大学微积分l知识点总结一.doc

. .大学微积分l知识点总结【第一局部】大学阶段准备知识1、不等式：引申双向不等式：两侧均在ab0或ab0时取等号柯西不等式：设a1、a2、.an，b1、b2、.bn均是实数，那么有：2、函数周期性和对称性的常用结论1、假设fx+a=±fx+b，那么fx具有周期性；假设fa+x=±fb-x，那么fx具有对称性。口诀：“内同表示周期性，内反表示对称性2、周期性1假设fx+a=fb+x，那么T=|b-a|2假设fx+a=-fb+x，那么T=2|b-a|3假设fx+a=±1/fx，那么T=2a4假设fx+a=【1-fx】/【1+fx】，那么T=2a5假设fx+a=【1+fx】/【1-fx】，那么T=4a3、对称性1假设fa+x=fb-x，那么fx的对称轴为x=a+b/22假设fa+x=-fb-x+c，那么fx的图像关于a+b/2，c/2对称4、函数图象同时具备两种对称性，即两条对称轴，两个对称中心，一条对称轴和一个对称中心，那么函数必定为周期函数，反之亦然。1假设fx的图像有两条对称轴x=a和x=b，那么fx必定为周期函数，其中一个周期为2|b-a|。2假设fx的图像有两个对称中心a，0和b，0，ab，那么fx必定为周期函数，其中一个周期为2|b-a|。3假设fx的图像有一个对称轴x=a和一个对称中心b，0，ab，那么fx必定为周期函数，其中一个周期为4|b-a|。3、三角函数mLn倒数关系：商的关系：平方关系：平常针对不同条件的两个常用公式：一个特殊公式：二倍角公式：半角公式：三倍角公式：万能公式：两角和公式：和差化积公式：积化和差公式：口诀：奇变偶不变，符号看象限4、数学归纳法数学上证明与自然数N有关的命题的一种特殊方法，它主要用来研究与正整数有关的数学问题，在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立。例如：前n个奇数的总和是n2，那么前n个偶数的总和是：n2+n最简单和最常见的数学归纳法证明方法是证明当n属于所有正整数时一个表达式成立，这种方法由下面两步组成：递推的根底：证明当n=1时表达式成立递推的依据：证明如果当n=m时成立，那么当n=m+1时同样成立1第一数学归纳法证明当n取第一个值n0时命题成立，n0对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况假设n=kkn0，k为自然数时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立（2） 第二数学归纳法对于某个与自然数有关的命题Pn验证n=n0时Pn成立假设n0nk时Pn成立，并在此根底上，推出Pk+1成立3倒推归纳法验证对于无穷多个自然数n命题Pn成立假设Pk+1成立，并在此根底上，推出Pn成立4螺旋式归纳法对两个与自然数有关的命题验证n=n0时Pn成立假设Pkkn0成立，能推出Qk成立，假设Qk成立，能推出Pk成立。5、初等函数的含义概念：初等函数是由幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数与常数经过有限次的有理运算以及有限次数函数复合所产生，并且能用一个解析式表示的函数。【有理运算：加、减、乘、除、有理数次乘方、有理数次开方】【根本初等函数：对数函数、指数函数、幂函数、三角函数、反三角函数】6、 二项式定理：即二项展开式，即a+bn的展开式7、高等数学中代换法运用技巧倒代换把原式中的一个变元或原式中的一局部用另一个变元的倒数来代替，此种方法被称为“倒代换法增量代换假设题目中xm，那么引入辅助元x=m+aa0，再将辅助元代入题中解题。此种代换方法称为“增量代换法三角代换双代换：引入两个辅助元进展代换8、其他一些知识点10不是正数，不是负数。是自然数。0是偶数，偶数分为：正偶数、负偶数和0（2） 正偶数称为“双数（3） 正常数：常数中的正数（4） 质数：又称“素数。一个大于1的自然数，如果除了1和它自身以外，不能被其他自然数整除的数，否那么称为“合数。最小的质素数是2。1既不是素数，也不是合数。（5） exp：高等数学中，以自然对数e为底的指数函数（6） 在数学符号中，sup表示上界；inf表示下界（7） ：表示恒等于（8） 0的阶乘是1.阶乘是一个递推定义，递推公式为：n！=nn-1！因为1的阶乘为1，即1！=1×0！，故0！=1【第二局部】函数与极限常用结论等价无穷小很重要其中，e为初等函数，又称“幂指函数，e即根据此公式得到，e2.718一些重要数列的极限：另一些重要的数列极限：列举一些趋向于0的函数：柯西极限存在准那么：柯西极限存在准那么又叫柯西收敛原理。