2022年概率论与数理统计公式整理2.docx

精品学习资源第 1 章 随机大事及其概率欢迎下载精品学习资源<1 ） 排 列nm.Pm mn.从 m个人中挑出 n 个人进行排列的可能数；欢迎下载精品学习资源组合公式nm.欢迎下载精品学习资源Cm从 m个人中挑出 n 个人进行组合的可能数；n. mn.欢迎下载精品学习资源<2 ） 加 法和 乘 法 原理<3 ） 一 些常见排列<4 ） 随 机实 验 和 随机大事<5 ） 基 本领 件 、 样本 空 间 和大事加法原理 <两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，其次种方法可由n 种方法来完成，就这件事可由m+n 种方法来完成；乘法原理 <两个步骤分别不能完成这件事）：m×n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，其次个步骤可由n 种方法来完成，就这件事可由m×n 种方法来完成；重复排列和非重复排列<有序）对立大事 <至少有一个） 次序问题假如一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一 个，但在进行一次试验之前却不能断言它显现哪个结果，就称这种试验为随机试验；试验的可能结果称为随机大事；在一个试验下，不管大事有多少个，总可以从其中找出这样一组大事，它具有如下性质：每进行一次试验，必需发生且只能发生这一组中的一个大事；任何大事，都是由这一组中的部分大事组成的；这样一组大事中的每一个大事称为基本领件，用来表示；基本领件的全体，称为试验的样本空间，用表示；一个大事就是由中的部分点 <基本领件）组成的集合；通常用大写字母A，B，C，表示大事，它们是的子集；为必定大事，. 为不行能大事；不行能大事 <.）的概率为零，而概率为零的大事不肯定是不行能大事；同理，必定大事 < ）的概率为 1，而概率为 1 的大事也不肯定是必定大事；关系：假如大事 A 的组成部分也是大事B 的组成部分， <A 发生必有大事B 发欢迎下载精品学习资源生）： AB欢迎下载精品学习资源假如同时有 AA=B；B ， BA ，就称大事 A 与大事 B 等价，或称 A 等于 B：欢迎下载精品学习资源<6 ） 事 件的 关 系 与运算A、B中至少有一个发生的大事：AB，或者 A+B；属于 A 而不属于 B 的部分所构成的大事，称为A 与 B 的差，记为A-B，也可表示为 A-AB或者 AB ，它表示 A 发生而 B 不发生的大事；A、B 同时发生： AB，或者 AB；AB=.，就表示 A 与 B 不行能同时发生，称大事A 与大事 B 互不相容或者互斥；基本领件是互不相容的；-A 称为大事 A 的逆大事，或称A 的对立大事，记为A ；它表示 A 不发生的大事；互斥未必对立；运算：结合率： ABC>=AB>C A B C>=A B> C安排率： AB> C=A C> B C> A B> C=AC> BC>欢迎下载精品学习资源AiAi欢迎下载精品学习资源德摩根率：i 1i 1ABAB ， ABAB欢迎下载精品学习资源<7 ） 概 率的 公 理 化定义设为样本空间， A 为大事，对每一个大事A 都有一个实数PA>，如满意以下三个条件：1° 0 PA> 1，2° P > =13° 对于两两互不相容的大事A1 ， A2 ，有PAiPAi 欢迎下载精品学习资源i 1i 1常称为可列 <完全）可加性；就称 PA>为大事 A 的概率；欢迎下载精品学习资源1°2°P1 ,21 Pn，12Pn ；n欢迎下载精品学习资源<8 ） 古 典设任一大事 A ，它是由,组成的，就有欢迎下载精品学习资源概型PA>= 1 212m m= P1 P2 Pm 欢迎下载精品学习资源mA所包含的基本领件数n基本领件总数欢迎下载精品学习资源<9 ） 几 何概型如随机试验的结果为无限不行数并且每个结果显现的可能性匀称，同时样本空间中的每一个基本领件可以使用一个有界区域来描述，就称此随机试验为几何概型；对任一大事A，L A欢迎下载精品学习资源P