2022年二轮复习专题八第2讲数形结合思想.pdf

第 2 讲数形结合思想1数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质2运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：(1)等价性原则在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应(2)双方性原则既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错(3)简单性原则不要为了“数形结合”而数形结合具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线3数形结合思想解决的问题常有以下几种：(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围(2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围(3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系(4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式(5)构建立体几何模型研究代数问题(6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题(7)构建方程模型，求根的个数(8)研究图形的形状、位置关系、性质等4数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效， 这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度具体操作时，应注意以下几点：(1)准确画出函数图象，注意函数的定义域(2)用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整，以便于作图)，然后作出两个函数的图象，由图求解精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 热点一利用数形结合思想讨论方程的根例 1(2014 山东 )已知函数 f(x)|x2|1， g(x)kx， 若方程 f(x)g(x)有两个不相等的实根，则实数 k 的取值范围是 () A(0，12) B(12，1) C(1,2) D(2， ) 答案B 解析先作出函数f(x)|x2|1 的图象，如图所示， 当直线 g(x)kx 与直线 AB 平行时斜率为1，当直线 g(x)kx 过 A 点时斜率为12，故 f(x)g(x)有两个不相等的实根时，k 的范围为 (12，1)思维升华用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、 三角等复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数设函数 f(x)x2bx c，x0，2， x0，若 f(4)f(0)，f(2) 2，则关于 x 的方程f(x)x 的解的个数为 () A1 B2 C3 D4 答案C 解析由 f(4)f(0)，f(2) 2，解得 b4，c2， f(x)x24x2，x0，2， x0.作出函数 yf(x)及 yx 的函数图象如图所示，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 由图可得交点有3 个热点二利用数形结合思想解不等式、求参数范围例 2(1)已知奇函数f(x)的定义域是 x|x0，xR，且在 (0， )上单调递增， 若 f(1)0，则满足 x f(x)0 的 x 的取值范围是 _(2)若不等式 |x2a|12xa1 对 xR 恒成立，则a 的取值范围是_答案(1)(1,0)(0,1)(2)，12解析(1)作出符合条件的一个函数图象草图即可，由图可知x f(x)0，所以 m21，故 m 的取值范围是m21. (2)令 y19x2，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - - y2k(x2)2，在同一个坐标系中作出其图象，因9x2k(x2)2的解集为 a，b且 ba2. 结合图象知b3，a1，即直线与圆的交点坐标为(1,22)又因为点 (2，2)在直线上，所以 k222122. 热点三利用数形结合思想解最值问题例 3(1)已知 P 是直线 l：3x4y80 上的动点， P A、PB 是圆 x2 y22x2y10 的两条切线， A、B 是切点， C 是圆心，则四边形PACB 面积的最小值为_(2)已知点 P(x，y)的坐标 x，y 满足x2y10，|x|y10，则 x2y26x9 的取值范围是() A2,4 B2,16 C4,10 D4,16 答案(1)22(2)B 解析(1)从运动的观点看问题，当动点P 沿直线 3x4y80 向左上方或右下方无穷远处运动时，直角三角形PAC 的面积SRtPAC12|PA| |AC|12|PA|越来越大，从而S四边形 PACB也越来越大；当点P 从左上、右下两个方向向中间运动时，S四边形 PACB变小，显然，当点P 到达一个最特殊的位置，即 CP 垂直直线 l 时， S四边形 PACB应有唯一的最小值，此时 |PC|31418|32423，从而 |PA|PC|2|AC|222. 所以 (S四边形 PACB)min212|PA|AC|22. (2)画出可行域如图， 所求的 x2y26x9(x3)2y2是点 Q(3,0)到可行域上的点的距离的平方，由图形知最小值为Q 到射线x y10(x0)的距离 d 的平方，最大值为|QA|216. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - - d2(|301|12 12)2( 2)22. 取值范围是 2,16 思维升华(1)在几何的一些最值问题中，可以根据图形的性质结合图形上点的条件进行转换，快速求得最值(2)如果 (不)等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，就要考虑用数形结合的思想方法来解题，即所谓的几何法求解(1)(2013 重庆 )设 P 是圆 (x3)2(y1)24 上的动点， Q 是直线 x 3 上的动点，则 |PQ|的最小值为 () A6 B4 C3 D2 (2)若实数 x、y 满足xy10，x0，y2，则yx的最小值是 _答案(1)B(2)2 解析(1)由题意，知圆的圆心坐标为(3，1)，圆的半径长为2，|PQ|的最小值为圆心到直线x3 的距离减去圆的半径长，所以|PQ|min3(3)24.