2022年浅谈用复变函数理论证明代数学基本定理.docx

精品学习资源摘要相伴漫长的解方程历史探究中，数学家得出一元多次方程解与次数关系的代数学基本定理，始终以来，学者们给出了不同的方法来证明这个定理；代数学基本定理在代数学中占有特别重要的位置，这篇论文将表达代数学基本定理的内容，并用复变函数理论中的刘维尔定理、儒歇定理、辐角原理、最大模原理、最小模原理、留数定理、柯西定理来证明代数学基本定理，并对这些证明方法进行说明、比较与总结；关键词： 代数学基本定理；辐角原理； 最大模原理； 最小模原理AbstractWith a long history of exploration in the solution of equations, mathematicians come to a dollar many times the relationship between the number of equations and the fundamental theoremof algebra, has been, have given differentways to prove the theorem. Fundamental theorem of algebra in the algebra plays a very important position, this paper will describe the contents of the fundamentaltheorem ofalgebra and complexfunctiontheorywiththe Liouvilletheorem, Confucianismbreak theorem, argument principle,maximummodulus principle,the minimum Modulusprinciple,residue theorem, Cauchy's Theorem to prove the fundamental theorem of algebra, and the proof are described, compared and summarized.Keywords ： Fundamentaltheoremofalgebra ； Argumentprinciple ； maximummodulus principle ；minimum modulus principle欢迎下载精品学习资源目录前言 11 代数学基本定理的第一种陈述方式的证明11. 1 利用刘维尔定理证明 11.1.1 刘维尔定理 11.1.2 证明过程 11.2 利用最大模定理证明 21.2.1 最大模原理 21.2.2 证明过程 21.3 利用最小模定理证明 31.3.1 最小模原理 31.3.2 证明过程 31.4 利用柯西定理证明 41.4.1 柯西定理 41.4.2 证明过程 42 代数学基本定理的其次种陈述方式的证明52.1 利用儒歇定理证明 52.1.1 儒歇定理 52.1.2 证明过程 62.2 利用辐角原理证明 62.2.1 辐角原理 62.2.2 证明过程 62.3 利用留数定理证明 72.3.1 留数定理 72.3.2 证明过程 8参考文献 9致谢 9欢迎下载精品学习资源浅谈用复变函数理论证明代数学基本定理前言n1代数学基本定理在代数学中占有特别重要的位置；代数学基本定理的第一种陈述方式欢迎下载精品学习资源为：“任何一个一元n 次多项式pza znan 1.a1za 0 在复数域内至少有欢迎下载精品学习资源nzn1一 根 ” ， 它 的 第 二 种 陈 述 方 式 为 ： “ 任 何 一 个 一 元 n 次 多 项 式欢迎下载精品学习资源p za znan 1.a1za 0 在复数域内有 n 个根，重根按重数运算”，这两种欢迎下载精品学习资源nz陈述方式实际上是等价的；此定理如用代数的方法证明，有些将是极其复杂的；但是，如欢迎下载精品学习资源果我们将复数域懂得为复平面，将pn z 的根懂得为它在复平面上的零点，那么我们就可欢迎下载精品学习资源以借助复变函数的理论去证明代数学基本定理；这种证明方法比较简洁，方法也有多种， 本文提出几种证明方法，其中个别方法在常见的复变函数的教材中已有涉及，如用刘维尔定理和儒歇定理证明代数学基本定理，但仍是有一些方法在复变函数教材中并未涉及；本论文将对利用复变函数中的相关定理证明代数学基本定理作进一步的探讨；1 代数学基本定理的第一种陈述方式的证明1.1 利用刘维尔定理证明1.1.1 刘维尔定理刘维尔定理：有界整函数必为常数；欢迎下载精品学习资源证明：f z 是有界整函数，即M0, ，使得zC ，f zM欢迎下载精品学习资源z0C ,0, ,f z 在 z zz0上解读f z0M欢迎下载精品学习资源令，可见z0C ， f z0 0 ，从而f z 在 C 上恒等于常数；欢迎下载精品学习资源1.1.2 证明过程n1假设 p z 在 z 平面上无零点欢迎下载精品学习资源n令 p za z nan 1z.a1 za0 为整函数欢迎下载精品学习资源且当 z时，p zz anan 1z.a0 zn欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源对 f z1pzn而言，是整函数欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源又limzf z0欢迎下载精品学习资源f z 在 C上有界欢迎下载精品学习资源由刘维尔定理：f z 为常数，与p z 不是常数冲突欢迎下载精品学习资源一元 n 次方程在 C 