2022年椭圆双曲线知识点总结2.docx
【学问点 1】椭圆的概念 :椭圆学问点在平面内到两定点F1、F2 的距离的和等于常数 大于| F1F2| 的点的轨迹叫椭圆这两定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做焦距当动点设为 M 时,椭圆即为点集PM | MF 1MF 22a留意：如 PF1PF 2F1 F2 ,就动点 P 的轨迹为线段F1 F2 ；如 PF1PF2F1F 2 ,就动点 P 的轨迹无图形；【学问点 2】椭圆的标准方程焦点在 x 轴上椭圆的标准方程 :2222xy1aba b0,焦点坐标为（ c, 0,（-c,0焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程为：【学问点 3】椭圆的几何性质 :2222xy1abb a0焦点坐标为（ 0, c,）o, -c标准方程2222xy1ab0 ab2222xy1ab0 ba图形范畴axabyb对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1 a,0, A2a,0性B1 0, b, B20, bA10, a, A20,aB1 b,0, B2b,0质轴长轴 A1A2 的长为 2a；短轴 B1B2 的长为 2b焦距 F1F2 |=2c离心率e= c 0,1aa, b, c 的关系c2a2b2规律 :(1) 椭圆焦点位置与 x2, y2 系数间的关系：焦点在分母大的那个轴上.(2) 椭圆上任意一点 M 到焦点 F 的全部距离中,长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离,且最大距离为 a c,最小距离为a c.2(3) 在椭圆中,离心率 eccab1b222aa 2a 2a2(4) 椭圆的离心率 e 越接近椭圆越扁； e 越接近于,椭圆就接近于圆；sin(5) 离心率公式：在F1PF2 中,PF1F2,PF2F1, esinsin二、椭圆其他结论1、如P x , y 在椭圆 xy21 上,就过P 的椭圆的切线方程是x0 xy0 y12000a 2b20a 2b2如已知切线斜率 K ,切线方程为 ykxa2 k 2b2x2y22、如P0 x0 , y0 在椭圆221 外 ,就过 Po 作椭圆的两条切线切点为P1、P2,就切点弦 P1P2 的直线方程是abx0 xy0 y1a2b 2x2y23、椭圆221aba b0的左右焦点分别为F1, F 2,点 P 为椭圆上任意一点F1PF2,就椭圆的焦点角形的面积为S F1PF2b 2 tan24、以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切 .5、过焦点的弦中,通径 过焦点且与焦点所在坐标轴垂直的弦最短2b2 a6、过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点P、Q, A 1、A 2 为椭圆长轴上的顶点, A 1P 和 A 2Q 交于点 M , A2P 和A 1Q 交于点 N ,就 MF NF ；x2y2b 27、AB 是椭圆221 的不平行于对称轴的弦,M x0 , y0 为 AB 的中点,就abkOMk AB2 ,a2即 Kb x0 ；0ABa 2 yx2y2x xy yx 2y 28、如P x , y 在椭圆1 内,就被 Po 所平分的中点弦的方程是0000000a 2b2a2b2a 2b 29、如2P x , y 在椭圆 xy1 内,就过 Po 的弦中点的轨迹方程是x2y 2x0 xy0 y2000a 2b2a 2b2a 2b210、如 P 为短轴顶点,就F1PF2最大【学问点 4】椭圆中的焦点三角形 :定义: PF1 + PF2 2a F1F2 2c余弦定理 : F1F22 = PF1 2+ PF22 -2PF1 PF2 cos F1PF2=2面积公式 :在椭圆 xa 2y1 （ a b 0）中,焦点分别为2b 2F1 、 F2 ,点 P 是椭圆上任意一点,F1 PF2,就 SF1PF2x2b 2 tan2y2【学问点 5】点x0,y0与椭圆221 a>b>0 的位置关系 :abx 2y 2点 P 在椭圆上001a2b2x 2y 2x 2y 2点 P 在椭圆内部001点 P 在椭圆外部001a 2b2a 2b 2【学问点 6】直线与椭圆位置关系的判定：ykxb222 直线斜率存在时22mxny1 mk nx2kbnxb10直线与椭圆相交0直线与椭圆相切0直线与椭圆相离0xm 直线斜率不存在时x2y2a 2b 21判定 y 有几个解x2y2例1.