AL；其中 L 为几何度量 <长度、面积、体积）；欢迎下载精品学习资源<10 ） 加 法公式<11 ） 减 法公式PA+B>=PA>+PB>-PAB>当 PAB> 0 时， PA+B>=PA>+PB> PA-B>=PA>-PAB>当 BA时， PA-B>=PA>-PB>当 A= 时， P B >=1- PB>定义 设 A、B 是两个大事，且 PA>>0，就称P AB 为大事 A 发生条件下，P A欢迎下载精品学习资源<12 ） 条 件概率大事 B 发生的条件概率，记为P B / AP AB ；P A欢迎下载精品学习资源条件概率是概率的一种，全部概率的性质都适合于条件概率；例如 P /B>=1P B /A>=1-PB/A>欢迎下载精品学习资源乘法公式：P ABP A PB / A欢迎下载精品学习资源<13 ） 乘 法更一般地，对大事A1， A2， An，如 PA1A2An-1 >>0，就有欢迎下载精品学习资源公式P A1 A2 An1 ；AnP A1P A2 |A1 P A3 |A1 A2 P An |A1A2 欢迎下载精品学习资源两个大事的独立性设大事 A 、 B 满意P ABP APB，就称大事 A 、 B 是相互独立欢迎下载精品学习资源<14 ） 独 立的；如大事 A 、 B 相互独立，且P A0 ，就有欢迎下载精品学习资源性P B | AP ABP AP AP B P AP B欢迎下载精品学习资源如大事 A 、 B 相互独立，就可得到A 与 B 、 A 与 B 、 A 与 B 也都相互独立；欢迎下载精品学习资源必定大事和不行能大事. 与任何大事都相互独立；. 与任何大事都互斥；多个大事的独立性设 ABC是三个大事，假如满意两两独立的条件， PAB>=PA>PB>； PBC>=PB>PC>； PCA>=PC>PA> 并且同时满意 PABC>=PA>PB>PC>那么 A、B、C 相互独立；对于 n 个大事类似；欢迎下载精品学习资源设大事B1, B2, Bn 满意欢迎下载精品学习资源<15 ） 全 概公式1° B1, B 2,nA, Bn 两两互不相容，BiPBi 0i1,2, n ，欢迎下载精品学习资源2°i 1，就有欢迎下载精品学习资源P AP B1 P A | B1P B 2 P A | B2PBn P A |Bn ；欢迎下载精品学习资源设大事B1 ， B 2 ，Bn 及 A 满意欢迎下载精品学习资源1° B1 ，B2 ，nBn 两两互不相容，P Bi >0， i1， 2， n ，欢迎下载精品学习资源A2°i就Bi1， P A0 ，欢迎下载精品学习资源<16 ） 贝 叶斯公式P Bi/ APBi P A/ Bi nP B j P A/ Bj ， i=1 ， 2， n；欢迎下载精品学习资源j 1此公式即为贝叶斯公式；欢迎下载精品学习资源P Bi ， < i1 ， 2 ， n ），通常叫先验概率；PBi/ A， < i1 ，欢迎下载精品学习资源<17 ） 伯 努利概型2 ， n ），通常称为后验概率；贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断；我们作了 n 次试验，且满意每次试验只有两种可能结果，A 发生或 A 不发生；n 次试验是重复进行的，即A 发生的概率每次均一样；每次试验是独立的，即每次试验A 发生与否与其他次试验A 发生与否是互不影响的；这种试验称为伯努利概型，或称为n重伯努利试验；欢迎下载精品学习资源用 p 表示每次试验A 发生的概率，就A 发生的概率为1pq ，用Pn k 欢迎下载精品学习资源表示 n 重伯努利试验中 A 显现k 0kn 次的概率，欢迎下载精品学习资源Pn kkCn pk q n kk，0,1,2, n ；欢迎下载精品学习资源其次章随机变量及其分布欢迎下载精品学习资源<1 ） 离 散型 随 机 变量 的 分 布律设离散型随机变量X 的可能取值为 Xkk=1,2, >且取各个值的概率，即大事 X=Xk >的概率为PX=xk >=pk， k=1,2, ，就称上式为离散型随机变量X 