2022年小升初数学总复习知识总结之数和数的运算.docx

第一章 数和数的运算一、概念（一）整 数1. 自然数、负数和整数（1） ）、自然数 ：我们在数物体的时候,用来表示物体个数的1,2, 3叫做自然数；一个物体也没有,用 0 表示； 0 也是自然数；1是自然数的基本单位,任何一个自然数都是由如干个 1 组成；0是最小的自然数,没有最大的自然数；（2） ）、负数：在正数前面加上“ - ”的数叫做负数,“- ”叫做负号；正整数（ 1、2、3、4、自然）数3 整 数零 0 既不是正数,也不是负数 负整数（ -1 、-2 、-3 、-4 ）2、零的作用（1） ）表示数位；读写数时,某个单位上一个单位也没有,就用0 表示；（2） ）占位作用；（3） ）作为界限；如“零上温度与零下温度的界限”；3、计数单位：一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿 都是计数单位；每相邻两个计数单位之间的进率都是10；这样的计数法叫做十进制计数法；4、数位：计数单位依据肯定的次序排列起来,它们所占的位置叫做数位；5、数的整除 ：整数 a 除以整数 bb 0 ）,除得的商是整数而没有余数,我们就说 a 能被 b 整除,或者说 b 能整除 a ；（1） ）假如数 a 能被数 b（b 0 ）整除,a 就叫做 b 的倍数, b 就叫做a 的约数（或 a 的因数）；倍数和约数是相互依存的； 如：由于 35能被 7 整除,所以 35 是 7 的倍数, 7 是 35 的约数；（2） ）一个数的约数的个数是有限的, 其中最小的约数是 1,最大的约数是它本身；例如： 10 的约数有 1、2、5、10,其中最小的约数是 1,最大的约数是 10；（3） ）一个数的倍数的个数是无限的,其中最小的倍数是它本身；如： 3 的倍数有： 3、6、9、12其中最小的倍数是 3 ,没有最大的倍数；（4） ）个位上是 0、2、4、6、8 的数,都能被 2 整除,例如：202、480 、304,都能被 2 整除；（5） ）个位上是 0 或 5 的数,都能被 5 整除,例如： 5、30、405 都能被 5 整除；（6） ）一个数的各位上的数的和能被 3 整除,这个数就能被 3 整除,例如： 12、108、204 都能被 3 整除；（7） ）一个数各位数上的和能被 9 整除,这个数就能被 9 整除；（8） ）能被 3 整除的数不肯定能被 9 整除,但是能被 9 整除的数肯定能被 3 整除；（9） ）一个数的末两位数能被 4（或 25）整除,这个数就能被 4（ 或 25）整除；例如： 16、404、1256 都能被 4 整除, 50、325、500、1675 都能被 25 整除；（10） ）一个数的末三位数能被 8（或 125）整除,这个数就能被 8（ 或 125）整除；例如： 1168、4600、5000、12344 都能被 8 整除, 1125、13375、5000 都能被 125 整除；（11） ）能被 2 整除的数叫做偶数；不能被 2 整除的数叫做奇数；0 也是偶数；自然数按能否被 2 整除的特点可分为奇数和偶数；（12） ）一个数,假如只有 1 和它本身两个约数, 这样的数叫做质数 （或素数）；100 以内的质数有： 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97；（13） ）一个数,假如除了 1 和它本身仍有别的约数,这样的数叫做合数；例如 4 、6、8、9、12 都是合数；（ 14）1 不是质数也不是合数, 自然数除了 1 外,不是质数就是合数；假如把自然数按其约数的个数的不同分类, 可分为质数、 合数和 1；（15） ）每个合数都可以写成几个质数相乘的形式； 其中每个质数都是这个合数的因数,叫做这个合数的质因数,例如 15=3× 5, 3和 5 叫做 15 的质因数；（16） ）把一个合数用质因数相乘的形式表示出来, 叫做分解质因数；例如：把 28 分解质因数（17） ）几个数公有的约数,叫做这几个数的公约数；其中最大的一个,叫做这几个数的最大公约数；例如：12 的约数有 1、2、3、4 、6、 12； 18 的约数有 1、2、3、6、9、18；其中, 1、2、3、6 是 12 和 1 8 的公约数, 6 是它们的最大公约数；（18） ）公约数只有 1 的两个数,叫做互质数,成互质关系的两个数,有以下几种情形：1 和任何自然数互质； 相邻的两个自然数互质； 两个不同的质数互质；当合数不是质数的倍数时,这个合数和这个质数互质；两个合数的公约数只有 1 时,这两个合数互质,假如几个数中任意两个都互质,就说这几个数两两互质；假如较小数是较大数的约数, 那么较小数就是这两个数的最大公约数；假如两个数是互质数,它们的最大公约数就是1；（19） 几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个, 叫做这几个数的最小公倍数,如： 2 的倍数有 2、4、6 、8、10、12、14、16、18 3 的倍数有 3、6、9、12、15、18 其中 6、12、18是 2、3 的公倍数, 6 是它们的最小公倍数；假如较大数是较小数的倍数, 