> 4.9x26.5x 10 在 tt1 邻近单调递减3>当 tt 2 时，曲线 ht> 在 t2 处的切线 l 2 的斜率 h t2><0 ，所以，在 t t2 邻近曲线下降，即函数 hx> 4.9x26.5x 10 在 tt2 邻近单调递减从图中可以看出，直线l1 的倾斜程度小于直线l 2 的倾斜程度，这说明曲线在t 1 邻近比在 t2 邻近下降的缓慢点评： 通过对曲线ht> 在 t0、 t1、t2 邻近的变化情形的分析，图象在t0 到 t2 的区间内始终是单调递减，只是下降的缓慢程度有所不同我们也能得出如下结论：从求函数 fx> 在 x x0 处导数的过程可以看到，当x x 0 时， f x 0> 是一个确定的数这样，当 x 变化时， f x> 便是 x 的一个函数，我们称它为fx> 的导函数 简称导数 >，记作： f x> 或 y，即 f x> y错误 . .通过本例，同学学习了导函数的概念，明确了函数fx> 在点 x0 处的导数 f x 0>与导函数 f x> 之间的区分与联系：函数在一点x 0 处的导数 f x 0>，就是在该点的函数值的转变量与自变量的转变量之比的极限，它是一个常数；函数的导函数f x> ，是指函数 fx> 在定义域的某一区间内任意点处的瞬时变化率，是随x 的变化而变化的，是变数设计意图巩固练习1曲线 y x2 在 x0 处的 >A 切线斜率为 1B切线方程为 y 2xC没有切线2已知曲线D 切线方程为y 02 上的一点 A2,8> ，就点 A 处的切线斜率为 >y 2xA 4B 16C8D 23 x2 在 P 点处的切线平行于直线y 4x 1，就此切线方程为 >3曲线 y xA y 4x B y 4x 4Cy 4x 8Dy 4x 或 y 4x 44设 fx> 为可导函数，且满意条件错误 . 1，就曲线y fx> 在点 1,1> 处的切线的斜率为 >A 2B 1C.错误 . D 2答案： 1.D2.C3.D4.D变练演编变式 1.已知曲线y 错误 . x3 上的一点Q，以 Q 为切点的切线斜率为9，求点 Q 的坐标变式 2.已知曲线 y 错误 . x3 ，求与直线 x 4y8 0 垂直，并与该曲线相切的直线方程变式 3.已知曲线 y 错误 . x3，求过 R1， 错误 . >的切线方程 活动设计：同学先独立摸索，独立完成，再进行沟通、相互质疑 学情猜测：对于变式3，大部分同学可能只想到一种情形活动成果：变式 1.3,9> 或 3， 9> 变式 2.12x 3y 16 0 或 12x 3y16 0. 变式 3.y x 错误 . 或 3x 12y 1 0.设计意图从多个方面设计利用曲线上一点的横坐标，求以该点为切点的切线斜率问题对于“过这一点”和“以该点为切点”的说法要区分开 达标检测1. 函数 y fx> 在 xx0 处的导数 f x 0>的几何意义是 >A 在点 xx0 处的函数值B. 在点 x 0， fx 0>>处的切线与 x 轴所夹锐角的正切值C. 曲线 yfx> 在点 x 0， fx 0>> 处的切线的斜率D. 点 x 0， fx 0>>与点 0,0> 连线的斜率2. 已知曲线 y x 2 1 上的两点 A2,3> ，B2 x,3y>，当 x1 时，割线 AB 的斜率是 ，当 x 0.1 时，割线 AB 的斜率是 ，曲线在点 A 处的切线方程是3. 假如函数 fx> 在 x x0 处的切线的倾斜角是钝角，那么函数fx> 在 x x 0 邻近的变化情形是4. 在曲线 yx2 上过哪一点的切线， 1> 平行于直线 y 4x5；2>垂直于直线 2x6y 50； 3> 与 x 轴成 135 °的倾斜角； 4>过点 R1， 3>与已知曲线相切答案： 1.C2.11y4x 53.逐步下降4 1>2,4> ； 2> 错误 . ， 错误 . >； 3> 错误 . ， 错误 . >； 4>2x y 10,6x y9 0.错误 .本节课主要环围着“利用函数图象直观懂得导数的几何意义”和“利用导数的几何意义说明实际问题”两个教案重心绽开先回忆导数的实际意义、数值意义，由数到形，自然引出从图形的角度争论导数的几何意义；然后，类比“平均变化率 瞬时变化率”的争论思路，运用靠近思想定义了曲线上某点的切线，再引导同学从数形结合的角度摸索，获得导数的几何意义 “导数是曲线上某点处切线的斜率” 错误 .课本习题 1.1A6 ， B3 ，补充练习3、5、6.错误 .1一木块沿某一平面自由下滑，测得下滑的水平距离错误 . t2，就 t 2 秒时，此木块在水平方向上的瞬时速度为s 与时间>t 之间的函数关系为sA 2B 1C. 错误 . D.错误 .2. 已知曲线y 错误 . x2 2 上一点 P1， 错误 . >，就过点P 的切线的倾斜角为>A 30°B 45°C135 °D 165 °3. 已知曲线 y 错误 . 在点 P1,4>处的切线与直线l 平行且距离为 错误 . ，就直线 l 的方程为 >A 4x y 9 0 或 4xy 250B 4x y 9 0C4x y9 0 或 4x y 25 0D以上都不对4. 曲线 y 错误 . 与 y x 2 在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积为 5. 曲线 yx3 在点 a， a3>a 0>处的切线与 x 轴、直线 xa 所围成的三角形的面积为错误 . ，就 a 的值为6. 已知曲线 C： yx3 .1>求曲线 C 上横坐标为 1 的点处的切线方程； 2>第1> 小题中的切线与 C 是否仍有其他的公共点？答案： 1.C2.B3.C4. 错误 . 5. ±16.1>3x y 2 0； 2>有错误 .本节内容是在学习了“变化率问题、导数的概念”等学问的基础上，争论导数的几何意义，由于新教材未涉及极限，于是尽量采纳形象直观的方式，让同学通过动手作图，自我感受整个靠近的过程，并用形象的几何画板及Flash 展现动态的过程，让同学更加深刻地体会导数的几何意义及“以直代曲”的思想在利用导数的几何意义争论实际问题时，某点邻近的曲线可以用过此点的切线近似代替，即“以直代曲”，从而达到“以简洁的对象刻画复杂对象”的目的，并通过两个例题的争论，让同学从不同的角度完整地体验导数与切线斜率的关系，并感受导数应用的广泛性本节课注意以同学为主体，每一个学问、每一个发觉及设法由同学自己得出课堂上赐予同学充分的摸索时间和空间，让同学在动手操作、动笔演算等活动后，再组织争论，老师只是在关键处加以引导错误 .补充练习：求函数fx> x 3 的导数2解： 任取 x 0 R， x 0.fx 0> x错误 . ， fx 0 x> x 0 x>3，错误 . 错误 . 3x错误 . 3x0x> x>2，错误 . f x 0>3x 错误 . 3x0x> x> 3x错误 . .用 x 代替 x 0 即得函数 y x 3 的导数为 x 3> 3x2.【例】 求曲线 fx> x3 在点 1,1> 处的切线方程与法线方程思路启发： 依据导数的几何意义，只要求出函数fx> x 3 在点 x 1 处的导数即为该曲线在点 1,1> 处的切线斜率，再利用直线的点斜式方程即可求出切线与法线方程规范解法： 依据导数的几何意义可知，所求切线的斜率为k1 f 1> 由于 f x> x 3 > 3x2，因此 k 1 f 1> 3.于是所求切线方程为y 1 3x 1>，即 3x y 2 0.所求法线的斜率为k 2 错误 . .从而所求的法线方程为y 1 错误 . x 1>，即 x 3y 4 0.设计者：张春生 >