2022年培优专题7-分式的运算.docx

精品学习资源10、分式的运算【学问精读】1. 分式的乘除法法就a cac；b dbdacadad bdbcbc当分子、分母是多项式时，先进行因式分解再约分；2. 分式的加减法1通分的依据是分式的基本性质，且取各分式分母的最简公分母；求最简公分母是通分的关键，它的法就是：取各分母系数的最小公倍数；凡显现的字母或含有字母的式子为底的幂的因式都要取；相同字母或含有字母的式子的幂的因式取指数最高的；2同分母的分式加减法法就ababccc3异分母的分式加减法法就是先通分，变为同分母的分式，然后再加减；3. 分式乘方的法就欢迎下载精品学习资源naa n b b n n 为正整数欢迎下载精品学习资源4. 分式的运算是中学数学的重要内容之一，在分式方程，求代数式的值，函数等方面有重要应用；学习时应留意以下几个问题：1留意运算次序及解题步骤，把好符号关；2整式与分式的运算，依据题目特点，可将整式化为分母为“1”的分式；3运算中准时约分、化简；4留意运算律的正确使用；5结果应为最简分式或整式；下面我们一起来学习分式的四就运算；【分类解析】欢迎下载精品学习资源x 2x2例 1：运算2x 2x26 的结果是欢迎下载精品学习资源xx6xx2x1xB.1x1x1x3x9C.x29D.2x322A. x2 x1 x3 x2x3 x2 x2 x1x2 x1 x2 x1 x3 x2 x3 x2x1 x1 x3 x3分析： 原式x 21x 29应选 C欢迎下载精品学习资源说明：先将分子、分母分解因式，再约分；ab例 2：已知 abc1，求c的值；欢迎下载精品学习资源aba1bcb1acc1欢迎下载精品学习资源分析： 假设先通分，运算就复杂了，我们可以用abc 替换待求式中的“1”，将三个分欢迎下载精品学习资源式化成同分母，运算就简洁了；aababc欢迎下载精品学习资源解： 原式aba1aabcabaababcabcababc欢迎下载精品学习资源aba11aab1aba11abaa1ab欢迎下载精品学习资源例 3：已知： 2m5n0 ，求下式的值：欢迎下载精品学习资源1n mm1nm mnmmn欢迎下载精品学习资源分析： 此题先化简，然后代入求值；化简时在每个括号内通分，除号改乘号，除式的分子、分母颠倒过来，再约分、整理；最终将条件等式变形，用一个字母的代数式来表示另一个字母，带入化简后的式子求值；这是解决条件求值问题的一般方法；欢迎下载精品学习资源解： 1n mm1nm mnmmn欢迎下载精品学习资源mmnnmnmmmnnmnm欢迎下载精品学习资源mmnnm mnmmn欢迎下载精品学习资源mmnn mnmn欢迎下载精品学习资源2m5n0m5 n2欢迎下载精品学习资源故原式5 nn25 nn27 n3 n7223欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源ab例 4：已知 a、b、c 为实数，且1 ， bc1 ， ca1 ，那么abc欢迎下载精品学习资源的值是多少？a b3b c4c a5abbcca欢迎下载精品学习资源分析： 已知条件是一个复杂的三元二次方程组，不简洁求解，可取倒数，进行简化；欢迎下载精品学习资源11解： 由已知条件得：3， 114， 115欢迎下载精品学习资源111所以 2abc111abbcca12欢迎下载精品学习资源即6abc欢迎下载精品学习资源又由于abbcca1116 abccba欢迎下载精品学习资源abc1所以abbcca6欢迎下载精品学习资源x 31x21x 24欢迎下载精品学习资源例 5：化简： x2x2x1欢迎下载精品学习资源解一：原式 x31 x2x 21 x2 x2 x2欢迎下载精品学习资源 x2 x2 x1欢迎下载精品学习资源x4 x 43x 3x x 2 2 x 213 x3x41x 211欢迎下载精品学习资源x2 x1 x13 x1 x 2x1 x1x1欢迎下载精品学习资源 x1 x3x 23x 2x13x3x1欢迎下载精品学习资源x 32x 2x14 x4欢迎下载精品学习资源解二： 原式 x1 x2x1 x2 x2 x1 x1 x2 x2欢迎下载精品学习资源x2x1x2x1欢迎下载精品学习资源 x 2x1 x2 x1 x2欢迎下载精品学习资源x3x 2x2 x22 x2x23x2欢迎下载精品学习资源x32 x 24 x4欢迎下载精品学习资源说明： 解法一是一般方法， 但遇到的问题是通分后分式加法的结果中分子是一个四次多项式， 而它的分解需要拆、 添项， 比较麻烦； 解法二就运用了乘法安排律，防止了上述问题；因此，解题时留意审题，认真观看善于抓住题目的特点，挑选适当的方法；nmm2n 2欢迎下载精品学习资源例 1、运算： 