2022年湘教版九级数学上册知识点归纳总结 .docx

九上第一章反比例函数（一）反比例函数1 （）可以写成（）的形式,留意自变量 x 的指数为,在解决有关自变量指数问题时应特殊留意系数这一限制条件；2 （）也可以写成 xy=k 的形式,用它可以快速地求出反比例函数解析式中的k,从而得到反比例函数的解析式；（二）反比例函数的图象与性质1. 函数解析式：（）2. 自变量的取值范畴：3. 图象：反比例函数的图象：在用描点法画反比例函数的图象时,应留意自变量x 的取值不能为 0, 且 x 应对称取点（关于原点对称）（ 1）图象的外形：双曲线越大,图象的弯曲度越小,曲线越平直越小,图象的弯曲度越大（ 2）图象的位置和性质： 自变量,函数图象与 x 轴、y 轴无交点 ,两条坐标轴是双曲线的渐近线 当时,图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内,y 随 x 的增大而减小；当时,图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内,y 随 x 的增大而增大（3）对称性：图象关于原点对称,如（a,b）在双曲线的一支上,（,）在双曲线的另一支上图象关于直线对称,即如（ a, b）在双曲线的一支上,就（, ）和（,）在双曲线的另一支上4. k 的几何意义 :如图 1,设点 P（ a, b）是双曲线上任意一点,作 PA x 轴于 A 点, PBy轴于 B 点,就矩形 PBOA的面积是（三角形 PAO和三角形 PBO的面积都是）如图 2,由双曲线的对称性可知,P 关于原点的对称点Q也在双曲线上,作QC PA的延长线于 C,就有三角形 PQC的面积为图1图25说明：（ 1）双曲线的两个分支是断开的,争论反比例函数的增减性时,要将两个分支分别争论,不能一概而论（ 2）直线与双曲线的关系：当时,两图象没有交点；当时, 两图象必有两个交点,且这两个交点关于原点成中心对称（三）反比例函数的应用1、求函数解析式的方法：（1）待定系数法；（2）依据实际意义列函数解析式2、反比例函数与一次函数的联系3、充分利用数形结合的思想解决问题其次章一元二次方程（一）一元二次方程1、只含有一个未知数的 整式方程 （分母不含未知数 ）,且都可以化为2a 0）的形式,这样的方程叫一元二次方程；ax2bxc0（ a、b、c 为常 数,2、把 axbxc0 （ a、b、c 为常数, a 0）称为一元二次方程的 一般式 ,a 为二次项系数； b 为一次项系数； c 为常数项（包括符号）；（二）一元二次方程的解法1、直接开平方法：假如方程化成的形式,那么可得；假如方程能化成 p 0 的形式,那么进而得出方程的根；2 、配方法： 配方式基本步骤：把方程化成一元二次方程的一般形式；将二次项系数化成 1；把常数项移到方程的右边； 两边加上一次项系数的一半的平方； 把方程转化成左边为一个完全平方式, 右边化为一个常数；两边开方求其根；3 、公式法 xbb24ac 2a（留意在找 a、b、c 时须先把方程化为一般形式）4 、分解因式法把方程的一边变成0,另一边变成两个一次因式的乘积来求解；（主要包括“提公因式”和“十字相乘”）（三）一元二次方程根的判别式22判别式 =b -4ac 与根的关系：当 b -4ac>0 时,就方程有两个不等的实数根；2当 b2-4ac=0 时,就方程有两个相等的实数根； 当 b -4ac 0 时,就方程有两个实数根；2当 b -4ac<0 时,就方程无实数根（,上述结论反之也成立,但留意都同时要满意二次项系数a0）（四）一元二次方程根与系数的关系：1、根与系数关系：假如一元二次方程ax2bxc0 的两根分别为x1、x2,就有：xxb ,xxc . （韦达定理）aa12122、一元二次方程的两根与系数的关系的作用：（ 1）已知方程的一根,求另一根；（ 2）不解方程,求二次方程的根x 1、x 2 的对称代数式的值,特殊留意以下公式：22 xx2 xx 2 x x11x1x2 xx 2 xx 24 x x12121 2x1x2x1x2121212 | xx| xx 4x x | x2| x |2 xx 2 x x2 | x x |212121 233312121 21 2 x1x2x1x2 3x1 x2 x1x2 其他能用 x1x2 或 x1 x2 表达的代数式；（ 3）已知方程的两根x 1、x 2,可以构造一元二次方程：2x x1x2 xx1x20 ,（ 4）已知两数 x 1、x 2 