2022年复变函数复习重点.docx

精品学习资源 一 复数的概念复变函数复习重点欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源1. 复数的概念： zxiy ， x, y 是实数,xRe z , yIm z .i 21 .欢迎下载精品学习资源注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.2. 复数的表示欢迎下载精品学习资源1） 模：zx2y2 ；欢迎下载精品学习资源2） 幅角： 在 z0 时，矢量与 x 轴正向的夹角，记为 Argz （多值函数）；主值 arg z 是位于 , 中的幅角；3） arg z 与arctan y 之间的关系如下： x欢迎下载精品学习资源当 x0,arg zyarctan；x欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源y当 x0,y0,arg z 0,arg zarctan yx；yarctanx欢迎下载精品学习资源4） ） 三角表示 ： zzcosi sin，其中arg z ；注：中间肯定是欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源“ +”5） 指数表示 ：zz ei，其中arg z ；欢迎下载精品学习资源 二复数的运算欢迎下载精品学习资源1. 加减法：如 z1x1iy1, z2x2iy2 ，就 z1z2x1x2iy1y2欢迎下载精品学习资源2. 乘除法：欢迎下载精品学习资源1） 如 z1x1iy1, z2x2iy2 ，就欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源z1z2x1x2y1y2ix2 y1x1 y2 ；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源z1x1iy1x1iy1x2iy2x1x2y1y2i y1x2y2 x1 ；欢迎下载精品学习资源zxiyxiyxiyx2y2x2y2欢迎下载精品学习资源22222222222欢迎下载精品学习资源11222） 如zz ei 1 , zz ei2 , 就z1z2z1 z2 e12 ； z1iz21 e 12izz2欢迎下载精品学习资源3. 乘幂与方根1） 如 zz cosi sinz ei ，就 znz n cos ni sin n z n ein ；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2） 如zz nnzz cosi sinz ei ，就cosisin k12k2k0,1,2n1n（ 有 个 相异 的欢迎下载精品学习资源nn值）（三）复变函数1. 复变函数： wfz ，在几何上可以看作把 z 平面上的一个点集 D 变到 w平面上的一个点集 G 的映射.2. 复初等函数指 数函 数： ezexcosyisin y， 在 z 平 面 到处 可导 ， 到处 解读 ； 且eezez ；注： z 是以 2 i 为周期的周期函数；（留意与实函数不同）欢迎下载精品学习资源对数函数：Lnzln zi arg z2k k0,1,2 （多值函数） ；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源主值： ln zln ziarg z ；（单值函数）欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源Lnz 的每一个主值分支 ln z 在除去原点及负实轴的z 平面内到处解读，且注：负复数也有对数存在；（与实函数不同）lnz1 ；z欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源be乘幂与幂函数： abLnaa0 ； zbbLnz z0欢迎下载精品学习资源e1注：在除去原点及负实轴的 z 平面内到处解读，且zbbzb；欢迎下载精品学习资源三角函数：sin zeize iz,cos zeize iz, t gzsinz, ctgzcos z欢迎下载精品学习资源2i2cos zsin z欢迎下载精品学习资源sinz,cos z 在 z平面内解读，且 sin zcos z, cos zsin z欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源注：有界性 sin z1, cosz1 不再成立；（与实函数不同）欢迎下载精品学习资源eze zeze z欢迎下载精品学习资源双曲函数shz, chz；22欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源shz 奇函数， chz 是偶函数；shz,chz 在 z 平面内解读shzchz,chzshz；欢迎下载精品学习资源（四）解读函数的概念1. 复变函数的导数欢迎下载精品学习资源1） 点可导：fz= limfz0zfz0；欢迎下载精品学习资源0z0z2） 区域可导 ： fz 在区域内点点可导；2. 解读函数的概念欢迎下载精品学习资源1） 点解读： fz 在 z0 及其z0 的邻域内可导，称 fz 在z0 点解读；欢迎下载精品学习资源2） 区域解读： fz 在区域内每一点解读，称 fz 在区域内解读；欢迎下载精品学习资源3） 如f z 在z0 点不解读，称z0 为 fz 的奇点；欢迎下载精品学习资源3. 