2022年复变函数与积分变换课后的第三章习题答案.docx

精品学习资源习题三欢迎下载精品学习资源1. 运算积分xyix 2 d zC,其中 C 为从原点到点1+i 的直线段 .欢迎下载精品学习资源解 设直线段的方程为yx ,就 zxix . 0x1欢迎下载精品学习资源xyix 2 dzC1xyix 20d xix 欢迎下载精品学习资源01ix 2 1i dxi 1i 1 x3 1i 1i i1故0333欢迎下载精品学习资源12. 运算积分 Czdz，其中积分路径 C 为欢迎下载精品学习资源(1) 从点 0 到点 1+i 的直线段；(2) 沿抛物线 y=x2 ，从点 0 到点 1+i 的弧段 .解 1 设 zxix .0x1欢迎下载精品学习资源1z dzC11xix d xix i0欢迎下载精品学习资源zxix022 设.x1欢迎下载精品学习资源1z dzC11xix 20dxix 2 2i3欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源3. 运算积分z dzC，其中积分路径 C 为欢迎下载精品学习资源(1) 从点 -i 到点 i 的直线段；(2) 沿单位圆周 |z|=1 的左半圆周，从点-i 到点 i；(3) 沿单位圆周 |z|=1 的右半圆周，从点-i 到点 i.解 1 设 ziy .1y111zdzydiyiydyi11C欢迎下载精品学习资源zei(2) 设3.从 2 到 2欢迎下载精品学习资源izdz2 1deii2 de2i33C22欢迎下载精品学习资源zei(3) 设3.从 2 到 2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源zdzC2 1dei2i32欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源6. 运算积分zezCsinz dzza0,其中 C 为.欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源zzzesin z dzzdzesin zdz欢迎下载精品学习资源解 ezCCCsin z在 za 所围的区域内解读欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源ezsinCzdz0欢迎下载精品学习资源从而zezsin z dzz dz2adaei欢迎下载精品学习资源CC0欢迎下载精品学习资源2a2i0ei d0欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源zez故Csin z dz01dz欢迎下载精品学习资源7. 运算积分C z z21,其中积分路径 C 为欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源1（1） C1 : z2（4） C 4 : z i（ 2） C 2 : z3231C3 : z i2（ 3）2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源z解：（ 1）在12 所围的区域内，12z z1 只有一个奇点z0 .欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源1dz11111dz2 i002 i欢迎下载精品学习资源C zz21C1 z2 zi2 zi（ 2 ）在C2 所围的区域内包含三个奇点欢迎下载精品学习资源z0, zi .故111111欢迎下载精品学习资源2dzdz2 iii0欢迎下载精品学习资源2C z z1C 2z2 zi2 zi（ 3 ）在C 所围的区域内包含一个奇点欢迎下载精品学习资源zi ,故111111欢迎下载精品学习资源C z z21dzC3z2zidz002ziii（ 4）在 C 4 所围的区域内包含两个奇欢迎下载精品学习资源点 z0, zi ,故欢迎下载精品学习资源1dz 11111dz2 iii欢迎下载精品学习资源C z z21C4z2zi2zi欢迎下载精品学习资源10. 利用牛顿 -莱布尼兹公式运算以下积分.i2 iz0zi2欢迎下载精品学习资源1cos dz022e dz23 1iz dz欢迎下载精品学习资源i ln z1dz1z sin zdzi 1tan z1dz欢迎下载精品学习资源1(4) z15 06cos2 z欢迎下载精品学习资源解 1dz2 iz1z2i0cossin2ch1欢迎下载精品学习资源0222欢迎下载精品学习资源20eiz dze z 02欢迎下载精品学习资源ii2iz 2 dz1 i 2iz 2 d 2iz 1 1 2iz 3 i11i欢迎下载精品学习资源3 1i 1i3133欢迎下载精品学习资源i ln z 1i112欢迎下载精品学习资源1dz4 1z 1ln z11d ln z1ln 2 z 21 i3ln 2 284欢迎下载精品学习资源1z sin zdz1 zd cos zzcos z 11cos zdzsin1cos1欢迎下载精品学习资源5 0000i 1tan zi2i2i12i2dzsec zdzsec ztan zdztanz 1tan z 11 cos z112z1212e欢迎下载精品学习资源6tan1tan 12t h 12ith 111. 运算积分C z2dz1,其中 C 为欢迎下载精品学习资源z i11zi21 z23欢迎下载精品学习资源解 1ezezdzdzezz i2 iei欢迎下载精品学习资源C z21C zi zi zi欢迎下载精品学习资源ezezdzdzezzi2ie i欢迎下载精品学习资源2C z21ezC zi zi ziezez欢迎下载精品学习资源12dzdzdzeie i2i sin1欢迎下载精品学习资源3C z 21C z21C z21欢迎下载精品学习资源16. 求以下积分的值 ,其中积分路径 C 均为|z|=1.