的和与积, 求此两数的问题, 可以转化为求一元二次方程x 2 xx xx x0两根；（五）一元二次方程的应用121 2的1、配方法作用：一元二次方程配方可以解该方程：ax2bxc0 （a 0）（两边同时除以a 得）x 2b xc0（一次项系数 b 除以 2 并写成完全平方式得）（可作为公式记忆）aaa；2、二次代数式配方可以求最值 （应用题常考）：二次代数式ax2bxc提取二次项系数 a 得a x2b xc ab（不能同时除以二次项系数a）2合并常数项得ax24acb 2a4a（作为公式记忆,一步化到位）此时可知当 xb 时, ax 2a2bxc 有最大值（ a0 ）最大值为4acb224a当 xb 时,2aax2bxc 有最小值（a.0 ）最小值为4acb 4a3、平均增长率问题 : （设月增长率为 x ）一月产量为 a ,二、三月平均增长率为x ,三月产量为 b ,就有a1x2b一月产量为 a ,二、三月平均增长率为x ,第一季度产量为 b ,就有aa1xa1x 2b4、翻几番增长率问题：（设年增长率为x ）两年翻一番,就2a1x2a, 解得 x2141.4%（次数 2 是指两年翻了两次,翻一番指起初数量a 变成 2a）两年翻两番,就a1x) 24a,解得x100%（次数 2 是指两年翻了两次,翻一番指起初数量a 变成 2a,再翻一番就变成了4a） 5、相互握手、相互送礼问题：相互握手：1 n n12握手次数（ n 是指人数）相互送礼：n n1礼物总数（ n 是指人数）6、涨价总利润问题：（设涨价x 元）总利润 =（定价 +上涨价格 x 进价）（原销量x每上涨的价格相应削减的销量 ）每上涨的价格7、降价总利润问题：（设降价x 元）总利润 =（定价降价价格x 进价）（原销量+x每下降的价格相应增加的销量）每下降的价格第三章图形的相像（一）比例线段1 、比例线段的相关概念a m假如选用同一长度单位量得两条线段a, b 的长度分别为 m, n,那么就说这两条线段的比是,或写成 a： b=m： nb n在两条线段的比 a：b 中, a 叫做比的前项, b 叫做比的后项；在四条线段中, 假如其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段a c如四条 a,b, c, d 满意或 a： b=c ：d,那么 a, b, c,d 叫做组成比例的项,线段a, d 叫做比例外项,线段b, c 叫做比例内项,线段的d 叫做 a,b, c 的第四比例项；b d假如作为比例内项的是两条相同的线段,即的比例中项；ab或 a： b=b： c,那么线段 b 叫做线段 a, cbc2、比例的性质（ 1）基本性质 a： b=c： dad=bc a： b=b： cabcdacdcbdb da bca（ 2）更比性质（交换比例的内项或外项）（交换内项）（交换外项）（同时交换内项和外项）b 2ac（ 3）反比性质（交换比的前项、后项）：a cbdb dac（ 4）合比性质： acbdabcdbd（ 5）等比性质： acebdf3、黄金分割m bdf nn0a cemab dfnb把线段 AB分成两条线段 AC, BC（ AC>BC）,并且使 AC是 AB和 BC的比例中项,叫做把线段AB黄金分割,点 C 叫做线段 AB的黄金分割点值得关注的近似数：假设AB=1就 AC0.618 BC=AD0.382 ）ACB定义：ACCBABAC510.6182较长最短最长较长510.618 2（二）平行线分线段成比例三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例；如图：如图,由于AD BE CF, 所以 AB： BC=DE： EF； AB：AC=DE： DF；BC： AC=EF： DF；也可以说 AB： DE=BC： EF； AB： DE=AC： DF；BC： EF=AC： DF推论：（ 1）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）,所得的对应线段成比例；逆定理：假如一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边；（ 2）平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例；（三）相像图形1 、对应角相等,对应边的比相等的两个图形就叫相像图形；2 、相像多边形：（ 