2022年概念方法题型易误点及应试技巧总结五平面向量22.docx

高考数学必胜要领在哪？概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结五、平面对量1、向量有关概念 ：（ 1） 向量的概念 ：既有大小又有方向的量,留意向量和数量的区分；向量常用有向线段来表示, 留意 不能说向量就是有向线段,为什么？ （向量可以平移） ；如已知 A（ 1,2）, B（ 4,2）,就把向量 AB 按向量 a （ 1,3）平移后得到的向量是 （答：（3,0 ）（ 2）零向量 ：长度为 0 的向量叫零向量,记作：0 ,留意 零向量的方向是任意的；（ 3）单位向量 ：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量 与 AB 共线的单位向量是AB ；| AB |（ 4）相等向量 ：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量,相等向量有传递性；（ 5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、 b 叫做平行向量,记作： a b, 规定零向量和任何向量平行；提示 ：相等向量肯定是共线向量,但共线向量不肯定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线 , 但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性 ！（由于有0 ；三点 A、B、C 共线AB、AC 共线；（ 6）相反向量 ：长度相等方向相反的向量叫做相反向量；a 的相反向量是 a；如以下命题：（ 1）如 ab ,就 ab ；（ 2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同,终点相同； （ 3）如 ABDC ,就 ABCD 是平行四边形； （ 4）如 ABCD 是平行四边形,就 ABDC ；（ 5）如ab, bc ,就 ac ；（ 6）如a / b, b / c ,就a / c ；其中正确的是 （答：（4）（ 5）2、向量的表示方法 ：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示,如AB ,留意起点在前,终点在后； （ 2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示,如a , b , c等；（ 3）坐标表示法： 在平面内建立直角坐标系, 以与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量i ,j 为基底,就平面内的任一向量a 可表示为axiy jx, y ,称x, y 为向量 a 的坐标, a x, y 叫做向量 a 的坐标表示；假如 向量的起点在原点 ,那么向量的坐标与向量的终点坐标相同；3. 平面对量的基本定理 ：假如 e1 和 e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对该平面内的任一向量 a,有且只有一对实数1 、 2 ,使 a=1 e1 2 e2；如（ 1）如 a1,1,b1,1,c 1,2,就 c （答： 1 a3 b ）；（ 2）以下向量组中,能作为平面内全部22向量基底的是A.e10,0, e21,2B.e1 1,2, e25,7C. e13,5, e26,10D. e2,3,e13（答： B）；（3）已知AD, BE 分别是ABC 的边BC, AC 上的中12,24线,且ADa, BEb ,就 BC 可用向量a,b 表示为（答： 2 a4b ）；（ 4）已知ABC33中, 点 D 在 BC 边上, 且 CD2 DB, CDr ABs AC,就 rs 的值是 （答： 0）4、实数与向量的积 ：实数与向量 a 的积是一个向量,记作a ,它的长度和方向规定如下： 1aa , 2当>0 时,a 的方向与 a 的方向相同,当<0 时,a的方向与 a 的方向相反,当 0 时, a0 , 留意 ：a 0；5、平面对量的数量积：（ 1）两个向量的夹角：对于非零向量a , b ,作OAa, OBb ,AOB0称为向量 a , b 的夹角,当 0 时, a , b 同向,当时, a , b 反向,当 2 时, a , b 垂直；（ 2） 平面对量的数量积 ：假如两个非零向量a , b ,它们的夹角为,我们把数量| a |b | cos叫做 a 与 b 的数量积（或内积或点积） ,记作： ab ,即 ab a b cos；规定： 零向量与任一向量的数量积是0,留意数量积是一个实数, 不再是一个向量 ；如（ 1） ABC 中,| AB |3 , | AC |4 , | BC |5 ,就AB BC （答： 9）；（ 2）已知11,就 k 等于 （答：1）；a1, b0,cakb, dab ,c 与 d 的夹角为224（ 3）已知 a2, b5, a b3 ,就 ab 等于 （答：23 ）；（ 4）已知a, b是两个非零向量,且 abab ,就 a与ab的夹角为（答： 30 ）（ 3） b 在 a 上的投影 为| b | cos,它是一个实数,但不肯定大于0；如已知 | a |3 ,| b |5 ,且 a b12 ,就向量 a 