1m2nm24mn4n2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源mn解： 原式1m2 nm2n 2mn mn欢迎下载精品学习资源m2 n1mnmnm2n mn3nmn说明：分式运算时，假设分子或分母是多项式，应先因式分解；欢迎下载精品学习资源M例 2、已知：2xyyxy ，就 M ；欢迎下载精品学习资源2x 2y2x 2y 2xy2xyy2xy22解：xyxy欢迎下载精品学习资源2xyy2x2x 2x22 xyy2y 2M欢迎下载精品学习资源x 2y 2Mx 2x 2y 2欢迎下载精品学习资源说明：分式加减运算后， 等式左右两边的分母相同， 就其分子也必定相同， 即可求出 M ；中考点拨：1111欢迎下载精品学习资源例 1：运算： ab 2ab 2 abab欢迎下载精品学习资源ab 2ab 2abab欢迎下载精品学习资源解一： 原式ab 2 ab 24abab2 ab 22aabab 2aab abab ab2b欢迎下载精品学习资源a 2b 2111111解二： 原式 abababababab11abab欢迎下载精品学习资源abab ab ab2aa 2b 2欢迎下载精品学习资源说明： 在分式的运算过程中， 乘法公式和因式分解的使用会简化解题过程；此题两种方法的繁简程度一目了然；欢迎下载精品学习资源例 2：假设 a32b23ab ，就 12ba 3b 312b ab的值等于欢迎下载精品学习资源A.1B.0C.1D.223欢迎下载精品学习资源解： 原式a 3b 3a 3a 3b 333ab2b 3b3ababab2b ab欢迎下载精品学习资源ab a 2ab a 2abb 2 ab abb 2 ab欢迎下载精品学习资源应选 Aa 2a 2 2ab 4ababb2abb2 123abab3abab欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源【实战模拟】1. 已知： ab2A.52 ， abB.5 ，就 ab145b的值等于a1924C.D.55欢迎下载精品学习资源2. 已知 x 216x10 ，求 x 313 的值；x欢迎下载精品学习资源3. 运算：2x13x21x 25x6x 217x121x29x20欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源4. 假设 A9999 111122221 ， B9999 222233331，试比较 A 与 B 的大小；欢迎下载精品学习资源111abc9999199991欢迎下载精品学习资源5. 已知： abc0， abc8 ，求证：0 ；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源【试题答案】a ba 2b2欢迎下载精品学习资源1. 解：b aaba b2，ab5欢迎下载精品学习资源a 2b 2 ab 22ab14欢迎下载精品学习资源ab1414b a55应选 B2. 解：x216x10欢迎下载精品学习资源x 216x1， x2116x， x 216x1欢迎下载精品学习资源1x61 x 21 x 4x2116 x x 4x2x216xx3x3x 3x 31 x 3欢迎下载精品学习资源16x 41616 x2 x2x 21216 x16 16 x2163162x16x 216欢迎下载精品学习资源16316 x 2xx116 3x1616 xx欢迎下载精品学习资源162594144说明：此题反复运用了已知条件的变形，最终到达化简求值的目的；欢迎下载精品学习资源3. 解： 原式1 x1 x2) x12 x3) x13 x4) x14 x5欢迎下载精品学习资源11x1x211x1x5411x2x31111x3x4x4x5欢迎下载精品学习资源x 26x5说明：此题逆用了分式加减法就对分式进行拆分，简化运算；欢迎下载精品学习资源4. 解： 设 a99991111 ，就 Aa1 ， Ba 21a 21a 31欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源a1a 21a 4a 3a1a 42a 21欢迎下载精品学习资源ABa 21a 31 a 21 a 31欢迎下载精品学习资源aa1 2a 21 a 310欢迎下载精品学习资源AB5. 证明：abc0abc20 ，即 a2b 2c22ab2bc2ac0欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源abbcac又1 a 2b22c2 111bcacab1 a 2b 2c2aabcb8cabc16欢迎下载精品学习资源a、b、c 均不为零欢迎下载精品学习资源a 2b 2c20欢迎下载精品学习资源1110abc欢迎下载精品学习资源12、分式方程及其应用【学问精读】1. 