1）假如两个边数相同的多边形的对应角相等,对应边成比例,那么这两个多边形叫做相像多边形；相像多边形对应边的比叫做相像比（或相像系数）（ 2）相像多边形的性质：相像多边形的对应角相等,对应边成比例相像多边形周长的比、对应对角线的比都等于相像比相像多边形中的对应三角形相像,相像比等于相像多边形的相像比相像多边形面积的比等于相像比的平方（四）相像三角形的判定和性质1、相像三角形的概念对应角相等,对应边成比例的三角形叫做相像三角形；相像用符号“”来表示,相像三角形对应边的比叫做相像比（或相像系数）；2、相像三角形的基本定理（ 1）反身性：对于任一ABC,都有 ABC ABC；（ 2）对称性：如 ABC A B C,就 A B C ABC（ 3）传递性：如 ABC ABC,并且 ABC AB C,就 ABC AB C；3、三角形相像的判定（ 1）三角形相像的判定方法 定义法 ：对应角相等,对应边成比例的两个三角形相像 平行法 ：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交,所构成的三角形与原三角形相像判定定理 1：假如一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相像,可简述为 两角对应相等,两三角形相像；判定定理 2：假如一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等,并且夹角相等,那么这两个三角形相像,可简述为两边对应成比例且夹角相等,两三角形相像；判定定理 3：假如一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相像,可简述为 三边对应成比例 ,两三角形相像（ 2）直角三角形相像的判定方法以上各种判定方法均适用定理：假如一个直角三角形的斜边和一条直角边 与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相像垂直法：直角三角形 被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似；4、相像三角形的性质（ 1）相像三角形的对应角相等,对应边、对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相像比（ 2）相像三角形周长的比等于相像比（ 3）相像三角形面积的比等于相像比的平方；（五）相像三角形的应用测量高度：如测量旗杆的高度：利用同一时刻下阳光的影子A物高： B 物高=A 影长： B 影长（六）位似图形1、位似图形：假如两个图形不仅是相像图形,而且每组对应点所在直线都经过同一个点,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心,此时的相像比叫做位似比；2、性质：（ 1）位似图形对应线段的比等于位似比；（ 2）位似图形的对应角都相等；（ 3）位似图形对应点连线的交点是位似中心；（ 4）位似图形面积的比等于位似比的平方；（ 5）位似图形高、周长的比都等于位似比；（ 6）位似图形对应边相互平行或在同始终线上（一）正弦、余弦、正切第四章锐角三角函数1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、 b 的平方和等于斜边 c 的平方； a 2b 2c 22、如下图,在 Rt ABC中, C为直角,就 A 的锐角三角函数为 A 可换成 B：定义表达式取值范畴关系正sin AA的对边sin Aa0sin A1弦斜边c A 为锐角 sin AcosBcos Asin B余cos AA的邻边cos Ab0cosA1sin 2 Acos 2 A1弦斜边c A 为锐角 正tan A切A的对边A 的邻边tan Aa btan A0 A 为锐角 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值；Bsin Acos B由 AB90sin Acos90Acos Asin B得 B90Acos Asin 90A斜边ca 对边4 、 0°、 30°、 45°、 60°、 90°特殊角的三角函数值 重要 bAC邻边三角函数0°30°45°60°90°sin0cos112312223212220tan05 、正弦、余弦的增减性：313-3当 0°90°时, sin随 的增大而增大, cos随的增大而减小；6 、正切的增减性：当 