2022年多边形及其内角和讲义.docx

精品学习资源多边形内角和第一部分 学问点回忆定义：由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形；欢迎下载精品学习资源凸多边形分类 1：凹多边形分类 2：正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形；欢迎下载精品学习资源多边形非正多边形：1、n 边形的内角和等于180 °（ n-2）；多边形的定理2 、任意凸形多边形的外角和等于360°；3、n 边形的对角线条数等于1/2 n·（n-3）只用一种正多边形： 3、4、6/；镶嵌拼成 360 度的角只用一种非正多边形（全等）：3、4；学问点一：多边形及有关概念1、多边形的定义：在同一平面内；多边形的分类：不叫三边形2、镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全掩盖，通常把这类问题叫做用多边形掩盖平面或平面镶嵌；这里的多边形可以形状相同，也可以形状不相同；实 现 镶 嵌 的 条 件 ： 拼 接 在 同 一 点 的 各 个 角 的 和 恰 好 等 于 360 ° ； 相 邻 的 多 边 形 有 公 共 边 ；3、常见的一些正多边形的镶嵌问题：(1) 用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；顶点公用；在一个顶点处各正多边形的内角之和为360 °；(2) 只 用 一 种 正 多 边 形 镶 嵌 地 面 ： 只 有 正 三 角 形 、 正 方 形 、 正 六 边 形 的 地 砖 可 以 用 ；留意：任意四边形的内角和都等于360°；所以用一批外形、大小完全相同但不规章的四边形地砖也可以铺成无空隙的地板，用任意相同的三角形也可以铺满地面；(3) 用两种或两种以上的正多边形镶嵌地面用两种或两种以上边长相等的正多边形组合成平面图形，关键是相关正多边形“交接处各角之和能否拼成一个周角”的问题；例如，用正三角形与正方形、正三角形与正六边形、正三角形与正十二边形、正四边形与正八边形都可以作平面镶嵌，见下图： 又如，用一个正三角形、两个正方形、一个正六边形结合在一起恰好能够铺满地面，由于它们的交接处各角之和恰好为一个周角360°；规律方法指导1. 内角和与边数成正比：边数增加，内角和增加；边数削减，内角和削减. 每增加一条边，内角的和就增加 180°（反过来也成立），且多边形的内 角 和 必 须 是180° 的 整 数 倍 .2. 多边形外角和恒等于360°，与边数的多少无 关.3. 多边形最多有三个内角为锐角，最少没有锐角（如矩形）；多边形的外角中最多有三个钝角，最少没有钝角.4. 在运用多边形的内角和公式与外角的性质求值时，常与方程思想相结合，运用方程思想是解决本节问题的常用方法.5. 在解决多边形的内角和问题时，通常转化为与三角形相关的角来解决. 三角形是一种基本图形，是讨论复杂图形的基础，同时留意转化思想在数学中的应用 .其次部分 经典习题类型一：多边形内角和及外角和定理应用1. 一个多边形的内角和等于它的外角和的 5 倍，它是几边形？ 总结升华： 此题是多边形的内角和定理和外角和定理的综合运用 . 只要设出边数 ，依据条件列出关于 的方程 ， 求 出 的 值 即 可 ， 这 是 一 种 常 用 的 解 题 思 路 .- 1 - / 5欢迎下载精品学习资源举一反三：【 变 式 1 】 如 一 个 多 边 形 的 内 角 和 与 外 角 和 的 总 度 数 为1800 ° ， 求 这 个 多 边 形 的 边 数 .【 变 式 2】 一 个 多 边 形 除了 一 个 内 角 外 ， 其 余 各 内 角 和 为 2750 ° ， 求 这 个 多 边形 的 内 角 和 是 多 少 ？【 答 案 】 设 这 个 多 边 形 的 边 数 为， 这 个 内 角 为，.【变式 3】个多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350°，求这个多边形的边数；类 型 二 ： 多 边 形 对 角 线 公 式 的 运 用2. 