在向量 b 上的投影为（答：12 ）5（ 4） ab 的几何意义 ：数量积 ab等于 a 的模 | a |与 b 在 a 上的投影的积；（ 5）向量数量积的性质 ：设两个非零向量 a , b ,其夹角为,就： abab0 ；2当 a ,b 同向时, ab a b ,特殊地, a22aaa, aa；当 a 与 b 反向时, ab a b ；当 为锐角时, ab 0,且 a、b 不同向, a b0 是为锐角的必要非充分条件 ；当 为钝角时, ab 0,且 a、b 不反向, a b0 是 为钝角的必要非充分条件 ；非零向量 a , b 夹角的运算公式： cosab ； | ab | | a |b| ；如（ 1） 已a b知 a,2 , b3 ,2 ,假如 a 与 b 的夹角为锐角,就的取值范畴是（答：4 或0 且31 ）；（ 2 ） 已 知O F Q的 面 积 为 S , 且 OF FQ31 , 如1S3 ,就22OF , FQ夹角的取值范畴是 （答： , ）；（ 3 ） 已知43acos x,sinx, bcos y,siny,a 与 b 之间有关系式kab3 akb, 其中 k0,用k 表 示 a b ； 求 a b 的 最 小 值 , 并 求 此 时 a 与 b 的 夹 角的 大 小 （ 答 ： a bk 21 k4k0 ；最小值为1 ,60 ）26、向量的运算 ：（ 1）几何运算 ：向量加法：利用“平行四边形法就”进行,但“平行四边形法就”只适用于不共线的向量, 如此之外, 向量加法仍可利用 “三角形法就” ：设 ABa, BCb ,那么向量 AC叫做 a 与 b 的和,即 abABBCAC ；向量的减法：用“三角形法就” ：设ABa, ACb,那么abABACCA ,由减向量的终点指向被减向量的终点；留意：此处减向量与被减向量的起点相同；如（ 1） 化简： ABBCCD ； ABADDC ； ABCD ACBD （答： AD ； CB ； 0 ）；（ 2）如正方形 ABCD 的边长为 1,ABa, BCb, ACc ,就 | abc | （答： 2 2 ）；（ 3 ） 如 O 是ABC 所在平面内一点,且满意OBOCOBOC2OA ,就 ABC 的外形为 （答： 直角三角形） ；（ 4）如 D 为ABC 的边 BC 的中点,ABC 所在平面内有一点P ,满意PABPCP0 ,设| AP| PD |,就的值为 （答： 2）；（ 5）如点 O 是 ABC 的外心, 且 OAOBCO0 ,就 ABC 的内角 C 为 （答： 120 ）；（ 2）坐标运算 ：设 ax1, y1, bx2, y2,就： 向量的加减法运算： ab x1x2 , y1y2；如（ 1） 已知点A2,3, B5,4 ,C 7,10 ,如APABACR ,就当 时,点 P 在第一、三象限的角平分线上（答： 1 ）；（ 2）已知2A2,3, B1,4, 且 1 AB2sin x,cosy , x, y, ,就 xy22（答：或）；（3） 已知作用在点62A1,1的三个力 F13,4, F22,5, F33,1 ,就合力F F1F2F3的终点坐标是（答：（ 9,1） 实数与向量的积 ：ax1, y1x1,y1 ；如 A x1, y1, B x2 , y2 ,就ABx2x1, y2y1 ,即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标；如设 A2,3, B 1,5 ,且 AC1 AB ,31,7,9AD3AB ,就 C、 D 的坐标分别是（答：11）；3 平面对量数量积 ： abx1x2y1y2 ；如已知向量 a（ sinx,cosx）,b （ sinx,sinx ）,c （ 1,0）；（ 1）如 x,求向量 a、 c 的夹角；（2）如 x 33, ,函84数 f xa b 的最大值为1 ,求的值（答：21150 ;21 或21 ）；2 向量的模 ： | a |2x2y2 , a| a |2x2y2 ；如已知a,b 均为单位向量,它们的夹角为 60 ,那么 | a3b | （答：13 ）； 两点间的距离 ：如A x1,y1,B x 2 ,y 2,就| AB|2x2x1y2y12；如如图,在平面斜坐标系xOy 中,xOy60 ,平面上任一点P 关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：如 OPxe1ye2,其中 e1, e2 分别为与 x 轴、 y 轴同方向的单位向量,就P 点斜坐标为 x, y ；（ 1）如点 P 的斜坐标为（ 2, 2）,求 P 到 O 的距离 PO；（ 2）求以 O 为圆心, 1 为半径的圆在斜坐标系 xOy 中的方程；（答：（ 1） 2；（ 2） x2y2xy10 ）；7、向量的运算律 ：（ 1）交换律： abba ,aa , abba ；2结合律：abcabc, abcabc ,ababab；（ 3）安排律：aaa,abab , abcacbc ；如以下命题中：a bc a bac ；a b c a bc ； ab 2| a |222 | a | | b | b | ； 如 a b0 ,就 a0 或 b0 ；如a bc b, 就 ac ；22a bb222222 aa ；2a； a baab ； aba2a bb ；其中正确选项 （答：）提示：（ 1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区分：对于一个向量等式,可以移项,两边平方、两边同乘以一个实数,两边同时取模,两边同乘以一个向量,但不能两边同除以一个向量, 即两边不能约去一个向量, 切记两向量不能相除 相约 ；（ 2）向量的“乘法”不满意结合律 ,即abcabc ,为什么？