0° <<90°时, tan随的增大而增大（二）解直角三角形：1、定义：已知边和角（两个,其中必有一边）全部未知的边和角；2、依据：边的关系：a 2b 2c2 ；角的关系： A+B=90°；边角关系：三角函数的定义（三）解直角三角形的应用：1、仰角：视线在水平线上方的角；俯角 ：视线在水平线下方的角；铅垂线视线仰角水平线俯角视线hih : ll2、坡面的铅直高度 h 和水平宽度 l 的比叫做坡度 坡比 ；用字母 i 表示,即 ih；坡度一般写成 1: ml的形式,如 i1:5等；把坡面与水平面的夹角记作 叫做坡角 ,那么 ihltan；3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角,叫做方位角；如图3, OA、 OB、OC的方向角分别是： 45°、 135°、 225°4、指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角,叫做方向角；如图4,OA、OB、OC、OD的方向角分别是：北偏东30°（东北方向）,南偏东 45°（东南方向）,南偏西 60°（西南方向）,北偏西 60°（西北方向）；第五章用样本推断总体一）平均数的运算方法1（ 1） 定义法 ：一般地,假如有 n 个数x1 , x2 , xn , 数据比较分散,那么,x x1x2nxn 叫做这 n 个数的平均数, x 读作“ x 拔”；（ 2） 加权平均数法 ：假如所给数据重复显现,即n 个数中,x1显现f1 次, x2 显现f 2 次,xk 显现 fk次（这里 f1f 2f kn ）那么,依据平均数的定义,这n 个数的平均数可以表示为xx1 f1x2 f 2nxk f k,这样求得的平均数x 叫做加权平均数,其中f1,f 2 , f k叫做权；（ 3）新数据法：当所给数据都在某一常数a 的上下波动时,一般选用简化公式：xx'a ；其中,常数 a 通常取接近这组数据平均数的较“整”的数,（x'1x1a ,x'2x2a ,x'nxna ； x'1 x'1nx'2x' n 是新数据的平均数（通常把x1, x2 , xn, 叫做原数据,x'1 , x'2 , x'n, 叫做新数据）；（二）、统计学中的几个基本概念1 、总体：全部考察对象的全体叫做总体；2 、个体：总体中每一个考察对象叫做个体；3 、样本：从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本；4 、样本容量：样本中个体的数目叫做样本容量；5 、样本平均数：样本中全部个体的平均数叫做样本平均数；6 、众数：在一组数据中,显现次数最多的数据叫做这组数据的众数；7 、中位数： 将一组数据按大小依次排列,把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数） 叫做这组数据的中位数；（三）总体平均数和方差的估量1、总体平均数 ：总体中全部个体的平均数叫做总体平均数；统计中, 通常用样本平均数估量总体平均数；2、方差 ：在一组数据x1 , x2 , xn, 中,各数据与它们的平均数x 的差的平方的平均数,叫做这组数据的方差；通常用“s2 ”表示,即 s21 xx 2 x2x2 xnx 2 1n（ 1）简化运算公式（）：（此公式的记忆方法是：方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方s21 x2x 2x 2 2nx s21 x 2x 2x 2 x212n也可写成12n2nnn（ 2）简化运算公式（）：s21 x' 2x'2x' 2 2n x' 当一组数据中的数据较大时,可以依1n2照简化平均数的运算方法,将每个数据同时减去一个与它们的平均数接近的常数a,得到一组新数据x'1x1a, x'2x2a ,x' nxna ,那么, s1 x'21nx' 22nx'2 x'2（此公式的记忆方法是：方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方）（ 3）新数据法： 原数据x1 , x2 , xn , 的方差与新数据x'1x1a, x' 2x2a ,x'nxna 的方差相等,也就是说,依据方差的基本公式,求得x'1 , x'2 , x' n , 的方差就等于原数据的方差；3、标准差： 方差的算数平方根叫做这组数据的标准差,用“s”表示,即ss21 xn1x 2x2x 2 xnx2 （方差或标准差越大,离散程度越大,稳固性越差,反之越稳固）