某校七年级六班举办篮球竞赛，竞赛采纳单循环积分制（即每两个班都进行一次竞赛） .你能算出一共需要进行多少场竞赛吗？思路点拨： 此题表达与体育学科的综合，解题方法参照多边形对角线条数的求法，即多边形的对角线条数加上边数.如图：总 结 升 华 ： 对 于 其 他 学 科 问 题 要 善 于 把 它 与 数 学 知 识 联 系 在 一 起 ， 便 于 解 决 .举一反三：【 变 式1】 一 个 多 边 形 共 有20条 对 角 线 ， 就 多 边 形 的 边 数 是 （） . A6B7C8D9【变式2】一个十二边形有几条对角线；总结升华 ：对于一个n 边形的对角线的条数，我们可以总结出规律条，牢记这个公式，以后只要用相应 的 n 的值代入即可求出对角线的条数，要记住这个公式只有在懂得的基础之上才能记得牢；类型三：可转化为多边形内角和问题3如图，求ABCDEF的度数.思 路 点 拨 :设 法 将 这 几 个 角 转 移 到 一 个 多 边 形 中 ， 然 后 利 用 多 边 形 内 角 和 公 式 求 解 .总结升华： 此题通过作帮助线，把A 与 G 的和转化为 1 与 2 的和，从而把问题变为求五边形的内角和运算，“转化思想”是解决本题的关键.举一反三：【 变 式 1 】 如 图 所 示 ， 1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6=.欢迎下载精品学习资源类型四：实际应用题4. 如图，一辆小汽车从P 市动身，先到 B 市，再到 C 市，再到 A 市，最终返回 P 市，这辆小汽车共转了多少度角？思 路 点 拨 ： 根 据 多 边 形 的 外 角 和 定 理 解 决 .解读：如图，总结升华： 旋转的角度是指原先前进的方向与转弯后的方向的夹角 .小汽车沿任意多边形行驶一周回到原处，转过的角度都是360举一反三：【变式 1】如下列图，小亮从A 点动身前进 10m，向右转15°， 再前进10m，又向右转 15°，这样始终走下去，当他第一次回到动身点时，一共走了 m.【变式 2】小华从点 A 动身向前走 10M ，向右转36°，然后连续向前走10M ，再向右转 36°，他以同样的方法连续走下去，他能回到点A 吗？如能，当他 走 回 点A时 共 走 了 多 少M？ 如 不 能 ， 写 出 理 由 ；【变式 3】如下列图是某厂生产的一块模板，已知该模板的边AB CF， CD AE. 按规定 AB 、CD 的延长线相交成 80°角，因交点不在模板上，不便测量.这时师傅告知徒弟只需测一个角，便知道AB 、CD 的延长线的夹角是否合乎规定，你知道需测哪一个角吗？说明理由.思路点拨： 此题中将 AB 、CD 延长后会得到一个五边形，依据五边形内角和为540°，又由 AB CF， CD AE ，可知 BAE+ AEF+ EFC=360°，从 540°中减去80°再减去360°，剩下 C 的度数为 100°，所以只需测C的度数即可，同理仍可直接测A的度数.总 结 升 华 ： 本 题 实 际 上 是 多 边 形 内 角 和 的 逆 运 算 ， 关 键 在 于 正 确 添 加 辅 助 线 .类型五：5分 别画出 用相 同边 长 的下列 正镶嵌问题多 边 形 组 合 铺 满 地 面 的 设 计 图 ；(1) 正方形和正八边形；(2) 正三角形和正十二边形；(3) 正 三 角 形 、 正 方 形 和 正 六 边 形 ；思 路 点 拨 ： 只 要 在 拼 接 处 各 多 边 形 的 内 角 的 和 能 构 成 一 个 周 角 ， 那 么 这 些 多 边 形 就 能 作 平 面 镶 嵌；解读： 正三角形、正方形、正六边形、正八边形、正十二边形的每一个内角分别是 60°、 90°、 120°、 135°、150°；(1) 因 为90 2 × 135 360 ， 所 以 一 个 顶 点 处 有 1个 正 方 形 、 2个 正 八 边 形 ， 如 图 1 所 示 ；(2) 因 为 60 2 × 150 360 ， 所 以 一 个 顶 点 处 有 1 个 正 三 角 形 、 2个 