已知：椭圆1 与直线 l 交于 A 、 B 两点, A 、 B 中点为 M1,1,求直线 l 的方程169点差法： 9x16 y250 x2y2x2y2例2.求过点 2,3 且与椭圆1 有相同焦点的椭圆方程1 5386x 2y2设：所求椭圆方程为15k3kx2y2x 2y 2y2x2例3.求过点2,22 且与椭圆1 有相同离心率的椭圆方程1 、1 488161020x 2y 2设：所求椭圆方程为14k8kx2y 21025例4.已知椭圆1 的离心率e,求 m 的值 m、 m3 5m53x2y2例5.如椭圆1 上存在 A、 B 两点,关于直线y4 xm ,对称；求 m 的取值范畴；23m225, 225【学问点 1】双曲线的概念 :双曲线学问点在平面内到两定点F1、F2 的距离的差的肯定值等于常数 小于 | F1F2| 的点的轨迹叫双曲线 这两定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做焦距当动点设为 M 时,椭圆即为点集PM | MF1MF 22a留意：如 MF1MF 2F1 F2 ,就动点 P 的轨迹为两条射线；如 MF1MF 2F1 F2 ,就动点 P 的轨迹无图形；【学问点 2】双曲线的标准方程22焦点在 x 轴上双曲线的标准方程 :xy1a0,b0 ,焦点坐标为（ c, 0,（ -c, 0a2b2y2x2焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程为：【学问点 3】双曲线的几何性质221aba0,b0 焦点坐标为（ 0, c,） o, -cx2y2y2x2ba标准方程a2 b2 1a>0,b>022 1a>0, b>0图 形范 围xa 或 x a, yRx R, y a 或 ya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1 a,0, A2a,0A10, a, A20, a渐近线yba性 ± xy ± xa ,质离心率ece 1, ,其中 ca a线段 A1A2 叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2| 2a；b2 b2实虚轴线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2| 2b； a 叫做双曲线的实半轴长,b 叫做双曲线的虚半轴长规律 :a、b、c 的关系c2 a2b2c a 0, c b 01. 双曲线为等轴双曲线 . 双曲线的离心率e 2. 双曲线的两条渐近线相互垂直位置关系 .2. 区分双曲线中的 a, b, c 大小关系与椭圆 a, b, c 关系,在椭圆中 a2b2 c2,而在双曲线中c2 a2b2(2) 双曲线的离心率大于1,而椭圆的离心率e 0,1(3) 在双曲线中,离心率cc2eaa2a2b2a2b21a2(4) 双曲线的离心率 e 越大 ,开口越阔 .【学问点 4】双曲线中的焦点三角形 :定义: PF1 - PF2± 2aF1F2 2c余弦定理 : F1F22 = PF1 2+ PF22 -2PF1 PF2 cos F1PF2=x 2面积公式 :在双曲线2ay1（ a b 0）中,焦点分别为2b 2b 2F1、 F2,点 P 是双曲线上任意一点,F1 PF2S F1PF 2,就tan2【学问点 5】直线与双曲线的位置关系的判定：设直线l : ykxmm0 ,双曲线 x2a 22y1 a b20, b0 联立解得b2a2 k 2 x 22a2 mkxa 2 m2a 2b202122（ ）如 ba k0 即 kb ,直线与双曲线渐近线平行,直线与双曲线相交于一点；a（ 2）如 b 2a 2 k 20 即 kb 时,a 2a 2mk 24b 2a2k 2 a2 m2a 2b 2 0直线与双曲线相交,有两个交点；0直线与双曲线相切,有一个交点；0直线与双曲线相离,无交点；【学问点 6】弦长公式 :AB =1k 2 | xx |1k2xx 24xx1k 2,121212aAB112 y1y2k11k2a（其中 k 为直线斜率）【学问点 7】中点弦问题 （点差法） ：遇到弦中点,两式减一减；如要求弦长,韦达来帮忙；