8、向量平行 共线 的充要条件 ：a / bab a b2| a |b |2x1 y2y1 x2 0；如1 如向量 ax,1,b4, x,当 x 时 a 与 b 共线且方向相同 （答： 2）；（ 2）已知 a1,1,b4, x, ua2b , v2ab ,且u / v ,就 x （答： 4）；（3）设 PAk ,12, PB4,5, PC10, k ,就 k时, A,B,C 共线（答： 2 或 11）9、向量垂直的充要条件： aba b0| ab | | ab |x1 x2y1 y20 .特别地 ABAC ABAC ；如1 已知 OA 1,2, OB3, m ,如 OAOB ,ABACABAC3就 m（答：）；（ 2） 以原点 O 和 A4,2 为两个顶点作等腰直角三角形OAB ,2B90,就点 B 的坐标是 （答： 1,3 或（ 3, 1）；（3）已知 na,b, 向量nm ,且 nm ,就 m 的坐标是（答： b,a或b, a ）10. 线段的定比分点 ：（ 1）定比分点的概念：设点 P 是直线 P 1 P 2 上异于 P 1 、P 2 的任意一点,如存在一个实数,使P1PPP2 ,就叫做点 P 分有向线段P1P2 所成的比, P 点叫做有向线段P1P2的以定比为的定比分点；（ 2） 的符号与分点 P 的位置之间的关系 ：当 P 点在线段 P1 P 2 上时>0；当 P点 在 线 段P 1 P 2 的 延 长线 上 时< 1 ； 当 P 点 在 线 段 P 2 P 1 的 延 长 线上 时10 ；如点 P 分有向线段P1P2所成的比为,就点 P 分有向线段P2P1所成的比为 1 ；如如点 P 分 AB 所成的比为 3 ,就 A分 BP 所成的比为（答：7 ）（ 3）线段的定比分点公式 ：设4P1x1,y1、 P2 x2, y2 , Px, y分有向线段3P1P2 所成x x1的比为,就1y y11x2,特殊地,当 1 时,就得到线段P 1 P 2y2的中点公式x x1x2 2y y1y2 2；在使用定比分点的坐标公式时,应明确 x,y , x1, y1、 x2 , y2 的意义,即分别为分点,起点,终点的坐标；在详细运算时应依据题设条件,敏捷地确定起点,分1点和终点,并依据这些点确定对应的定比；如（1）如 M（ -3,-2）,N（6,-1）,且MPMN, 3就点 P 的坐标为（答：6,7 ）；（2） 已知3A a,0, B3,2a ,直线 y1 ax 与2线段 AB 交于 M ,且 AM2MB ,就 a 等于（答：或）11. 平移公式 ：假如点P x, y按向量ah, k 平移至Px ,y ,就 xxh ；曲yyk线 f x, y0 按向量ah, k平移得曲线f xh, yk 0 .留意 ：（ 1） 函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？（ 2）向量平移具有坐标不变性,可别忘了啊！如（ 1）按向量 a 把 2,3 平移到 1, 2 ,就按向量 a 把点 7,2 平移到点 （答：（ ,）；（ 2）函数 ysin 2 x 的图象按向量 a 平移后,所得函数的解析式是ycos 2x1 ,就 a（答： ,1 ）412、向量中一些常用的结论：（ 1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量,要留意运用；（ 2）|a |b | | ab | | a | b |,特殊地, 当 a、b 同向或有 0|ab | | a | b | a |b | | ab |；当 a、b 反向或有 0| ab | | a | b|a |b | |ab| ；当 a、b不共线| a | b| |ab| | a|b| 这些和实数比较类似 .（ 3 ） 在ABC 中 , 如A x1, y1, B x2, y2, C x3 , y3, 就 其 重 心 的 坐 标 为G x1x2x3, y1y2y3； 如如 ABC 的三边的中点分别为（2 , 1 ）、（ -3 , 4）、33（ -1 , -1 ）,就 ABC的重心的坐标为 （答： 24, ）； 33PG1 PAPBPC3G为ABC的 重 心 , 特 别 地PAPBPC0P 为 ABC 的重心； PA PBPB PCPC PAP 为 ABC 的垂心；向量ABAC 0 所在直线过ABC 的内心 是BAC 的角平分线所| AB | AC |在直线 ； | AB | PC| BC | PA|CA | PB0PABC 的内心；（ 3 ） 如 P分 有 向 线 段P1P2所 成 的 比 为, 点 M 为 平 面 内 的 任 一 点 , 就MPMP1 1MP2 ,特殊地 P 为P1P2 的中点MPMP1MP2 ；2（ 4 ） 向 量 PA、PB、PC中 三 终 点 A、B、C共 线存 在 实 数、使 得PAPBPC 且1 . 如 平 面 直 角 坐 标 系 中 , O 为 坐 标 原 点 , 已 知A3,1 , B1,3 , 如点 C 满意 OC1 OA2 OB , 其中1,2R 且12两 点1, 就点 C 的轨迹是（答：直线 AB）