给出了极限收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数，存在这样的正整数N，使得当mN，nN时就有|xn-xm|。这个准那么的几何意义表示，数列Xn收敛的充分必要条件是：该数列中足够靠后的任意两项都无限接近。夹逼定理的两个条件：左右极限存在；左右极限相等【极限计算的技巧总结不包含教材介绍的方法以及公式：】1洛比达法那么设函数f(x和F(x满足以下条件：xa时， f(x)=0,F(x)=0;在点a的某去心邻域内f(x与F(x都可导，且F(x的导数不等于0;xa时，(f'(x)/F'(x)存在或为无穷大那么 xa时，(f(x)/F(x)=(f'(x)/F'(x)2等价无穷小一般要将变量的取值变为趋向于0的代数式，如x，令t=1/x无穷小的概念：高阶无穷小：当=0时，如果B/A)=0,就说B是比A高阶的无穷小低阶无穷小：当=0时，如果B/A)=,就说B是比A低阶的无穷小如果B/A)=KK0,1，就说B是A的同阶非等价无穷小等价无穷小：B/A=1，就说B为A的等价无穷小3斯托尔茨定理设数列单调增加到无穷大，那么（5） 求两个数列之商的极限，在两数列都具有高次项的情况下，可以直接比拟最高次项而忽略较低次项，该原理仅仅限于无穷数列，对于有穷数列不能直取。（6） 分母趋近于0，而分子不为0，其极限不存在或无穷（8） 在计算极限题目中，假设题目中同时出现、或者、时，令t=或（9） 在求极限的过程中如果遇到n次项等高次项而无法解题时，一般可以通过借助进展消去高次项的运算，有的也可以使用泰勒公式。（10） 计算极限时出现出现或者的形式，应用泰勒公式计算。（11） 三个重要的结果12有的题目涉及递推公式、数列问题如：函数的连续性和连续点问题1如何讨论并确定函数的连续性？假设该函数是初等函数，那么该函数在其定义域区间均连续假设是一元函数，那么可对其求导，其导数在某点上有意义那么函数在该点必然连续可导必连续求助极限，函数在该点极限等于函数在该点函数值，计算时注意左右极限2连续点问题连续点的分类：3一致连续与不一致连续【第三局部】导数与微分法线斜率和切线斜率相乘等于-1切线与法线垂直反函数求导：反函数导数×原函数导数=1或写成：常见的函数的导数根底函数求导：y=fx亦称为“零阶导数函数的零阶导数就是其本身隐函数：Fx，y=0，y=fx带入即可得到F【x，fx】=0，满足该恒等式即为隐函数国际数学通用标记：易错点：求导时，不能将y与fx等同。二者导数未必一致【带有绝对值的函数该如何求导？】带有绝对值的函数脱掉绝对值符号后是一个分段函数，应当分段求导。特别应注意的是，分段点的导数严格来讲，应当按定义来求。【经典题型总结】（1） 设函数fx在x0时可导，且对任何非零数x，y均有f(x·y)=f(x)+f(y),又f(1)存在。证明当x0时，f(x)可导。证：令x=1，由f(x·y)=f(x)+f(y)得：f(y)=f(1)+f(y)，所以：f(1)=0对任何x0，由题设及导数定义知，高阶导数：1高阶导数的运算法那么（2） 【浅谈高阶导数的求法】高阶导数求法一般包括6种方法，即根据高阶导数定义求之；利用高阶导数公式求之；利用莱布尼茨公式求之；用复合函数的求导法那么求之；用泰勒公式求之；穿插法，等等。定义法：运用求导公式，求导法那么求导，n阶导数一般比拟其规律性高阶求导公式：把高阶求导公式化为代函数之和，分别求之莱布尼茨公式求导：当所求导数的函数是两个函数的乘积时，宜用莱布尼茨公式求之。特别地，当其中一个函数的高阶导数为0，可以用此公式求之；两个因子中，其中有一个函数的各阶导数有明显的规律性时，可以用此公式。复合函数求导法：复合函数求导法那么还可以推广到屡次复合的情形。在求导时，能从外层向内层逐层求导，一直求到对自变量求导数为止。假设存在单值反函数，常用复合函数求导法那么，求其反函数的高阶导数。【名词释义】单值反函数：假设对定义域每一个自变量x，其对应的函数值fx是唯一的，那么称fx是单值函数。反过来，对于任何一个函数值y，都有唯一的一个自变量x与之相对应，那么此时称y=fx为单值反函数。泰勒公式求导法证明题：证明一函数隐函数处处可导：那么应先根据题意找出几个关键的点，然后根据导数的根本公式：进展判定证明fx=a，即证Fx=fx-a=03局部初等函数的高阶导数一阶导数：切线斜率二阶导数：曲线曲率关于曲线凹凸性的两个定理及应用【经典题型总结】X=ftY=t·ft-ft1设 ft存在且ft0，求2函数的二阶导数等于原函数，求该函数表达式（3） fx、gx都可导，且满足：fx=gx、fx=gxf0=0；g0=1。