那么较大数就是这两个数的最小公倍数；假如两个数是互质数,那么这两个数的积就是它们的最小公倍数；几个数的公约数的个数是有限的, 而几个数的公倍数的个数是无限的；（二）小数1 、小数的意义（1） ）把整数 1 平均分成 10 份、100 份、1000 份 得到的非常之几、百分之几、千分之几可以用小数表示；（2） ）一位小数表示非常之几,两位小数表示百分之几,三位小数表示千分之几（3） ）一个小数由整数部分、小数部分和小数点部分组成；数中的圆点叫做小数点, 小数点左边的数叫做整数部分, 小数点右边的数叫做小数部分；（4） ）在小数里,每相邻两个计数单位之间的进率都是10；小数部分的最高分数单位“非常之一”和整数部分的最低单位“一”之间 的进率也是 10；2、小数的分类（1） ）纯小数：整数部分是零的小数, 叫做纯小数；例如：0.25、0.368都是纯小数；（2） ）带小数： 整数部分不是零的小数, 叫做带小数； 例如： 3.25、5.26都是带小数；（3） ）有限小数：小数部分的数位是有限的小数,叫做有限小数；例如： 41.7、 25.3、 0.23都是有限小数；（4） ）无限小数：小数部分的数位是无限的小数,叫做无限小数；例如： 4.33 3.1415926（ 5）无限不循环小数：一个数的小数部分,数字排列无规律且位数无限,这样的小数叫做无限不循环小数；例如：（6） ）循环小数：一个数的小数部分,有一个数字或者几个数字依次不断重复显现,这个数叫做循环小数；例如：3.555 0.0333 12.109109（7） ）一个循环小数的小数部分,依次不断重复显现的数字叫做这个循环小数的循环节；例如： 3.99的循环节是“ 9” , 0.5454的循环节是“ 54” ；（8） ）纯循环小数：循环节从小数部分第一位开头的,叫做纯循环小数；例如： 3.111 0.5656（9） ）混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开头的,叫做混循环小数；例如： 3.1222 0.03333（10） ）写循环小数的时候,为了简便,小数的循环部分只需写出一个循环节,并在这个循环节的首、末位数字上各点一个圆点；假如循环节只有 一个数字,就只在它的上面点一个点；·例如： 3.777 简写作：3.7； 0.5302302 简写作：··0.53 02；（三）分数1、分数的意义（1） ）把单位“ 1”平均分成如干份,表示这样的一份或者几份的数叫做分数；（2） ）在分数里,中间的横线叫做分数线；分数线下面的数,叫做分母,表示把单位“ 1”平均分成多少份；分数线下面的数叫做分子,表示有这样的多少份；（3） ）把单位“ 1”平均分成如干份,表示其中的一份的数,叫做分数单位；2、分数的分类真分数：分子比分母小的分数叫做真分数；真分数小于1；假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数, 叫做假分数；假分数大于或等于 1；带分数： 假分数可以写成整数与真分数合成的数, 通常叫做带分数；3、约分和通分把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数,叫做约分；分子分母是互质数的分数,叫做最简分数；把异分母分数分别化成和原先分数相等的同分母分数,叫做通分；（四）百分数 ：表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数, 也叫做百分率 或百分比；百分数通常用 "%"来表示；百分号是表示百分数的符号；二 、方法（一）数的读法和写法1、整数的读法：从高位到低位,一级一级地读；读亿级、万级时,先依据个级的读法去读, 再在后面加一个“亿”或“万” 字；每一级末尾的 0 都不读出来, 其它数位连续有几个 0 都只读一个零；2、整数的写法：从高位到低位,一级一级地写,哪一个数位上一个单位也没有,就在那个数位上写0；3、小数的读法：读小数的时候,整数部分依据整数的读法读,小数点读作“点”,小数部分从左向右顺次读出每一位数位上的数字；4、小数的写法：写小数的时候,整数部分依据整数的写法来写,小数点写在个位右下角,小数部分顺次写出每一个数位上的数字；5、分数的读法：读分数时,先读分母再读“分之”然后读分子,分子和分母依据整数的读法来读；6、分数的写法：先写分数线,再写分母,最终写分子,依据整数的写法来写；7、百分数的读法：读百分数时,先读百分之,再读百分号前面的数,读数时依据整数的读法来读；8、百分数的写法：百分数通常不写成分数形式,而在原先的分子后面加上百分号“ %”来表示；（二）数的改写一个较大的多位数,为了读写便利,经常把它改写成用“万”或“亿”作单位的数；有时仍可以依据需要,省略这个数某一位后面的数,写成近似数；1、精确数：在实际生活中,为了计数的简便,可以把一个较大的数改写成以万或亿为单位的数；改写后的数是原数的精确数；例如把 1254300000改写成以万做单位的数是125430 万；改写成 以亿做单位 的数 12.543亿；2、近似数：依据实际需要,我们仍可以把一个较大的数,省略某一位 后面 的尾 数 , 用 一 个近 似数 来 表 