故选 B. (2)可行域如图所示又yx的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率k. 由图知，过点A 的直线 OA 的斜率最小联立xy10，y2，得 A(1,2)，所以 kOA20102.所以yx的最小值为2. 1在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面区域、向量的几何意义、复数的几何意义等都实现以形助数的途径，当试题中涉及这些问题的数量关系时，我们可以通过图形分析这些数量关系，达到解题的目的2有些图形问题， 单纯从图形上无法看出问题的结论，这就要对图形进行数量上的分析，通过数的帮助达到解题的目的精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 3利用数形结合解题，有时只需把图象大致形状画出即可，不需要精确图象4数形结合思想常用模型：一次、二次函数图象；斜率公式；两点间的距离公式(或向量的模、复数的模 )；点到直线的距离公式等. 真题感悟1(2013 重庆 )已知圆C1：(x2)2(y3)21，圆 C2：(x3)2(y4)29，M，N 分别是圆 C1，C2上的动点， P 为 x 轴上的动点，则|PM|PN|的最小值为 () A5 24 B.171 C62 2 D.17 答案A 解析设 P(x,0)，设 C1(2,3)关于 x 轴的对称点为C1(2， 3)，那么 |PC1|PC2|PC1 |PC2|C1C2|232 3 425 2. 而|PM|PN| |PC1|PC2|4524. 2(2014 江西 )在平面直角坐标系中，A，B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆 C 与直线 2xy40 相切，则圆C 面积的最小值为() A.45 B.34C(62 5) D.54答案A 解析 AOB90 ，点 O 在圆 C 上设直线 2xy40 与圆 C 相切于点 D，则点 C 与点 O 间的距离等于它到直线2xy40 的距离，点 C 在以 O 为焦点，以直线2xy40 为准线的抛物线上，当且仅当O，C，D 共线时，圆的直径最小为|OD|. 又|OD|2004|545，圆 C 的最小半径为25，圆 C 面积的最小值为(25)245.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 3 (2013 课标全国 )已知函数 f(x)x22x，x0，ln x1 ，x0.若|f(x)|ax， 则 a的取值范围是() A(， 0 B(， 1 C2,1 D2,0 答案D 解析函数 y|f(x)|的图象如图当 a0 时， |f(x)|ax 显然成立当 a0 时，只需在x0 时，ln(x1)ax 成立比较对数函数与一次函数yax 的增长速度显然不存在a0 使 ln(x1)ax 在 x0 上恒成立当 a0 时，只需在x0，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 且 x1 x2a32，x1x2a1，联立可得0a0，且 x3 x4a32，x3x4a1，联立可得a9，综上知， 0a9. 押题精练1方程 |x22x|a21(a0)的解的个数是 () A1 B2 C3 D4 答案B 解析(数形结合法 ) a0，a211. 而 y|x22x|的图象如图，y|x22x|的图象与ya21 的图象总有两个交点2不等式 |x3|x1|a23a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为 () A(， 14， ) B(， 25， ) C1,2 D(， 12， ) 答案A 解析f(x)|x3|x1|4x3 ，2x2 3x0，kPA0，故 k0 时，为锐角又 kPA2 110 1，kPB11021，1k1. 又当 0k1 时，0 4；当 1k0 时，34 .故倾斜角的取值范围为 0，434，)4(2013 山东 )在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组2x3y60，xy20，y0所表示的区域上一动点，则 |OM|的最小值是 _答案2 解析由题意知原点O 到直线 xy20 的距离为 |OM|的最小值所以 |OM|的最小值为222. 5(2013 江西 )过点 (2，0)引直线 l 与曲线 y1x2相交于 A、B 两点， O 为坐标原点，当AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率为 _答案33解析 SAOB12|OA|OB|sinAOB12sinAOB12. 当AOB2时， SAOB面积最大此时 O 到 AB 的距离 d22. 设 AB 方程为 yk(x2)(k0，且方程 F(x) a2有且仅有四个解，求实数a 的取值范围解函数 g(x)bx2ln x 的定义域为 (0，)，(1)f(x)3ax23a? f(1)0，g(x)2bx1x? g(1)2b1，依题意得 2b10，所以 b12. (2)x(0,1)时， g(x)x1x0，即 g(x)在(1，)上单调递增，所以当 x1 时， g(x)取得极小值g(1)12；当 a0 时，方程 F(x)a2不可能有四个解；当 a0，x(， 1)时， f(x)0，即 f(x)在(1,0)上单调递增，所以当 x 1时， f(x)取得极小值f(1)2a，又 f(0)0，所以 F(x)的图象如图 (1)所示，从图象可以看出F(x)a2不可能有四个解当 a0，x(， 1)时， f(x)0，即 f(x)在(， 1)上单调递增，x(1,0)时， f(x)0，即 f(x)在(1,0)上单调递减，所以当 x 1时， f(x)取得极大值f(1)2a. 又 f(0)0，所以 F(x)的图象如图 (2)所示，从图 (2)看出，若方程F(x)a2有四个解，则12a22a，所以，实数a 的取值范围是22，2 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - - -