2022年复变函数第六章留数理论及其应用知识点总结.docx

第六章 留数理论及其应用§ 1.留数1.（ 定理 6.1 柯西留数定理 ）：. . .=. . ., .=.2.（ 定理 6.2）：设 a 为 fz的 m 阶极点,. = .-.,其中.在 点 a 解析, . .,就. .-. . ., . = .- . .3.（ 推论 6.3）：设 a 为 fz的一阶极点,. . = .-.,就. . , . = .4.（ 推论 6.4）：设 a 为 fz的二阶极点. . = .-. .就. , . = . .5. 本质奇点处的留数：可以利用洛朗展式6. 无穷远点的留数：. . , =.- .=.-.-.即, ., 等于 fz 在点的洛朗展式中 .这一项系数的反号.7.（ 定理 6.6）假如函数 fz在扩充 z 平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内）,设为 ., ., , ., ,就 fz在各点的留数总和为零；注：虽然 fz在有限可去奇点 a 处,必有 . , = .,但是,假如点 为 fz的可去奇点（或解析点）,就 . ., 可以不为零；8.运算留数的另一公式：., = -.,.4. .一.§ 2.用留数定理运算实积分型积分 引入.= . ., .注：留意偶函数+二.- .型积分.1.（ 引理 6.1 大弧引理 ）： .上就. = . +.=.- . +.2.（ 定理 6.7）设. =. 为有理分式,其中. . = . + .-. + . + . . = .+ .-.+ . + .为互质多项式,且符合条件：（ 1） n-m2;（ 2） Qz没有实零点于是有+. . .=.- .>. ., .注： .+. .可.记. 为 . .+. .+-.- + .三.型积分- .3.（ 引理 6.2 如尔当引理 ）：设函数 gz沿半圆周 .: .= . . . .,.充分大 上连续,且在.上一样成立；就. = . +.=. . +.4.（ 定理 6.8）：设 . . =.,其中 Pz及 Qz为互质多项式,且符合条件：（ 1） Q 的次数比 P 高；（ 2） Q 无实数解；（ 3） m>0就有+.=.- 特殊的,上式可拆分成：.>.,.+ . .+ . .- . .及.-. .四.运算积分路径上有奇点的积分5.（ 引理 6.3 小弧引理 ）： .: .-.= . .于.上一样成立,就有.-. .= . .五.杂例六.应用多值函数的积分.=. .-. .即为：求解析函数零点个数1.对数留数：§3.辐角原理及其应用.2.（ 引理 6.4）：（ 1）设 a 为 fz的 n 阶零点,就 a 必为函数. .的一阶极点,并且. .（ 2）设 b 为 fz的 m 阶极点,就 b 必为函数. ., .= .;.的一阶极点,并且. ., .= -.3.（ 定理 6.9 对数留数定理 ）：设 C是一条周线, fz满意条件：（ 1） fz在 C的内部是亚纯的；（ 2） fz在 C上解析且不为零；就有.=. ., . -. ., . = .内零点个数 -极点个数 =. .注 1：当条件更换为：（ 1）f 在 IntC+C上解析；（ 2） C上有 f0,有. ., . = .,即.=. ., . =.注 2：条件可减弱为： fz连续到边界 C,且沿 C有 fz 04.（ 辅角原理 ）：. ., . -. ., . = .5.（ 定理 6.10 鲁歇（ Rouche）定理 ）：设 C 是一条周线,函数 fz及.z满意条件：（ 1）它们在 C的内部均解析,且连续到 C；（ 2）在 C上, |fz|>|.z|就函数 fz与 fz+ .z在 C内部有同样多（几阶算几个）的零点,即N.+ .,C=Nf,C6.定理 6.11：如函数 fz在区域 D 内但也解析,就在 D 内 fz0.