内至少有一个根；刘维尔定理应用特别广泛；用刘维尔定理做证明题经常见的方法有两种：一种是利用反证法来证明，另一种是构造帮助函数来证明；而在刘维尔定理证明代数学基本定理的过程中奇妙地把这两种方法结合了起来；它的证明思路很清楚：利用反证法，欢迎下载精品学习资源并构造帮助函数f z1，由p zf z 为整函数且在C上有界，得到f z 为常欢迎下载精品学习资源数，这与假设相比得出冲突，从而得出结论一元n 次方程在 C 内至少有一个根；它的证明过程也很简洁，很简洁让初学者懂得和把握；1.2 利用最大模定理证明1.2.1 最大模原理欢迎下载精品学习资源最大模原理：设函数f z 在区域 D 内解读，且恒不为常数，就f z在区域 D 内任欢迎下载精品学习资源意点都取不到最大值；欢迎下载精品学习资源证明：假定f z 在 D 内不恒等于一常数，那么D1f D 是一区域欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源设 f z在 z0D 达到极大值欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源明显， w0f z0D1 , 而且w0 必有一充分小的邻域包含在D1 内欢迎下载精品学习资源于是在这邻域内可找到一点w 满意 ww0欢迎下载精品学习资源从而在 D 内有一点 z 满意wf z 以及f z f z0 ，这与所设冲突欢迎下载精品学习资源因此 f z 在 D 内恒等于一常数；1.2.2 证明过程欢迎下载精品学习资源假设 p zzna zn 1.an 在 z 平面上没有零点，即p z0欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源就 gz11p z在 z 平面上解读欢迎下载精品学习资源明显当 zR 且 R 充分大时欢迎下载精品学习资源有 pzz n 1a1 z.anznRn 1a1 Ran.n R1 Rn2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源因此，在 zR 上且 R 充分大时，有2g z12pzRn欢迎下载精品学习资源由最大模原理，有maxz Rg znR1R2欢迎下载精品学习资源特殊地，在 z0 处，有 anp0g02欢迎下载精品学习资源而这对于充分大的R 明显不成立欢迎下载精品学习资源这就说明白“p z 在 z 平面上没有零点”的假设是不成立的欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源从而可以得到p z 在 z 平面至少有一个零点欢迎下载精品学习资源即一元 n 次方程在 C 内至少有一个根；1.3 利用最小模定理证明1.3.1 最小模原理欢迎下载精品学习资源最 小 模 原 理 ： 如 区 域 D 内 不 恒 为 常 数 的 解 读 函 数f z， 在 D 内 的 点z0 有欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源f z0 0 ，就f z0 不行能是f z在 D 内的最小值；欢迎下载精品学习资源1.3.2 证明过程欢迎下载精品学习资源设 pzzna zn 1.an欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源1假设zC 平面，有pz0 ，并且p 0an0欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源又由于p z 在 C 平面上解读，且不为常数欢迎下载精品学习资源所以由最小模原理知：欢迎下载精品学习资源R0, minp z只能在 zR上取得（ #）欢迎下载精品学习资源z R欢迎下载精品学习资源另 一 方 面 ，limzp z， 从 而 当R充 分 大 时 ， 在 zR 上 有欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源pzanp0，就这与（ #）式冲突，所以假设不成立欢迎下载精品学习资源即 pz 在复平面 C 上至少存在一个零点亦即一元 n 次方程在 C 内至少有一个根；最小模原理与最大模原理在证明代数学基本定理的时候的证明方法是极其相像的：首欢迎下载精品学习资源先都是假设一元 n 次方程在 C 内无零点，然后通过f z在区域 D 内某一点能取到最大值欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源或最小值，但是pz 却不是常数，与定理的内容产生冲突，从而得出一元n 次方程在 C欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源内至少有一个根；这两个定理证明的关键之处是找到f z在区域 D 内能达到最大值或最欢迎下载精品学习资源小值的某一点，假如找到了这一点，那么我们所要解决的问题就会迎刃而解了；1.4 利用柯西定理证明欢迎下载精品学习资源1.4.1 柯西定理柯西定理：设函数f z 在整个 z 平面上的单连通区域D 内解读， C 为 D 内任何一条欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源简洁闭合曲线，那么n11.4.2 证明过程f zdz0 ；c欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源设 p za z nan 1z.a1 za0 ，其中 n1， an0欢迎下载精品学习资源n假设 p z 在 z 平面上无零点，即对任意z ，有 p z0欢迎下载精品学习资源p' z于 是1zpz在 z 平面解 读，由 柯西 定理p' zdzn2c p z0 （ 其中 C 是 