2022年向量知识点总结2.docx
向量学问点总结一、教学要求：1. 懂得向量（平面对量、空间向量）的概念,把握向量的几何表示,明白共线向量的概念,把握向量的加法、减法,把握实数与向量的积,懂得两个向量共线的充要条件； 明白向量的基本定理, 把握向量的数量积及其几何意义, 明白用向量的数量积处理有关长度、 角度和垂直问题, 懂得直线的方向向量、 平面的法向量、向量在平面内的射影等概念；2. 懂得向量（平面对量、空间向量）的坐标的概念,把握向量的直角坐标运算及两点间的距离公式；3. 把握线线的定比分点和中点坐标公式,并把握平移公式；二、学问串讲：平面对量及其运算（一）向量的基本运算1. 有关概念（1）向量既有大小又有方向的量叫做向量；常用有向线段表示向量方向向量二要素长度（ 2）向量的模有向线段的长度| AB|, | a |8长度等于1的向量叫做单位向量,aa0| a |零向量0 （ 0的方向不定）,| 0 |0（3） 共线向量（平行向量）方向相同或相反的向量叫做平行向量或共线向量；（4） ）相等的向量长度相等方向相同ab规定： 00向量可以在平面（或空间）平行移动而不变；规定：零向量与任一向量平行；2. 向量有三种形式（或三种表示）几何表示几何运算 代数表示代数运算坐标表示坐标运算3. 向量的加法、减法与数乘（1）向量的加法三角形法就或平行四边形法就如图：向量加法的多边形法就如图,求 abc（2）向量的减法：abab ,即向量a 加上b 的相反向量；（ ab 的箭头指向被减向量）（3）实数与向量的乘积长度|a | |· |a |方向：a0时与0时与a 同向a 反向a a0时,a0 b a （ a0 ）存在唯独实数,使 ba4. 向量的运算法就（加、减、数乘）设向量a , b ,c 及实数, ,就： abba ab c abc aaa ab ab|a | | |· | a | a | |b | | ab| | a | | b |（此不等式表示三角形两边之和大于第三边, 两边之差小于第三边, 也称为三角不等式；）5. 平面对量基本定理（向量的分解定理）e1 ,e2 是平面内的两个不共线向量,那么对该平面内任一向量a ,存在唯独实数对1,2 ,使得 a1 e12 e2 ；（这个定理说明： 平面内的任一向量都可以沿两个不共线向量分解为唯独一对向量的和； 1e12e2 叫做向量e1 ,e2 的线性组合,e1 , e2叫做表这一平面内所有向量的一组 基底；基底不唯独,关键是不共线基底给定,分解形式唯独应用：设OA, OB 不共线,点 P在直线AB上（即A、B、P三点共线）OPOAOB 且1（ ,R）（二）向量的坐标运算1. 在直角坐标系内,分别取与x轴, y轴同方向的两个单位向量i, j作为基底,就该平面内任一向量a ,有且只有一对实数x, y,使得ax iy j ,称（ x, y）叫做向量示；a 的（直角）坐标,记作a x, y,即为向量的坐标表（如图,当把向量a 的起点移至原点时,（x, y）是向量aOA 终点A的坐标,即A x, y,x, y是向量a 在x, y轴上的射影,与a 相等的向量的坐标也相同；）2. 向量的坐标运算已知 ax1, y1 , b x2 , y2 ,R就：（ 1） abx1iy1j x2iy2j x1x2iy1y2jx1x2, y1y2（ 2 ）abx1x2, y1y2 ,设 A x1, y1, B x2 , y2BAabx1x2 , y1y2| AB|2x1x22y1y2（ 3）ax1, y1x1, y1（三）平面对量的数量积1. 数量积的概念设向量OAa, OBb, AOB叫做向量a 与 b的夹角；记作a , b, 0a , b180（ 1）数量| a |· | b |cos叫做 a 与b 的数量积（或内积）,记作a · b即 a · b| a |· |b |cos（ 2）数量积的几何意义：a · b 等于a 的模|a |与b 在 a的方向上的射影| b |cos的乘积；2. 数量积的运算法就（1）a · bb· a , a ·00 · a0（ 2 ） a · b a · b a · b R（ 3） ab ·ca ·cb · c留意：数量积不满意结合律！（ a ·b ）·ca ·（b · c ）（ 4 ） a x1, y1 , b x2 , y2 ,就a · bx1, y1 ·x2 , y2x1x2y1y23. 重要性质（1） 设e 是单位向量,a , e,就 e ·a a · e| a |·cos（ 2 ）a ba · b0x1· x2y1· y20（ 3） a b a · b| a |· | b |或a · b| a |· | b |ab （ b0 ）（唯独确定）x1, y1x2 , y2x1 y2x2 y102（4） ） a| a |2,即| a |x2y2 ,| a ·b | | a |· | b |（5） ） cosa · b| a |· | b |（四）定比分点与平移1. 线段的定比分点设P1x1 , y1, P2x2 , y2,分点P x, y,设 P1, P2是l上两点,P点在 l上且不同于P1、 P2 ,如存在一实数,使P1 PPP2 ,就 叫做P分有向线段P1 P2 所成的比；（0, P在线段P1 P2 内；0, P在P1 P2 外）x x1且1y y11x2,如P为P1 P2y2中点,x x1x22y y1y222. 平移PP '（ h, k）,由OP'OPPP'x' , y'x, yh, kx'xhy'yk平移公式