解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程；2. 解分式方程的一般步骤：1在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；2解这个整式方程；3验根：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否等于零，使最简公分母等于零的根是原方程的增根，必需舍去，但对于含有字母系数的分式方程，一般不要求检验；3. 列分式方程解应用题和列整式方程解应用题步骤基本相同，但必需留意，要检验求得的解是否为原方程的根，以及是否符合题意；下面我们来学习可化为一元一次方程的分式方程的解法及其应用；【分类解析】x2例 1. 解方程：1x1x1分析： 第一要确定各分式分母的最简公分母，在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，解欢迎下载精品学习资源完后记着要验根解：方程两边都乘以 x1 x1) ，得欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源x22 x1) x1 x1 ，欢迎下载精品学习资源即x 2x2xx 23212，欢迎下载精品学习资源经检验： x3 是原方程的根；2欢迎下载精品学习资源x1x6例 2. 解方程x2x7x2x5x3x6欢迎下载精品学习资源分析：直接去分母，可能显现高次方程，给求解造成困难，观看四个分式的分母发觉欢迎下载精品学习资源 x6与 x7 、 x2) 与 x3) 的值相差 1，而分子也有这个特点，因此，可将分母欢迎下载精品学习资源x6x5x2x1x7x6x3x2的值相差 1 的两个分式结合， 然后再通分， 把原方程两边化为分子相等的两个分式，利用分式的等值性质求值；解：原方程变形为：欢迎下载精品学习资源方程两边通分，得11欢迎下载精品学习资源 x6 x7 x2 x3欢迎下载精品学习资源所以 x即8x x6 x36927 x2 x3经检验：原方程的根是x9 ；2欢迎下载精品学习资源12 x1032x3424x2316x194x38x98x74 x5例 3. 解方程：分析： 方程中的每个分式都相当于一个假分数，因此， 可化为一个整数与一个简洁的分欢迎下载精品学习资源数式之和；解：由原方程得： 314 x3428x93248x714 x5欢迎下载精品学习资源2即8x928x628x1028x7欢迎下载精品学习资源于是8 x19 8 x68 x1，10 8x7欢迎下载精品学习资源所以 8 x9 8x68x10 8 x7 欢迎下载精品学习资源解得： x1经检验： x1是原方程的根；欢迎下载精品学习资源例 4. 解方程：6 y12y4 y4y24y 24 y4y 2y 240欢迎下载精品学习资源分析：此题假设用一般解法，就运算量较大；当把分子、分母分解因式后，会发觉分子与分母有相同的因式，于是可先约分；26 y2 y2 y2y欢迎下载精品学习资源解：原方程变形为： y2 2 y2 20 y2 y2欢迎下载精品学习资源6y2y2y2y2 y2 y2约分，得0欢迎下载精品学习资源方程两边都乘以 y2 y2，得欢迎下载精品学习资源6 y2 y2 2y 20欢迎下载精品学习资源整理，得 2 y16y8经检验： y8是原方程的根；注：分式方程命题中一般渗透不等式，恒等变形，因式分解等学问；因此要学会依据方欢迎下载精品学习资源程结构特点，用特别方法解分式方程；欢迎下载精品学习资源5、中考题解：2x例 1假设解分式方程m1x1 产生增根，就 m 的值是欢迎下载精品学习资源x1xxxA. 1或 2B.1或2C. 1或2D.1或2分析：分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值；由题意得增根是：欢迎下载精品学习资源x0或x1， 化简原方程为： 2 x2m1 x1) 2 ， 把 x0或x1 代入解得欢迎下载精品学习资源m1或2 ，故挑选 D；例 2. 甲、乙两班同学参与“绿化祖国”活动，已知乙班每小时比甲班多种2 棵树，甲班种 60 棵所用的时间与乙班种66 棵树所用的时间相等， 求甲、乙两班每小时各种多少棵树？分析：利用所用时间相等这一等量关系列出方程；解：设甲班每小时种x 棵树，就乙班每小时种x+2 棵树，6066由题意得：xx2欢迎下载精品学习资源60xx12066x 20欢迎下载精品学习资源经检验： x20是原方程的根x222答：甲班每小时种树20 棵，乙班每小时种树22 棵；说明：在解分式方程应用题时肯定要检验方程的根；6、题型展现：例 1. 