圆周 zR ）欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源（1）另一方面，p ' znn= nan zn1n1 an 1.a1欢迎下载精品学习资源pza znan 1z.a1 za0欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源n1n1 an 1 1.1 a11 欢迎下载精品学习资源nanzn anzn 1欢迎下载精品学习资源z1an 1 1 anz.a01 nazn欢迎下载精品学习资源n 12qz欢迎下载精品学习资源其中函数q z 满意当 z时，一样趋于零；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源又由于1dz2 ic z欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源z所以qz dzmax qzd z欢迎下载精品学习资源cz Rcz欢迎下载精品学习资源2max qz0 ，当 zR（ 2）欢迎下载精品学习资源zR欢迎下载精品学习资源故 lim 1 dzqzdzn欢迎下载精品学习资源Ric zcz比较 1 与 2 得 n0 ，这与定理的条件冲突所以 p z 在平面上至少有一个零点即一元 n 次方程在 C 内至少有一个根；以上四种证明方法均采纳反证法，假设一元 n 次方程在 C 内无零点，通过证明，得到的结论都是代数学基本定理的第一种陈述方式：“一元 n 次方程在 C 内至少有一个根”；2 代数学基本定理的其次种陈述方式的证明2.1 利用儒歇定理证明2.1.1 儒歇定理儒歇定理：设 D 是在复平面上的一个有界区域，其边界 C 是一条或有限条简洁闭合曲欢迎下载精品学习资源线 ； 设 函 数f z 及gz在 D 及 C 所 组 成 的 闭 区 域 D 上 解 读 ， 并 且 在 C 上 ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源g zf z，那么在 D 上，f z 及f zgz的零点的个数相同；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源证明：由于在 C 上，g zf z， 可见f z 及f zg z在 C 上都没有零点；假如欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源N 及 N分别是f z 及f zg z 在 D 内的零点的个数 ，那么有欢迎下载精品学习资源2 Nc arg f z ，2 Nc arg f zg z欢迎下载精品学习资源argf zarg1g z 欢迎下载精品学习资源ccf z欢迎下载精品学习资源下面证明 NN , 为此只需证明c arg1g z 0欢迎下载精品学习资源当 zC 时，g zf z，从而点 wf z1g zf z，总在 w平面上的圆盘w11内，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源当 z 在 C j上连续变动一周时，arg w从起始值连续变动仍旧回到它的起始值（不环绕欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源jw0 ）, 亦即c arg1g z 0 f z， 于是c arg1g z 0 得证，从而定理得证； f z欢迎下载精品学习资源n12.1.2 证明过程欢迎下载精品学习资源n1设 p za z nan 1z.a1 za0欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源nna令 f za zn ，g zan 1z.a1 za0欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源当在充分大的圆周zR 上时（不妨取 Rmax1,n 1.a1a0）n1n1an欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源n1g zan 1z.a1 za 0an 1 R.a1 Ra 0欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源 an 1an 2.a0 Rf z欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源由儒歇定理：pzf zg z 与gz 在 C 内部有相同个数的零点，即n 个零点欢迎下载精品学习资源原方程在 C 内有且仅有 n个根欢迎下载精品学习资源这个证明的突破点在于取Rmax1, an 1.a1ana0之后就能顺当地得到，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源gzf z然后由儒歇定理就能得到结论：原方程在C 内有且仅有 n 个根；，欢迎下载精品学习资源2.2 利用辐角原理证明欢迎下载精品学习资源2.2.1 辐角原理辐角原理：设f z 在闭围线 C 上解读，在其内部除了n个极点外解读，在C 上不为欢迎下载精品学习资源零，而在 C 的内部有 m个零点，而一个 n 级极点算作 n 个极点；a) 它们在 C 的内部均解读，且连续到C欢迎下载精品学习资源b) 在 C 上，f zw z欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源就函数f z 与f zwz 在 C 的内部有同样多 n 级算作 n 个 的零点；欢迎下载精品学习资源2.2.2 证明过程欢迎下载精品学习资源设 p za