欢迎下载精品学习资源1Cez5 dzcos zz2Cz3dztan z2C3 zz 2dz, z0012解 1ezC z52dz2 i4.ez 4z 0i12coszCz3dz2 icos z2.2z 0i3tan z2C zz0 2dz2 itan z'z z0i sec2 z0217. 运算积分1C z13 z31dz,其中积分路径C 为(1) 中心位于点(2) 中心位于点z1 ,半径为Rz1 ,半径为R2 的正向圆周2 的正向圆周解： 1 C 内包含了奇点z11C z13 z2 i 113dz2. z132z 13 i82 C 内包含了奇点z1 ,C z11 z313 dz2 i2.1 z13 2z13 i819. 验证以下函数为调和函数12x36x2 y.3xy22y3;ex cosy1i ex sin y1.3解1 设 wuix26 x y23, u3xy2 y0欢迎下载精品学习资源u3x2x2 u12xy3 y2u y2u6x26xy6 y2欢迎下载精品学习资源26 xx从而有12 y26xy12 y欢迎下载精品学习资源2u2u220xy, w 满意拉普拉斯方程 ,从而是调和函数 .欢迎下载精品学习资源x2设 wui, uecos y1ex sin y1欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源uex x2uexcos ycos yuexy2uexsin ycos y欢迎下载精品学习资源x2从而有2 u x22uy20u,y2满意拉普拉斯方程,从而是调和函数 .欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源ex sin yxyxecos y欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源22exsin yx2y2sin y ex欢迎下载精品学习资源22yx220y,满意拉普拉斯方程,从而是调和函数 .欢迎下载精品学习资源20.证明 :函数证明 :ux22x,x2y2都是调和函数 ,但f zui不是解读函数欢迎下载精品学习资源u2xuxy2 u2u2 uu22 y2222xy欢迎下载精品学习资源220xy,从而 u 是调和函数 .欢迎下载精品学习资源y2xx2x2y2 2y x22 xyy2 2欢迎下载精品学习资源26 xy 2x2x22 x32y2 3y26 xy2 x22 x3y 2 3欢迎下载精品学习资源22x220y,从而 是调和函数 .uu但 xyyx欢迎下载精品学习资源不满意 C-R 方程 ,从而f zui不是解读函数 .欢迎下载精品学习资源22. 由以下各已知调和函数,求解读函数f zui欢迎下载精品学习资源1ux2y2uxy 2yx2y2 ,f 10欢迎下载精品学习资源u2xyu2 yx解 1 由于xyyx所以欢迎下载精品学习资源 x, yudxu dyC x , y 2 y x dx 2 x y dy Cx xdxy 2 x y dy C欢迎下载精品学习资源0,0x 2y2yx2xy C0,000欢迎下载精品学习资源22x2y2欢迎下载精品学习资源f zx2y2xyi2 xyC22欢迎下载精品学习资源令 y=0, 上式变为欢迎下载精品学习资源2f xx从而i xC 22z2欢迎下载精品学习资源f zz2uii C22 xyux2y2欢迎下载精品学习资源2x x2y2 2y x2y2 2欢迎下载精品学习资源用线积分法，取（ x0,y0）为 1,0 ，有欢迎下载精品学习资源 x, y uudxdyCx x2y4 dxx2 y22 2 dyC欢迎下载精品学习资源1,0yx1 x0 xy 欢迎下载精品学习资源1xyx222211Cxxy0xyf zyx2y2ixx2y21C欢迎下载精品学习资源由 f 10. ，得 C=0欢迎下载精品学习资源fzi11 z欢迎下载精品学习资源23. 设p z za1 za2 zan ,其中ai i1, 2,n 各不相同，闭路C 不通过欢迎下载精品学习资源a1, a2, an ,证明积分欢迎下载精品学习资源12i Cp z dzpz欢迎下载精品学习资源等于位于 C 内的 pz的零点的个数 .欢迎下载精品学习资源证明 : 不妨设闭路 C 内P z 的零点的个数为 k, 其零点分别为a1, a2,.ak欢迎下载精品学习资源nn z ak z a1 z ak . z a1 . zan 1 1P zdz1k 2k 3dz欢迎下载精品学习资源2 iC P z2i Cza1 za2. zan 欢迎下载精品学习资源111111dzdz .dz欢迎下载精品学习资源2iC za12iC z a22iC zan欢迎下载精品学习资源1111欢迎下载精品学习资源1 1 . 1k 个2idzC zak 1.2 id zC z an欢迎下载精品学习资源k24.试证明下述定理 无界区域的柯西积欢迎下载精品学习资源分公式 :设 fz 在闭路 C 及其外部区域D 内解读，且limzf zA，就欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源12i Cf d zf zA, A,zD,zG.欢迎下载精品学习资源其中 G 为 C 所围内部区域 .证明：在 D 内任取一点 Z，并取充分大的 R，作圆 CR:zR ，将 C 与 Z 包含在内就 fz 在以 C 及 CR 为边界的区域内解读，依柯西积分公式，有欢迎下载精品学习资源f z1 f d-f d欢迎下载精品学习资源2iCRzCzf z由于z在R 上解读，且欢迎下载精品学习资源limf zlimf 11zlimf 1欢迎下载精品学习资源所以，当 Z 在 C 外部时，有欢迎下载精品学习资源f zA12 iCf d z欢迎下载精品学习资源1即 2iCf dfzzA欢迎下载精品学习资源设 Z 在 C 内，就 fz=0 ，即欢迎下载精品学习资源01f df d欢迎下载精品学习资源2iCRzCz欢迎下载精品学习资源故有：12 iCf dA z欢迎下载