的概率分布或分布律；有时也用分布列的形式给出：欢迎下载精品学习资源Xx1, x2,|, xk,欢迎下载精品学习资源P Xxk p1, p 2, pk ,；欢迎下载精品学习资源明显分布律应满意以下条件：欢迎下载精品学习资源<1） pk0 ， k1,2,pk1， <2 ） k 1；欢迎下载精品学习资源<2 ） 连 续型 随 机 变量 的 分 布设 F x 是随机变量 X 的分布函数，如存在非负函数有xf x ，对任意实数 x ，欢迎下载精品学习资源密度F xf x dx，欢迎下载精品学习资源就称 X 为连续型随机变量；概率密度；密度函数具有下面4 个性质：f x称为 X 的概率密度函数或密度函数，简称欢迎下载精品学习资源1°fx0 ；欢迎下载精品学习资源f xdx12°；欢迎下载精品学习资源<3 ） 离 散PXx) PxXx dxf xdx欢迎下载精品学习资源与 连 续 型随 机 变 量的关系<4 ） 分 布积分元 f xdx 在连续型随机变量理论中所起的作用与散型随机变量理论中所起的作用相类似；设 X 为随机变量， x 是任意实数，就函数P Xxkpk 在离欢迎下载精品学习资源函数F xP Xx称为随机变量X 的分布函数，本质上是一个累积函数；欢迎下载精品学习资源PaXbF bF a可以得到X 落入区间a, b 的概率；分布欢迎下载精品学习资源函数 F x 表示随机变量落入区间 < ， x 内的概率；分布函数具有如下性质：1°0F x1,x；欢迎下载精品学习资源2°F x 是单调不减的函数，即x1x2 时，有F x1F x2 ；欢迎下载精品学习资源3°F limxF x0 ，F limxF x1；欢迎下载精品学习资源4°F x0F x ，即F x 是右连续的；欢迎下载精品学习资源5°P XxF xF x0 ；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源对于离散型随机变量，F xpk ；xkx x欢迎下载精品学习资源对于连续型随机变量，F xf x dx ；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源<5 ） 八 大分布0-1 分布PX=1>=p, PX=0>=q欢迎下载精品学习资源二项分布在 n 重贝努里试验中，设大事A 发生的概率为 p ；大事 A 发生欢迎下载精品学习资源的次数是随机变量，设为X ，就 X 可能取值为0,1,2,n ；欢迎下载精品学习资源P XkPn kkkn k n，其中欢迎下载精品学习资源Cpqq1p,0p1,k0,1,2, n ，欢迎下载精品学习资源就 称 随 机 变 量 X 服 从 参 数 为 n ， p 的 二 项 分 布 ； 记 为k1kX Bn, p ；欢迎下载精品学习资源当 n1 时，P Xkp q， k0.1 ，这就是 <0-1 ）分欢迎下载精品学习资源布，所以 <0-1 ）分布是二项分布的特例；泊松分布设随机变量 X 的分布律为k欢迎下载精品学习资源P Xk e，0 ， kk.0,1,2，欢迎下载精品学习资源就称随机变量 X 听从参数为的泊松分布，记为者 P>；X 或欢迎下载精品学习资源泊松分布为二项分布的极限分布<np= ，n）；欢迎下载精品学习资源超几何分布P Xkkn kCCkMN M ,0,1,2,l欢迎下载精品学习资源ClNnmin M , n随机变量 X 听从参数为 n,N,M 的超几何分布，记为Hn,N,M> ；欢迎下载精品学习资源几何分布P Xkqk1 p, k1,2,3,，其中 p0， q=1-p ；欢迎下载精品学习资源随机变量 X 听从参数为 p 的几何分布，记为Gp>；匀称分布设随机变量 X 的值只落在 a ， b 内，其密度函数f x在a ，欢迎下载精品学习资源b 上为常数1，即ba欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源1,f xba0,a x b其他，欢迎下载精品学习资源就称随机变量X 在a ， b 上听从匀称分布，记为XUa ， b>；分布函数为0，x<a，欢迎下载精品学习资源F