解读函数的运算法就 ： 解读函数的和、差、积、商（除分母为零的点） 仍为解读函数；解读函数的复合函数仍为解读函数；（五）函数可导与解读的充要条件1. 函数可导的充要条件 ： fzu x, yivx, y 在zxiy 可导欢迎下载精品学习资源u x, y和v x, y在x, y可微， 且在x, y处满意 CD 条件：欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源uv,uv 此时，有 fzuiv ；欢迎下载精品学习资源xyyxxx2. 函数解读的充要条件 ： fzu x, yivx, y 在区域内解读欢迎下载精品学习资源u x, y和v x, y在x, y在 D 内 可 微 ， 且 满 足 CD 条 件 ：欢迎下载精品学习资源uvuv,；xyyx欢迎下载精品学习资源此时 fzuiv ；欢迎下载精品学习资源xx欢迎下载精品学习资源留意： 如u x, y, v x, y 在区域 D 具有一阶连续偏导数，就u x, y,v x, y 在欢迎下载精品学习资源区域 D 内是可微的；因此在使用充要条件证明时，只要能说明u, v 具有一阶欢迎下载精品学习资源连续偏导且满意 CR 条件时，函数f zuiv 肯定是可导或解读的；欢迎下载精品学习资源3. 函数可导与解读的判别方法1） 利用定义（题目要求用定义，如其次章习题1）2） 利用充要条件（函数以 fzu x, yivx, y形式给出，如其次章习题2）3） 利用可导或解读函数的四就运算定理；（函数fz 是以 z 的形式给出，如其次章习题 3）（六）复变函数积分的概念与性质欢迎下载精品学习资源1. 复变函数积分的概念：nfz dzlimfkzk ， c 是光滑曲线；欢迎下载精品学习资源cnk 1注：复变函数的积分实际是复平面上的线积分；2. 复变函数积分的性质欢迎下载精品学习资源1）fz dzc1 fz dz（ cc1与c 的方向相反）；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2）cfzg z dzf z dzcg z dz,c是常数；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源3） 如曲线 c 由c1与 c2 连接而成，就3. 复变函数积分的一般运算法fz dzcfz dzc1fz dz ；c2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源1） 化为线积分：cfz dzudxvdyicvdxudy ；（常用于理论证明）c欢迎下载精品学习资源2） 参数方法：设曲线 c ： zz tt ，其中对应曲线 c 的起点，对欢迎下载精品学习资源应曲线 c 的终点，就fz dzf z tcz t dt ；欢迎下载精品学习资源（七）关于复变函数积分的重要定理与结论1. 柯西古萨基本定理：欢迎下载精品学习资源设 fz 在单连域 B 内解读， c 为 B 内任一闭曲线，就fz dz0c欢迎下载精品学习资源2. 复合闭路定理 ： 设 fz 在多连域 D 内解读， c为 D 内任意一条简洁闭欢迎下载精品学习资源曲线，c1,c2,cn 是 c 内的简洁闭曲线，它们互不包含互不相交，并且以欢迎下载精品学习资源c1, c2 ,cn 为边界的区域全含于 D 内，就欢迎下载精品学习资源fz dzcnk 1 ckfz dz,其中 c 与 ck 均取正向；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源fz dz0 ，其中 由c 及c1 k1,2,n 所组成的复合闭路；欢迎下载精品学习资源3. 闭路变形原理 ： 一个在区域 D 内的解读函数 f z 沿闭曲线 c 的积分，不因 c 在 D 内作连续变形而转变它的值，只要在变形过程中 c 不经过使f z 不解读的奇点；4. 解读函数沿非闭曲线的积分 ： 设 f z 在单连域 B 内解读， G z 为欢迎下载精品学习资源fz 在B 内的一个原函数，就z2fz dzG z2z1G z1 z1, z2B欢迎下载精品学习资源说明：解读函数fz 沿非闭曲线的积分与积分路径无关，运算时只要求出原函数即可；5. 柯西积分公式： 设 fz 在区域 D 内解读， c 为D 内任一正向简洁闭曲欢迎下载精品学习资源线， c 的内部完全属于 D ， z0 为c 内任意一点，就fzdzc zz02 ifz0欢迎下载精品学习资源6. 高阶导数公式： 解读函数 fz 的导数仍为解读函数，它的 n 阶导数为欢迎下载精品学习资源n1fzdz2i f nzn1,2欢迎下载精品学习资源0c zz0n.其中 c 为 fz 的解读区域 D 内环绕 z0 的任何一条正向简洁闭曲线，而且它的内部完全属于 D ；欢迎下载精品学习资源7. 重要结论：1dz2i,n0；（ c 是包含 a 的任意正向简洁闭曲线）欢迎下载精品学习资源c zan 10,n0欢迎下载精品学习资源8. 复变函数积分的运算方法欢迎下载精品学习资源1） 如 fz 在区域 D 内到处不解读，用一般积分法2） 设 fz 在区域 D 内解读，fz dzf z tczt dt欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源c 是 D 内一条正向简洁闭曲线，就由柯西古萨定理，fz dz0c欢迎下载精品学习资源c 是D 内的一条非闭曲线， z1, z2 对应曲线 c 的起点和终点，就有欢迎下载精品学习资源z2fz dzfz dzFz2cz13） 设 fz 在区域 D 内不解读Fz1欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源曲线c 内仅有一个奇点：fzdzc zz02i fz0（ f z 在c 内解读）欢迎下载精品学习资源fz2 in欢迎下载精品学习资源nc zz01dzfz0 n.欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源曲线c 内有多于一个奇点：fz dzcnk 1 ckfz dz （ ci 内只有一个奇点zk ）欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源或： fz dzcn2 iRe s f z, zk （留数基本定理）k 1欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源如被积函数不能表示成fznzzo1 ，就须改用第五章留数定理来运算；欢迎下载精品学习资源（八）解读函数与调和函数的关系1. 调和函数的概念： 如二元实函数x, y 在D 内有二阶连续偏导数22欢迎下载精品学习资源且满意2x20 ， x, y 为D 内的调和函数；y欢迎下载精品学习资源2. 解读函数与调和函数的关系解读函数 fzuiv 的实部 u 与虚部 v 都是调和函数，并称虚部 v为实部 u 的共轭调和函数；欢迎下载精品学习资源两个调和函数 u 与v构成的函数f zuiv 不肯定是解读函数；但欢迎下载精品学习资源是如u,v 假如满意柯西黎曼方程，就 uiv 肯定是解读函数；3. 已知解读函数fz 的实部或虚部，求解读函数fzuiv 的方欢迎下载精品学习资源法；1）偏微分法 ：如已知实部u u x, y ，利用 CR 条件，得v ,v ；欢迎下载精品学习资源对 vuyx两边积分，得 vudyg x xxy（*）欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源再对（ * ）式两边对 x求偏导，得 vudygxxxx（ * ）欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源dy由 CR 条件， uv ，得 uugx ，可求出g x ；欢迎下载精品学习资源yx代入（ * ）式，可求得虚部 vyxxu dygx；x欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2 ） 线 积 分 法 ： 如 已 知 实 部uu ,xy， 利 用 CR 条 件 可 得欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源d xvvuud vd xd y，故虚d 部y 为 v xyyxx, yuudxdyc ；x0 , y0yx欢迎下载精品学习资源由于该积分与路径无关，可选取简洁路径（如折线）运算它，其中x0 , y0与x, y是解读区域中的两点；欢迎下载精品学习资源3）不定积分法 ： 如已知实部uu x, y ，依据解读函数的导数公式和CR欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源条件得知，fzuivuiu欢迎下载精品学习资源xyxy将 此 式 右 端 表 示 成 z 的 函 数 Uz， 由 于 fz仍 为 解 读 函 数 ，fzUzd zc注： 如已知虚部 v也可用类似方法求出实部 u.（九）复数项级数1. 复数列的极限欢迎下载精品学习资源1） ） 复数列 n a nib n （ n1,2）收敛于复数abi 的充要条件为欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源lim ana ,limbnb（同时成立）欢迎下载精品学习资源nn欢迎下载精品学习资源2） 复数列 n 收敛实数列 an,bn 同时收敛；欢迎下载精品学习资源2. 复数项级数欢迎下载精品学习资源1） 复数项级数n nn 0anibn 收敛的充要条件是级数an 与n 0nbn 同时收0欢迎下载精品学习资源敛；n2） 级数收敛的必要条件是limn0 ；注：复数项级数的敛散性可以归纳为两个实数项级数的敛散性问题的争论；（十）幂级数的敛散性欢迎下载精品学习资源1. 幂级数的概念 ：表达式2. 幂级数的敛散性cn zz0 或nn 0nc zn 为幂级数；n0欢迎下载精品学习资源1） 幂级数的收敛定理阿贝尔定理 Abel ：欢迎下载精品学习资源假如幂级数敛；c zn 在 zn0n 00 处收敛，那么对满意zz0 的一切 z ，该数肯定收欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源假如在z0 处发散，那么对满意zz0的一切 z ，级数必发散；欢迎下载精品学习资源2） 幂级数的收敛域圆域幂级数在收敛圆域内，肯定收敛；在圆域外，发散； 在收敛圆的圆周上可能收敛；也可能发散；3） 收敛半径的求法： 收敛圆的半径称收敛半径；欢迎下载精品学习资源比值法假如limncn 1cn0，就收敛半径 R1 ；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源n根值法limcn10 ，就收敛半径 R；欢迎下载精品学习资源假如0 ，就 R；说明在整个复平面上到处收敛；欢迎下载精品学习资源假如，就 R0 ；说明仅在zz0 或 z0 点收敛；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源注：如幂级数有缺项时，不能直接套用公式求收敛半径；（如c z2 n ）nn 0欢迎下载精品学习资源3. 幂级数的性质欢迎下载精品学习资源1） 代数性质 ：设a zn ,b zn 的收敛半径分别为 R 与 R ，记 Rmin R , R，nn1212n 0n 0欢迎下载精品学习资源就当 zR 时，abzna znb zn（线性运算）欢迎下载精品学习资源nnnnn 0n 0n 0欢迎下载精品学习资源a znb zn a baba b zn（乘积运算）欢迎下载精品学习资源nnn 0n 1 10 nn 0n 0n 0欢迎下载精品学习资源2） 复合性质 ：设当r 时，fann ，当 zR 时，g z欢迎下载精品学习资源n 0欢迎下载精品学习资源解读且 gzr ，就当 zR时，f g z an g zn 0n ；欢迎下载精品学习资源3） 分析运算性质 ：设幂级数a zn 的收敛半径为 Rnn 00 ，就欢迎下载精品学习资源4） 其和函数fza zn是收敛圆内的解读函数；欢迎下载精品学习资源nn 0n15） 在收敛圆内可逐项求导，收敛半径不变；且fznanzzR欢迎下载精品学习资源6） 在收敛圆内可逐项求积，收敛半径不变；nzfz dz00n1anzzRn 0 n1欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源（十一）幂函数的泰勒绽开1. 泰勒绽开： 设函数 fz 在圆域zz0R内解读，就在此圆域内fz 可欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源以绽开成幂级数fzf nz0n 0n.zz0n；并且此绽开式是唯独的；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源注：如 fz在z0 解读，就 fz 在z0 的泰勒绽开式成立的圆域的收敛半径欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源Rz0a ；其中 R 为从 z0 到 fz 的距z0 最近一个奇点 a 之间的距离；欢迎下载精品学习资源2. 常用函数在 z00 的泰勒绽开式欢迎下载精品学习资源1） ez1 zn1zzzzz欢迎下载精品学习资源23nn 0 n.2.3.n.欢迎下载精品学习资源2） 11zzn1n 0zz2znz1欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源3 1n2n 1z3z5 1n2 n 1欢迎下载精品学习资源） sin zzzzzn 0 2n1.3.5.2n1.欢迎下载精品学习资源2n4 1nz2z4 1n欢迎下载精品学习资源2n） coszz1zzn 0 2 n.2.4.2n.3. 解读函数绽开成泰勒级数的方法1） 直接法：直接求出 c1 f nz，于是 fzczzn ；n0n0n.n02） 间接法：利用已知函数的泰勒绽开式及幂级数的代数运算、复合运算和逐项求导、逐项求积等方法将函数绽开；（十二）幂函数的洛朗绽开欢迎下载精品学习资源1.洛朗级数的概念：nncnzz0，含正幂项和负幂项；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2 洛朗绽开定理 ：设函数 fz 在圆环域 R1zz0R2 内到处解读， c 为圆欢迎下载精品学习资源环域内 绕 z0 的任意一条正向简洁闭曲线 ， 就 在此在 圆环域内， 有欢迎下载精品学习资源fzcnnnzz0，且绽开式唯独；欢迎下载精品学习资源3解读函数的洛朗绽开法： 洛朗级数一般只能用间接法绽开；欢迎下载精品学习资源*4 利 用洛 朗级 数求 围线 积 分： 设 fz在rzz0R 内 解读， c 为欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源rzz0R内的任何一条正向简洁闭曲线，就fz dzc2ic1 ；其中c 1 为欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源f z 在 rzz0R内洛朗绽开式中11zz0的系数；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源说明：围线积分可转化为求被积函数的洛朗绽开式中（十三）孤立奇点的概念与分类zz0 的系数；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源1. 孤立奇点的定义 ： fz 在 z0 点不解读 , 但在2. 