证明：g2x-f2x=1证：由上可知，fx=fx【微分：】自变量的改变量等于自变量的微分导数又称“微商。微分四那么运算：设u=ux、v=vx在点x处均可微，那么u±v、u×v、u/vv0在x处都可微，且：截距的性质：截距不是距离，所以截距是有正负的拐点：在数学上，拐点是指改变曲线向上或者向下方向的点。直观地说，拐点是使切线穿越曲线的点即曲线的凹凸分界点。假设该曲线的图形函数在拐点有二阶导数，那么二阶导数必为零或者不存在驻点：函数的导数为0的点称为函数的驻点可导、可微、连续、极限之间的关系？可导 <=> 可微可导(可微 => 连续 => 极限存在 <=> 左极限、右极限都存在且相等箭头反方向的话不一定成立可导 => 左导数、右导数都存在且相等连续 => 左连续且右连续 + 极限值等于函数值 连续 <=> 极限存在且等于函数值 极限存在 <=> 左极限、右极限都存在且相等在某点处左、右极限是否存在与该点处函数是否有定义无关【第四局部】微分中值定理及导数的应用1费马定理设fx在点x0处取到极值，且fx0存在，那么fx0=0。2罗尔定理如果函数f(x)满足：在闭区间a,b上连续;在开区间(a,b)内可导;在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在(a,b)内至少有一点(a<<b)，使得 f'()=0.3拉格朗日中值定理如果函数 f(x) 满足:1闭区间a,b上连续2开区间(a,b)内可导。那么:在(a,b)内至少有一点(a<<b)，使等式 f(b)-f(a)=f()(b-a) 成立。4柯西中值定理如果函数f(x)及F(x)满足：1在闭区间a,b上连续;2在开区间(a,b)内可导;3对任一x(a,b)，F'(x)0。那么在(a,b) 内至少有一点，使等式f(b)-f(a)/F(b)-F(a)=f'()/F'()成立。5泰勒公式与麦克劳林公式泰勒公式：假设函数f(x)在开区间(a，b)有直到n+1阶的导数，那么当函数在此区间内时，可以展开为一个关于(x-x.)多项式和一个余项的和:f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!·(x-x.)2,+f'''(x.)/3!·(x-x.)3+f(n)(x.)/n!·(x-x.)n+Rn其中Rn=f(n+1)()/(n+1)!·(x-x.)(n+1),这里在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。麦克劳林公式：假设函数f(x)在开区间(a，b)有直到n+1阶的导数，那么当函数在此区间内时，可以展开为一个关于x多项式和一个余项的和:f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!·x2,+f'''(0)/3!·x3+f(n)(0)/n!·xn+Rn其中Rn=f(n+1)(x)/(n+1)!·x(n+1),这里0<<1.两个重要且特殊的麦克劳林公式：6函数的单调区间与极值单调区间：设fx在区间II可以是开区间，可以是闭区间，也可以是半开半闭区间上连续，在区间I内部可导假设xI内部，fx0，那么fx在区间I上递增假设xI内部，fx0，那么fx在区间I上递减假设xI内部，fx0，那么fx在区间I上是一个常值函数极限与极值：判定极限的方法：fx=0，fx0，那么fx一定是极限fx=0，fx0，那么fx取极大值fx=0，fx0，那么fx取极小值【误点解析】：使用洛必达法那么之后极限不存在，不能直接说原极限不存在双阶乘：相隔的两个数相乘：如5！=5×3×1不动点：gt=t的点叫做不动点fx gx满足此条件，即可证明fx、gx在x0处n阶相切fx = gxfx = gxfx = gx .f(n)x= g(n)x曲率：4圆的各个位置的曲率是一样的，都是半径的倒数反函数：如果函数的导数不为0，那么该函数在定义域区间上有反函数【例谈微分中值定理辅助函数的构造模式与方法一】辅助函数是解决许多数学问题的有效工具，中值定理及推导过程中用到了演绎、分析分类等数理逻辑方法和一些具体的方法。如构造辅助函数等等，下面就介绍几种重要的构造辅助函数的方法。