2022年求数列的通项公式方法总结.docx
2.6 数列求通项公式的典型方法数列是函数概念的连续和延长,数列的通项公式及前n 项和公式都可以看作项数n 的函数,是函数思想在数列中的应用数列以通项为纲,数列的问题,最终归结为对数列通项的讨论,而数列的前n 项和Sn 可视为数列 Sn的通项求数列通项公式方法较多,归纳起来常用的方法主要有一下几种：归纳法、 公式法、累加法、累乘法、构造法、取倒数法、取对数法、不动点法等等1. 归纳法【例 1】 已知数列3 1 ,5 148,7 116,9 1 ,32试写出其一个通项公式： 练 习 1 已 知 数 列21 3243542222, 1357, 试 写 出 下 列 数 列 的 一 个 通 项 公 式 ：练习 2数列 157 , 9 ,的一个通项公式是 , 8,1524Aan1n12n 1Ban1n 12n1Can1n 12n 1D a 1n 1·n2 n2n 1·n23n·n22nn2. 公式法·n22nS1,n1,利用 anS S, n2.或利用等差、等比通项公式 .nn1【例 2】 已知下面各数列 an 的前 n 项和为Sn 的公式,求 an的通项公式1Sn2n23n；2Sn3n2.练习 1已知下面各数列 an 的前 n 项和 Sn 的公式,求数列 an 的通项公式1 Snn2 n；2 Sn1n21n1.22【例 3】已知数列 an 的前 n 项和 Sn2an1,求 an 通项公式练习 1设数列 an 的前 n 项和为 Sn,已知 a1 1,an1 Snn2nSnn1,2,3,求证：数列 n 是等比数列3. 累加法累加法主要解决形如an 1anf n 形式的递推数列的求通项问题,该数列的f n 具有典型的特点：可以求和其解题步骤是：把原递推公式转化为an 1anf n ,利用 累加法 逐差相加法 求解【例 4】 已知数列an满意a12 , an 1an2n ,求an 【例 5】 已知数列an 满意 a11 , aa2 n 1n1,求n 2nan 练习 1 已知数列 an 满意an 1an2n1,a11,求数列 an的通项公式；n练习 2 已知数列an 中,a12 满意 an 1a2nn ,求数列an 的通项公式an中, a11满意 an 1an1n1n,求数列 an练习 3 已知数列的通项公式4. 累乘法累加法主要解决形如an 1anf n 形式的递推数列的求通项问题,该数列的f n 具有典型的特点： 可以求积 其解题步骤是： 把原递推公式转化为差相加乘 求解an 1anf n ,利用 累乘法 逐【例 6】 已知数列an 满意 a11, an 1ann,求n2an 练习 1已知数列an 满意 a12, an 13na ,求nn1an ；练习 2已知 a13 , an 13n1an n3n21 ,求an 5. 构造等差、等比数列（构造法）构造法主要解决形如an 1q nanpn p0, q1类型的问题,其基本策略是对an 1qanp 进行变形,使其可以变为一个新的等比或等差数列,求出新的等差或等比数列的通项公式,进而求出an 的通项公式类型 1： an 1qanp , p0, q1基 本 策 略 ： 如 数 列 满 足an 1qanp q, p为常数 , 就 可 考 虑 待 定 系 数 法 设an 1xq anx其中x为待定系数, 满意xqxp ,构造新的帮助数列 anx 是首项为 a1x 公比为 q的等比数列,求出 anx 再进一步求通项 an【例 7】 已知数列an 中, a11 , an 12an3 ,求an .练习 1已知数列 an 满意 a11, an12an1 ,求an 的通项公式 练习 2已知数列 an 的前 n 项和式Sn 满意 Snan2n1nN ,求an 的通项公类型 2： an 1qanf n q1【例 8】 已知数列 an 满意 an 13an23n1, a13 ,求数列 an 的通项公式；评注： 此题解题的关键是把递推关系式an 13an23n1 转化为an 1an3n 13n2133n 1 ,进而求出 anan 1 an 1an 2 an 2an 3 a2a1 a1an,即得数列nn 1n 1n 2n 2n321n3333333333的通项公式,最终再求数列 an 的通项公式练习 1 数列 an 满意 a12 ,且an 12an2n 1 nZ ,求数列 an 的通项公式练习 2 已知数列 a 满意 ann 12an35 , an16 ,求数列 an的通项公式；6取倒数法【例 9】已知数列 an 满意 a12,an 1 an2,就数列 an 是否为等差数列？说明理由2an1练习 1 anan 13 an 11,a11求数列an 的通项公式 .练习 2已知数列 an 满意 a13,anan 1 2an 11n21求 a2,a3,a4；2求证：数列公式an1 是等差数列,并写出 an 的一个通项1