轮船在一次航行中顺流航行80 千米，逆流航行 42 千米，共用了7 小时；在另一次航行中， 用相同的时间，顺流航行40 千米， 逆流航行 70 千米；求这艘轮船在静水中的速度和水流速度分析：在航行问题中的等量关系是“船实际速度=水速 +静水速度”，有顺水、逆水， 取水速正、负值，两次航行供应了两个等量关系；解：设船在静水中的速度为x 千米 /小时，水流速度为y 千米 /小时欢迎下载精品学习资源由题意，得x80427xyxy40707x yxy17欢迎下载精品学习资源解得：y 3x17欢迎下载精品学习资源经检验：是原方程的根y3答：水流速度为 3 千米 /小时，船在静水中的速度为17 千米/ 小时；欢迎下载精品学习资源2mx例 2. m 为何值时，关于 x 的方程x2x43会产生增根？x2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解：方程两边都乘以x 24 ，得 2 x4mx3x6欢迎下载精品学习资源整理，得 m1 x10当m1时， x10m1欢迎下载精品学习资源假如方程产生增根，那么x 240 ，即x2 或x2欢迎下载精品学习资源（ 1）如x2 ，就102m4m1欢迎下载精品学习资源（ 2 ）如 x2 ，就10m12m6欢迎下载精品学习资源（ 3）综上所述，当 m4 或6时，原方程产生增根说明：分式方程的增根，肯定是使最简公分母为零的根【实战模拟】1. 甲、乙两地相距 S 千米，某人从甲地动身，以v 千米/ 小时的速度步行，走了a 小时后改乘汽车，又过 b 小时到达乙地，就汽车的速度欢迎下载精品学习资源SA. B.abSavbSav2SC.D.abab欢迎下载精品学习资源22. 假如关于 x 的方程1x3m有增根，就x3m的值等于（）欢迎下载精品学习资源A.3B.2C.1D. 33. 解方程：欢迎下载精品学习资源（1）1x10（2） x1x1 xx2 x2) x4x12 x03) x19 x210欢迎下载精品学习资源1x1x1x 21x 4欢迎下载精品学习资源4. 求 x 为何值时，代数式2x9x312x3x的值等于 2？欢迎下载精品学习资源5. 甲、乙两个工程队共同完成一项工程，乙队先单独做1 天后，再由两队合作2 天就完成了全部工程；已知甲队单独完成工程所需的天数是乙队单独完成所需天数的2 ，求甲、3乙两队单独完成各需多少天？【试题答案】欢迎下载精品学习资源1. 由已知，此人步行的路程为av 千米，所以乘车的路程为（ Sav）Sav千米；欢迎下载精品学习资源又已知乘车的时间为b 小时，故汽车的速度为千米 /b小时，应选 B；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2. 把方程两边都乘以x3，得 2x3mx5m.欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源假设方程有增根，就x3，即 5m3m2应选B；欢迎下载精品学习资源3. 1分析：方程左边很特别，从其次项起各分式的分母为两因式之积，两因式的值都欢迎下载精品学习资源相差 1，且相邻两项的分母中都有相同的因式；因此，可利用1nn111nn1裂项，欢迎下载精品学习资源即用“互为相反数的和为0”将原方程化简欢迎下载精品学习资源解：原方程可变为12x11x1011x1x211 1x2x3x912x10欢迎下载精品学习资源即2x21x12经检验：原方程的根是 x122分析：用因式分解提公因式法简化解法欢迎下载精品学习资源解： x11x121x1x 211401x 424欢迎下载精品学习资源由于其中的1x1x1x21x4欢迎下载精品学习资源1x1x 1x22221x 2441x4欢迎下载精品学习资源2241x1x1x44844801x1x1x x0经检验： x0 是原方程的根；欢迎下载精品学习资源2 x94. 解：由已知得x3122x3x欢迎下载精品学习资源即23122x3x3x3120x3x3x欢迎下载精品学习资源解得x32经检验： x3 是原方程的根；2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源当x3 时，代数式 2x9 2x312 的值等于 2；x3x欢迎下载精品学习资源5. 