zna zn 1.an （ a00 ）欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源01明显，p z有唯独奇点，它是pz 的 n 级极点，即 limzp z，所以，作一个欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源充分大的圆C : zR ， R 充分大，就p z的全部零点都在 C 内，设pz的全部零点个欢迎下载精品学习资源1p' z欢迎下载精品学习资源数为 M ，由辐角原理 Mdz（其中c : zR ）欢迎下载精品学习资源下面需证： Mn2ni cp z欢迎下载精品学习资源明显，由上式有欢迎下载精品学习资源12ni cp' z p zdzM*欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源表示函数p' z p z关于无穷远点的留数欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源而 p zza0a1.anznz欢迎下载精品学习资源nzz欢迎下载精品学习资源p' znpzz' zn zz z欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源其中 z 以无穷远点为不低于2 级的零点；从上式可知p' z p z关于无穷远点的留数为欢迎下载精品学习资源n ，因此，由（ * ）可知， Mn ，即证；2.3 利用留数定理证明2.3.1 留数定理留数定理：设 D 是在复平面上的一个有界区域，其边界是一条或有限条简洁闭合曲线欢迎下载精品学习资源C ；设函数f z 在 D 内除去有孤立奇点z1 ，z2 ，zn 外，在每一点都解读，并且它在欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源C 上每一点也解读；那么我们有f zdzcn2 iRe sk 1f , zk ，这里沿 C 的积分是依据关欢迎下载精品学习资源于区域 D 的正向取的；欢迎下载精品学习资源证明：以 D 内每一个孤立奇点zk 为心，作圆rk ，使以它为边界的闭圆盘上每一点都在欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源D 内，并且使任意两个这样的闭圆盘彼此无公共点；从D 中除去以这些rk 为边界的闭圆盘欢迎下载精品学习资源得一区域 G ，其边界是 C 以及rk ；在 G 及其边界所组成的闭区域G 上，f z 解读；因此欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源依据柯西定理，nf zdzf zdz ，这里沿 C 的积分是依据关于区域D 的正向取欢迎下载精品学习资源ck 1 rk欢迎下载精品学习资源的 ， 沿rk 的 积 分 是 按 反 时 针 方 向 取 的 ； 根 据 留 数 的 定 义 ， 由 此 可 立 即 推 出欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源f zdzcn2 iRes f , zk ；k 1欢迎下载精品学习资源n12.3.2 证明过程欢迎下载精品学习资源n设 p za z nan 1z.a1 za0欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源由 limzpz知，存在正数R ，当 zR时，有p z1欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源这就是说p z 的根只可能在圆盘zR之内，又由于p z 在 zR内解读欢迎下载精品学习资源1p' z欢迎下载精品学习资源由留数定理得：Ndz ， C : zR ， N 表示p z在 zR内部的零点欢迎下载精品学习资源2 i c p z欢迎下载精品学习资源个数另一方面，依据在无穷远点的留数定义，有p' zReszp' z p z12 i cp' z p zdz=N欢迎下载精品学习资源而当 zR时， z为pz的可去奇点欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源于是有p' z p znp z ，其中zp z 的最高次幂为 z 2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以，p' zRe sn，因此有 Nn欢迎下载精品学习资源zp z故 pz 在复平面上有且仅有n 个根这三种证明方法都是采纳直接证明的方法，得出代数学基本定理的其次种陈述方式：“一元 n 次方程在 C 内有且仅有 n 个根”；这些证明方法各有特长，在详细应用的时候可以做出适当的挑选，快速有效地解决问题；欢迎下载精品学习资源参考文献1 钟玉泉 . 复变函数论 M. 北京: 高等训练出版社 ,19982 余家荣 . 复变函数论 M. 北京: 高等训练出版社 ,20073 杨露. 代数学基本定理的推广 J.烟台师范学院学报 自然科学版 ,2000,162:150-1524 宫兆刚 . 复变函数理论证明代数学基本定理的几种方法J.衡阳师范学院学报 ,2007 年 6 月第 28 卷第 3期5 张庆. 利用复变函数的理论证明代数学基本定理J.河北职工高校学报 ,1999 年 5 月首卷第 1 期6 刘洪旭 . 代数学基本定理的引申及证明J.辽宁师专学报 ,2006 年 12 月第 8 卷第 4 期7 刘喜兰 . 代数学基本定理的几种非代数证明J.雁北师院学报 ,1996 年 12 月第 12 卷第 6 期致谢感谢老师的尽心指导！欢迎下载