正 十 二 边 形 ， 如 图 2 所 示 ；(3) 由于60 2 × 90 120 360 ，所以一个顶点处有1 个正三角形、1 个正六边形和2 个正方形，如图3所示；总结升华： 用两种以上边长相等的正多边形组合成平面图形，实质上是相关正多边形“交接处各角之和能否拼成一 个 周 角 ” 的 问 题 ； 举 一 反 三 ：【变式 1】分别用外形、大小完全相同的三角形木板；四边形木板；正五边 形木板；正六边形木板作平面镶嵌，其中不能镶嵌成地板的是 A 、B 、C、D 、 解读： 用同一种多边形木板铺地面，只有正三角形、四边形、正六边形的木板可以用，不能用正五边形木板， 故【 变式 2 】用三块正多边形的木板铺地 ， 拼 在 一 起 并 相 交 于 一 点 的 各 边 完 全 吻 合， 其 中 两 块 木 板 的 边 数都 是 8 ， 就 第 三 块 木 板 的 边 数 应 是 A、 4B、 5C、 6D、 8【答案】 A（提示：先算出正八边形一个内角的度数，再乘以2，然后用 360°减去刚才得到的积，便得到第三块木板一个内角的度数，进而得到第三块木板的边数）欢迎下载精品学习资源一、挑选题 : 每道题 3 分, 共 24 分7.3多边形及其内角和 请在 50 分钟内完成，按考试要求自己欢迎下载精品学习资源1. 一个多边形的外角中 , 钝角的个数不行能是 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2. 不能作为正多边形的内角的度数的是 A.120 B.108°C.144 D.145°3. 如一个多边形的各内角都相等, 就一个内角与一个外角的度数之比不行能是 A.2:1B.1:1C.5:2D.5:44. 一个多边形的内角中 , 锐角的个数最多有A.3个 B.4个 C.5个 D.6个5. 四边形中 , 假如有一组对角都是直角, 那么另一组对角可能 A. 都是钝角；B.都是锐角C.是一个锐角、一个钝角D.是一个锐角、一个直角6. 如从一个多边形的一个顶点动身, 最多可以引 10 条对角线 , 就它是 A. 十三边形B.十二边形C.十一边形D.十边形7. 如一个多边形共有十四条对角线, 就它是 A. 六边形B.七边形C.八边形D.九边形8. 如一个多边形除了一个内角外, 其余各内角之和为2570 ° , 就这个内角的度数为 A.90°B.105°C.130°D.120°二、填空题 : 每道题 3 分, 共 15 分1. 多边形的内角中 , 最多有个直角 .2. 从 n 边形的一个顶点动身 , 最多可以引条对角线 ,这些对角线可以将这个多边形分成 个三角形 .3. 假如一个多边形的每一个内角都相等, 且每一个内角都大于135° ,那么这个多边形的边数最少为 .4. 已知一个多边形的每一个外角都相等, 一个内角与一个外角的度数之比为9:2, 就这个多边形的边数为 .5. 每个内角都为144°的多边形为边形 .三、基础训练 : 每道题 12 分, 共 24 分1. 如下列图 , 用火柴杆摆出一系列三角形图案 , 按这种方式摆下去, 当摆到 20 层n=20 时, 需要多少根火柴 .欢迎下载精品学习资源n=1n=2n=3欢迎下载精品学习资源2. 一个多边形的每一个外角都等于24° , 求这个多边形的边数 .四、提高训练 : 共 15 分一个多边形的每一个内角都相等, 一个内角与一个外角的度数之比为m:n, 其中 m,n 是互质的正整数 , 求这个多边形的边数 用 m,n 表示 及 n 的值 .五、探究发觉 : 共 18 分从 n 边形的一个顶点动身 , 最多可以引多少条条对角线.请你总结一下 n 边形共有多少条对角线.六、中考题与竞赛题 : 共 4 分2002·湖南 如一个多边形的内角和等于1080°, 就这个多边形的边数是A.9B.8C.7D.6答案 :一、 1.D 2.D 3.D 4.A 5.C 6.A 7.B 8.C二、 1.4 2.n-3 n-2 3.9 4.11 5.十三、 1.630 根 2.15欢迎下载精品学习资源2 mn nnn3四、边数为,n=1 或 2.五、 n-32条六、 B.欢迎下载