设：乙队单独完成所需天数x 天，就甲队单独完成需2 x天；3欢迎下载精品学习资源111欢迎下载精品学习资源由题意，得2 xx21x3欢迎下载精品学习资源即 1231xxx解得： x6经检验 x6是原方程的根x6时， 2 x43答：甲、乙两队单独完成分别需4 天， 6 天；欢迎下载精品学习资源13、分式总复习【学问精读】欢迎下载精品学习资源A定义：（A、B为整式，BB中含有字母）欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源A通分：性质B约分： ABAM M0 BMAM M0 BM欢迎下载精品学习资源分式定义：分母含有未知数的方程；如51x1x3欢迎下载精品学习资源分式方程思想：把分式方程转化为整式方程方法：两边同乘以最简公分母解法依据：等式的基本性质留意：必需验根欢迎下载精品学习资源应用：列分式方程解应用题及在其它学科中的应用欢迎下载精品学习资源【分类解析】1. 分式有意义的应用例 1. 假设 abab10 ，试判定11，是否有意义；欢迎下载精品学习资源a1b1欢迎下载精品学习资源分析： 要判定1，1是否有意义，须看其分母是否为零，由条件中等式左边因a1b1欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源式分解，即可判定 a1， b1 与零的关系；欢迎下载精品学习资源解：abab10ab1b10即 b1 a10b10或 a101，1中至少有一个无意义；a1b12. 结合换元法、配方法、拆项法、因式分解等方法简化分式运算；欢迎下载精品学习资源a 2a1例 2. 运算：a1a 23a1a3欢迎下载精品学习资源分析：假如先通分， 分子运算量较大， 观看分子中含分母的项与分母的关系，可实行“别离分式法”简化运算；欢迎下载精品学习资源解： 原式a a11a1aa31a3欢迎下载精品学习资源a1a1a1a311a1a3a3a1a1 a32a2a1 a3欢迎下载精品学习资源例 3. 解方程： 12x17x6x25x5x 25 x6欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2分析： 由于 x7 x6 x1 x6 ， x 25x6 x2 x3 ，所以最简公欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源分母为： x1 x6 x2 x3 ，假设采纳去分母的通常方法，运算量较大；由于欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源x25 x5x25x6x 25xx 25x61161x25x故可得如下解法；6欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源x 2解：x 25 x615x61112x5x61欢迎下载精品学习资源原方程变为 12x17x611x25x6欢迎下载精品学习资源x27x6x 27x6x0x25x6x 25x6欢迎下载精品学习资源经检验， x0 是原方程的根；欢迎下载精品学习资源23. 在代数求值中的应用例 4. 已知 a6a9 与|b1|互为相反数，求代数式欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源4aba 2ab2b 2b欢迎下载精品学习资源 a 2b 2ab 2a 2 b a 2b2ab2的值；a欢迎下载精品学习资源分 析 ： 要 求 代 数 式 的 值 ， 就 需 通 过 已 知 条 件 求 出a 、 b的 值 ， 又 因 为欢迎下载精品学习资源2a6a92a30 ， |b1|0 ，利用非负数及相反w 数的性质可求出 a、b 的值；欢迎下载精品学习资源解： 由已知得 a30， b10 ，解得 a3， b1欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源原式4ab abababbaa 2ab aba2b2b2ba欢迎下载精品学习资源 ab 2abab aba 2b2abaabb2b2ba欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源ab2abab ababaab a2bb2ba欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源1ab把 a3， ba b1 代入得：原式112欢迎下载精品学习资源4. 用方程解决实际问题例 5. 一列火车从车站开出，估计行程450 千米，当它开出 3 小时后，因特别任务多停一站，耽搁 30 分钟，后来把速度提高了倍，结果准时到达目的地，求这列火车的速度；解： 设这列火车的速度为x 千米 /时欢迎下载精品学习资源依据题意，得 4503 14503x欢迎下载精品学习资源x21.2 x欢迎下载精品学习资源方程两边都乘以 12x ，得 540042x解得 x75经检验， x75 是原方程的根450030x欢迎下载精品学习资源答： 这列火车原先的速度为75 千米 /时；5. 在数学、