1凑导数法例如：设函数fx在【a、b】上连续，在a、b内可导，证明：存在a、b，使得2【fb-fa】=b2-a2·f证明：令Fx=x2【fb-fa】-b2-a2·fx即可2几何直观法例如：如果fx在【0、1】上可导，且0fx1，对于任何x0,1都有fx1，试证在0,1有且仅有一点，使得f=证：令gx=fx-x再用反证法证明其唯一性3常数值法K在构造函数时，假设表达式关于端点处的函数值具有对称性，通常用常数K值法来构造辅助函数。这种方法一般选取所政等式中含的局部作为K，即将常数局部别离出来令其得K，恒等式变形，令一端为a与fa的代数式，另一端为b与fb的代数式，将所证等式中的端点值a或b改为变量x，移项即为辅助函数Fx。再用中值定理，待定系数法等方法确定K。一般来说，当问题涉及到高阶导数时，往往考虑屡次运用中值定理，更多时要考虑运用泰勒公式。例如：设fx在【a、b】上连续，在a、b上可导。0ab。试证明证：4倒推法这种证明方法从要证的结论出发，借助与逻辑关系导出的条件和结论。例如：设fx在【a、b】0ab上连续，在a，b内可导，且证：构造函数：f·+f=0即可5乘积因子法对于某些要证明的结论，往往出现函数的导数与函数之间关系的证明。直接构造函数往往比拟困难，将所证的结论两端同时乘以或除以一个恒为正或负的函数，证明的结论往往不受影响。例如：假设fx在【a、b】上连续，在a、b内可导，且fa=fb6介值法证明中，引入辅助函数gx=fx-·x。将原问题转化为【a、b】内可导函数gx的最大值或最小值至少有1个必在内点到达，从而可通过gx在【a，b】上的可导条件，直接运用费马定理完成证明。例如：证明假设fx在【a，b】上可导，那么fx可取到fa与fb之间的一切值7别离变量法拉格朗日与柯西中值定理常用来解决多个中值的问题。以两个中值的情况为例说明如下：假设要证明存在、a，b，使得fa，b，=0.那么通常应将函数fa，b，=0改写成“变量别离的形式，即ha，b=·或者ha，b=+的形式，然后观察、是否分别拉格朗日公式的右侧。【例谈微分中值定理辅助函数的构造模式与方法二】1使用罗尔定理时用“积分法或“解微分方程法构造辅助函数。使用“积分法构造辅助函数的根本步骤：将结论等式中的换成x；对第一步的结果进展变形，使两边求积分；两边求不定积分；把第三步的结果化成C=Fx的形式，其中C为任意常数，且fx中不含有C；最后的Fx就是所要构造的辅助函数。（2） 使用拉格朗日定理用“单边积分法构造辅助函数。所谓的单边积分法就是：假设所要证明的等式中只含有，就是把有的函数式与常数项别离到两边，将换成x后进展单侧积分求出原函数即为辅助函数。假设所要证明的等式中含有和，就把含有的函数式与含有的函数式别离到等式两边，将换成x后进展单侧积分求出原函数即为辅助函数；将换成x后进展单侧积分求出原函数即为另一辅助函数。3使用柯西中值定理时用“上下积分法构造辅助函数有些问题把结论等式中的换成x后移到等式一边，假设是分式且不能进展单边积分求原函数，可以考虑对分式的分子和分母分别进展积分，求各自的原函数，称为“上下积分法。例如：设f(x)在【a，b】上连续，在a，b内可导。且a0.存在、a,b),使f()=分析：所给要证等式含有和的等式已经在等号两边。将换成x后进展单侧积分求出原函数f(x),即为一辅助函数；另将换成x后得到,分别对分子分母进展积分求出原函数a+bfx和x2，作为可使用柯西定理的两个辅助函数。证明：因为f(x)在上连续，在a，b内可导，且a0，所以fx在上满足拉格朗日定理的条件，存在和a，b使又对f(x)和x2使用柯西定理有：存在a，b，使即：所以：【微分中值定理在不等式证明中的运用】1拉格朗日中值定理要证明的命题如果是区间内至少有一点大于小于0，可以尝试使用拉格朗日中值定理。在应用时，可以先构造辅助函数fx，并确定使用拉格朗日中值定理的区间，对fx在区间上使用拉格朗日定理，再根据与a、b之间的关系加强不等式。2柯西中值定理在研究两个函数的变量关系时，我们会想到柯西中值定理。在用柯西中值定理证明不等式命题时，关键是要在对结果进展整理、变形的根底上，找出满足柯西中值定理的那两个函数。在应用柯西中值定理时，可以先构建两个辅助函数。能用拉格朗日中值定理证明的不等式一定可以用柯西中值定理证明。3泰勒定理及其应用如果想证明不等式中或者题设中含有一阶以上的导数时，一般利用泰勒定理比拟方便。泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广，随着研究导数的深入，高阶导数也经常出现，然而也正是泰勒定理表达的价值之处，去分析高阶导数的有关问题时，泰勒中值定理的应用非常广泛，它除了在高阶导数一些简单的应用以外，在证明不等式时应用也很方便。特别在某点的函数或高阶导数的符号时，用泰勒公式证明某些不等式较为方便。. .word.