xxf xdxxa ,baax b欢迎下载精品学习资源1，x>b ；当 a x 1<x2 b 时， X 落在区间 < x1, x2 ）内的概率为欢迎下载精品学习资源P x1Xx2 x2x1；ba欢迎下载精品学习资源指数分布f xe x ,0,x0 ,x0 ,欢迎下载精品学习资源其中0 ，就称随机变量 X 听从参数为的指数分布；X 的分布函数为欢迎下载精品学习资源F x1ex ,0,x0 ,x<0 ；欢迎下载精品学习资源记住积分公式：欢迎下载精品学习资源正态分布xn e x dxn.0欢迎下载精品学习资源设随机变量 X 的密度函数为欢迎下载精品学习资源f x x1e2222，x，欢迎下载精品学习资源；其中、0 为常数，就称随机变量X 听从参数为、欢迎下载精品学习资源的正态分布或高斯 <Gauss）分布，记为f x 具有如下性质：X N,2欢迎下载精品学习资源1°f x 的图形是关于 x对称的；欢迎下载精品学习资源2° 当 x时， f 21为最大值；2欢迎下载精品学习资源如 X N, ，就tX2的分布函数为欢迎下载精品学习资源F x1x e2 2dt2；欢迎下载精品学习资源参数0 、1 时的正态分布称为标准正态分布，记为欢迎下载精品学习资源X N 0,1 ，其密x度2函数记为欢迎下载精品学习资源 x1e 22，x，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源分布函数为xt 2欢迎下载精品学习资源 x1e 22dt ；欢迎下载精品学习资源 x 是不行求积函数，其函数值，已编制成表可供查用；1-x> 1- x> 且 0> ；X2欢迎下载精品学习资源假如 X N,2 ，就 N 0,1 ；欢迎下载精品学习资源<6 ） 分 位P x1Xx2x1x2 ；欢迎下载精品学习资源数下分位表： 上分位表：P XP X ； ；欢迎下载精品学习资源<7 ） 函 数分布离散型已知 X 的分布列为XP Xx1,xi p1,x2,p2 ,xn,，,pn ,Yg X 的分布列 < yig xi 互不相等）如下：Ygx1,g x2,g xn ,，PYyi 如有某些 g xi 相等，就应将对应的p1,p 2,pn ,pi 相加作为 g xi 的概率；连续型先利用 X 的概率密度 f Xx> 写出 Y 的分布函数FYy> PgX> y>，再利用变上下限积分的求导公式求出f Yy> ；第三章二维随机变量及其分布<1 ） 联 合分布离散型假如二维随机向量个有序对 <x,y ），就称<X， Y）的全部可能取值为至多可列为离散型随机量；设且大事 =<X， Y）的全部可能取值为xi , y j i , j1,2, ，= xi , y j 的概率为pij, 称P X , Y xi , y j pij i , jX 和1,2,为=<X， Y）的分布律或称为Y 的联合分布律；联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：YXy1y2yjx1p11p12p1jx2p21p22p2jxipi1pij这里 pij 具有下面两个性质：<1）pij 0<i,j=1,2,）；<2）pij1.ij欢迎下载精品学习资源连续型对 于 二 维 随 机 向 量 X , Y ， 如 果 存 在 非 负 函 数欢迎下载精品学习资源f x,yx,y ，使对任意一个其邻边欢迎下载精品学习资源分别平行于坐标轴的矩形区域D，即 D=X,Y>|a<x<b,c<y<d有欢迎下载精品学习资源PX,YDf x, ydxdy,D欢迎下载精品学习资源就称为连续型随机向量；并称fx,y>为=<X， Y）的分布密度或称为 X 和 Y 的联合分布密度；分布密度 fx,y>具有下面两个性质：（ 1）fx,y> 0；欢迎下载精品学习资源<2）f x, ydxdy1.