孤立奇点的类型：z0 的 0zz0内解读；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源1） 可去 奇点 ： 展开 式 中不 含zz0的 负幂 项 ；欢迎下载精品学习资源fzc0c1 zz02c2zz0欢迎下载精品学习资源2） 极点：绽开式中含有限项 zz0 的负幂项；欢迎下载精品学习资源fzc mc m 1c 1cc zz g z2c zz ,欢迎下载精品学习资源zz mzzm 1zz 01020 zz m欢迎下载精品学习资源0000欢迎下载精品学习资源其中 g zcc zz c zzm 1c zz m在 z 解读，欢迎下载精品学习资源mm 1010000且 g z00,m1, c m0 ；3） 本性奇点：绽开式中含无穷多项zz0 的负幂项；欢迎下载精品学习资源fzc mc 1cc zz c zz m欢迎下载精品学习资源 zz m zz 010m0欢迎下载精品学习资源00（十四）孤立奇点的判别方法欢迎下载精品学习资源1. 可去奇点：limzz0fzc0 常数；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2. 极点：limfzzz0欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源3. 本性奇点：limzz0fz 不存在且不为；欢迎下载精品学习资源4. 零点与极点的关系1 ） 零 点 的 概 念 ： 不 恒 为 零 的 解 读 函 数 fz， 如 果 能 表 示 成mfz zz0 z ，欢迎下载精品学习资源其中z 在z0 解读，z00, m为正整数，称z0 为 fz 的m 级零点；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2） 零点级数判别的充要条件： z0 是 fz 的 m 级零点nfz0mfz00,n01,2,m1欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源3） 零点与极点的关系：z0 是 fz 的m 级零点z 是 1的m 级极点；欢迎下载精品学习资源0fz4） 重要结论 :如 za 分别是z 与z 的m 级与 n级零点，就za 是zz 的mn级零点；欢迎下载精品学习资源当mn 时， za 是z的mn级零点；z欢迎下载精品学习资源当 mn 时， za 是当 mn 时， za 是z的 nm级极点；zz的可去奇点；z欢迎下载精品学习资源当mn 时， za 是zz 的l 级零点， lmin m,n欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源当 mn 时， za 是zz 的l 级零点，其中（十五）留数的概念lmn欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源1 留 数 的 定 义 ： 设z0 为 fz的孤 立 奇 点 ， fz在z0 的 去 心 邻 域欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源0zz0内解读， c 为该域内包含z0 的任一正向简洁闭曲线，就称积分欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源12icfz dz为fz在z0的 留数 （ 或 残 留 ） ， 记 作欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源0Re s fz, z 1fz dz2ic欢迎下载精品学习资源2留数的运算方法欢迎下载精品学习资源1如 z0是 fz 的孤立奇点，就Re s fz, z c 1 ，其中c 1 为 fz 在 z0欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源00的去心邻域内洛朗绽开式中 zz0 的系数；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源1） 可去奇点处的留数： 如 z0 是 fz 的可去奇点，就2） m 级极点处的留数法就 IRes fz, z 0欢迎下载精品学习资源1dm 1欢迎下载精品学习资源如 z 是 fz 的 m 级极点，就Res fz, z lim zzm fz 欢迎下载精品学习资源00m1) . zz0dzm 10欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源特殊地，如z0 是 fz 的一级极点，就Re s fz, z limzz0zz0 fz欢迎下载精品学习资源0注： 假如极点的实际级数比 m 低，上述规章仍旧有效；欢迎下载精品学习资源法就II设fzP zQ z，P z,Q z在z0解读，欢迎下载精品学习资源P z00, Q z00,Qz00，欢迎下载精品学习资源P z就 ResQ z（十六）留数基本定理, z P z00Q z0欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源设 fz 在区域 D 内除有限个孤立奇点z1, z2, zn 外到处解读， c 为 D 内包欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源围诸奇点的一条正向简洁闭曲线，就fz dzc2iRes fzn 1, zn 欢迎下载精品学习资源说明： 留数定理把要求沿简洁闭曲线积分的整体问题转化为求被积函数fz 在c 内各孤立奇点处留数的局部问题；欢迎下载