欢迎下载精品学习资源<2） 二维 Xx,Yy XxYy随机 变量欢迎下载精品学习资源的本质<3 ） 联 合设<X， Y）为二维随机变量，对于任意实数x,y, 二元函数欢迎下载精品学习资源分布函数F x, yP Xx, Yy欢迎下载精品学习资源称为二维随机向量<X， Y）的分布函数，或称为随机变量X 和 Y 的联合分布函数；分 布 函 数 是 一 个 以 全 平 面 为 其 定 义 域 ， 以 事 件欢迎下载精品学习资源1 ,2 |X 1 x,Y2 y 的概率为函数值的一个实值函欢迎下载精品学习资源数；分布函数 Fx,y> 具有以下的基本性质：<1） 0F x, y1;<2） F<x,y ）分别对 x 和 y 是非减的，即当 x2>x1 时，有 F<x2,y ） Fx 1,y> ；当 y2>y 1 时，有 Fx,y 2> Fx,y 1>；<3） F<x,y ）分别对 x 和 y 是右连续的，即欢迎下载精品学习资源F x, yF x0, y, F x, yF x, y0;欢迎下载精品学习资源<4） F ,F , yF x,0, F ,1.欢迎下载精品学习资源<5）对于 x1x2，y1y2，欢迎下载精品学习资源F x2，y2 F x2，y1F x1， y2 F x1，y1 0 .欢迎下载精品学习资源<4 ） 离 散型 与 连 续型的关系P Xx， Yy) PxXx dx， yYy dy f x， y dxdy欢迎下载精品学习资源<5 ） 边 缘离散型X 的边缘分布为欢迎下载精品学习资源分布PiP Xxi pijji , j1,2, ；欢迎下载精品学习资源Y 的边缘分布为欢迎下载精品学习资源P jPYy j pijii, j1,2, ；欢迎下载精品学习资源连续型X 的边缘分布密度为f X xf x, y dy；Y 的边缘分布密度为f Y yf x, y dx.欢迎下载精品学习资源<6 ） 条 件分布离散型在已知 X=xi 的条件下， Y 取值的条件分布为pijPYy j | Xxi pi；在已知 Y=yj 的条件下， X 取值的条件分布为PXxi |Yy j pijp,j连续型在已知 Y=y 的条件下， X 的条件分布密度为f x | yf x, y；fY y在已知 X=x 的条件下， Y 的条件分布密度为f y | xf x, y f X x<7 ） 独 立性一般型离散型FX,Y>=F Xx>F Yy>pijpi pj有零不独立连续型fx,y>=fXx>f Yy>直接判定，充要条件：可分别变量正概率密度区间为矩形二维正态分布221x1f x, y2 12 12 x1 y1 22 y21222e,121随机变量的函数 0如 X1,X 2, Xm,X m+1, Xn 相互独立， h,g为连续函数，就：h<X1 ，X2, Xm）和 g<Xm+1, Xn）相互独立；特例：如 X 与 Y 独立，就： h<X）和 g<Y）独立；例如：如 X 与 Y 独立，就： 3X+1 和 5Y-2 独立；欢迎下载精品学习资源<8 ） 二 维匀称分布设随机向量 <X， Y）的分布密度函数为1SD x, yD欢迎下载精品学习资源f x, y0,其他其中 SD 为区域 D 的面积，就称 <X， Y）听从 D 上的匀称分布，记为 <X， Y） U<D）；例如图 3.1 、图 3.2 和图 3.3 ；y1D1O1x图y3.11OD22x图3.2y1dcD3Oabx图 3.3欢迎下载精品学习资源<9 ） 二 维正态分布设随机向量 <X， Y）的分布密度函数为12x12 x21 y2 y2欢迎下载精品学习资源f x, y211212 12 1e21 22,欢迎下载精品学习资源其中1 ,布，2 ,10,20, |1是 5 个参数，就称 <X， Y）听从二维正态分欢迎下载精品学习资源记为 <X，Y） N<1 ,2,12.欢迎下载精品学习资源,22由边缘密度的运算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，欢迎下载精品学习资源22,即 X N<1 ,2 , Y N 2 .欢迎下载精品学习资源122,但是如 X N<1 ,2 , Y N2 ， X， Y>未必是二维正态分布；欢迎下载精品学习资源1<10 ） 函数分布Z=X+Y依据定义运算：FZ zPZz) P XYz欢迎下载精品学习资源对于连续型， f Zz> f x, zxdx欢迎下载精品学习资源两 个 独 立 的 正 态 分 布 的 和 仍 为 正 态 分 布欢迎下载精品学习资源2<12 ,122 ）；欢迎下载精品学习资源n 个相互独立的正态分布的线性组合，仍听从正态分布；C，2C 22iiiiii欢迎下载精品学习资源Z=max,min如 X 1, X 2X n 相 互 独 立 ， 其 分 布 函 数 分 别 为欢迎下载精品学习资源X 1,X 2, X n>Fx1x，Fx xFxn(x) ，就Z=max,minX1,X2,Xn>的分布欢迎下载精品学习资源2函数为：Fmax x1Fx x2Fx xnFx x欢迎下载精品学习资源Fmin x11Fx x1Fx x1Fx x欢迎下载精品学习资源12n2 分布设 n 个随机变量X 1, X 2 , X n 相互独立，且听从标准正态分欢迎下载精品学习资源布，可以证明它们的平方和n2WX ii 1的分布密度为nu欢迎下载精品学习资源f u1n22n20,1u 2e 2u0,u0.欢迎下载精品学习资源我们称随机变量W 听从自由度为n 的2 分布，记为W2 n ，其中欢迎下载精品学习资源nnx2201e x dx.欢迎下载精品学习资源所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数；2分布满意可加性：设欢迎下载精品学习资源就kZYi i 1Yi12 nni ,2n 2nk .欢迎下载精品学习资源t 分布设 X， Y 是两个相互独立的随机变量，且欢迎下载精品学习资源可以证明函数X N0,1,Y 2 n,欢迎下载精品学习资源的概率密度为f tTXY / nn1n 12t 221nnn2欢迎下载精品学习资源t.我们称随机变量 T 听从自由度为n 的 t 分布，记为 T tn> ；t1ntn欢迎下载精品学习资源F 分布设 X 2 n, Y 2 n ，且 X 与 Y 独 立，可 以 证明欢迎下载精品学习资源12FX / n1的概率密度函数为欢迎下载精品学习资源Y / n2欢迎下载精品学习资源f yn1n22n1n222n1n1n121y 21n2n1 n2 2n1 y, y0n2欢迎下载精品学习资源0, y0我们称随机变量F 听从第一个自由度为n1，其次个自由度为n2的 F 分布，记为F fn 1, n 2>.欢迎下载精品学习资源F1 n1, n2 1F n2 , n1 欢迎下载精品学习资源第四章<1一）维期望随机期望就是平均值变量的数字特征函数的期望随机变量的数字特点离散型连续型设 X 是离散型随机变量，其分设 X 是连续型随机变量，其概率欢迎下载精品学习资源布 律 为PXxk > pk ，密度为 fx> ，欢迎下载精品学习资源k=1,2, ,n ，nE X xf xdx欢迎下载精品学习资源E X xk pkk 1<要求肯定收敛）欢迎下载精品学习资源<要求肯定收敛） Y=gX>nY=gX>欢迎下载精品学习资源EYg xk pkkk 1EYgx f xdx欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源方差2DX>=EX-EX>，标准差D X xkkE X 2 pDX xE X 2f xdx欢迎下载精品学习资源 X D X ，欢迎下载精品学习资源k矩对于正整数 k，称随机变量 X 的 k 次幂的数学期望为 X 的 k 阶原点矩，记为 vk, 即对于正整数 k ，称随机变量 X 的 k 次幂的数学期望为 X 的 k 阶原点矩，记为 vk , 即欢迎下载精品学习资源k k =EX >=ikx pii , k=EX >=xk f x dx,欢迎下载精品学习资源k=1,2, .对于正整数k，称随机变量 X 与 E<X）差的 k次幂的数学期望为 X 的 k阶中心矩，记为k=1,2, .对于正整数k ，称随机变量X与 E<X）差的k 次幂的数学期望为 X 的 k 阶中心矩，记为k ，即欢迎下载精品学习资源k ，即kE XE X k欢迎下载精品学习资源kE X.=xE X kiiE X