示 ； 例如 ：1302490015 省略亿后面的尾数是 13 亿；3、四舍五入法：要省略的尾数的最高位上的数是 4 或者比 4 小,就把尾数去掉；假如尾数的最高位上的数是 5 或者比 5 大,就把尾数舍去,并向它的前一位进 1；例如：省略 345900 万后面的尾数约是 35 万；省略 4725097420 亿后面的尾数约是 47 亿；4、大小比较（1） ）比较整数大小：比较整数的大小,位数多的那个数就大,假如位数相同,就看最高位,最高位上的数大,那个数就大；最高位上的数相同,就看下一位, 哪一位上的数大那个数就大；（2） ）比较小数的大小：先看它们的整数部分, ,整数部分大的那个数就大；整数部分相同的,非常位上的数大的那个数就大；非常位上的数也相同的,百分位上的数大的那个数就大（3） ）比较分数的大小 : 分母相同的分数,分子大的分数比较大；分子相同的数, 分母小的分数大； 分数的分母和分子都不相同的,先通分,再比较两个数的大小；（三）数的互化1、小数化成分数： 原先有几位小数,就在 1 的后面写几个零作分母, 把原先的小数去掉小数点作分子,能约分的要约分；2、分数化成小数：用分母去除分子；能除尽的就化成有限小数,有的不能除尽,不能化成有限小数的,一般保留三位小数；3、一个最简分数,假如分母中除了2 和 5 以外,不含有其他的质因数,这个分数就能化成有限小数；假如分母中含有2 和 5 以外的质因数,这个分数就不能化成有限小数；4、小数化成百分数：只要把小数点向右移动两位,同时在后面添上百分号；5、百分数化成小数：把百分数化成小数,只要把百分号去掉,同时把小数点向左移动两位；6、分数化成百分数：通常先把分数化成小数（除不尽时,通常保留三位小数 ,再把小数化成百分数；7、百分数化成小数：先把百分数改写成分数,能约分的要约成最简分数；（四）数的整除1、把一个合数分解质因数,通常用短除法；先用能整除这个合数的质数去除,始终除到商是质数为止,再把除数和商写成连乘的形式；2、求几个数的最大公约数的方法是：先用这几个数的公约数连续去除,始终除到所得的商只有公约数1 为止,然后把全部的除数连乘求积,这个积就是这几个数的的最大公约数；3、求几个数的最小公倍数的方法是：先用这几个数（或其中的部分数）的公约数去除,始终除到互质（或两两互质）为止,然后把全部的除数和商连乘求积,这个积就是这几个数的最小公倍数；4、成为互质关系的两个数： 1 和任何自然数互质 ； 相邻的两个自然数互质； 当合数不是质数的倍数时,这个合数和这个质数互质； 两个合数的公约数只有 1 时,这两个合数互质；（五）约分和通分（1） ）约分的方法：用分子和分母的公约数（1 除外）去除分子、分母；通常要除到得出最简分数为止；（2） ）通分的方法：先求出原先的几个分数分母的最小公倍数,然后把各分数化成用这个最小公倍数作分母的分数；三、性质和规律（一）商不变的规律商不变的规律： 在除法里, 被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同的倍,商不变；（二）小数的性质小数的性质：在小数的末尾添上零或者去掉零小数的大小不变；（三）小数点位置的移动引起小数大小的变化1、小数点向右移动一位,原先的数就扩大10 倍；小数点向右移动两位,原先的数就扩大100 倍；小数点向右移动三位,原先的数就扩大 1000 倍2、小数点向左移动一位,原先的数就缩小10 倍；小数点向左移动两位,原先的数就缩小100 倍；小数点向左移动三位,原先的数就缩小 1000 倍3、小数点向左移或者向右移位数不够时,要用“0" 补足位；（四）分数的基本性质分数的基本性质：分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数（零除外）,分数的大小不变；（五）分数与除法的关系1、被除数÷除数 =被除数除数2、由于零不能作除数,所以分数的分母不能为零；3、被除数 相当于分子,除数相当于分母；四、运算的意义（一）整数四就运算1、整数加法：把两个数合并成一个数的运算叫做加法；在加法里,相加的数叫做加数,加得的数叫做和；加数是部分数,和是总数；加数+加数=和一个加数 =和另一个加数2、整数减法：已知两个加数的和与其中的一个加数,求另一个加数的运算叫做减法；在减法里,已知的和叫做被减数,已知的加数叫做减数,未知的加数叫做差；被减数是总数,减数和差分别是部分数；加法和减法互为逆运算；3、整数乘法：求几个相同加数的和的简便运算叫做乘法；在乘法里,相同的加数和相同加数的个数都叫做因数；相同加数的和叫做积；在乘法里, 0 和任何数相乘都得 0； 1和任何数相乘都的任何数；一个因数× 一个因数 = 积；一个因数 =积÷另一个因数4、整数除法：已知两个因数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算叫做除法；在除法里,已知的积叫做被除数,已知的一个因数叫做除数,所求的因数叫做商；乘法和除法互为逆运算； 在除法里, 0 不能做除数；（由于 0 和任何数相乘都得 0,所以任何一个数除以 0, 均得不一个确定的商； ）被除数÷除数 =商除数=被除数÷商被除数=商×除数（二）小数四就运算1、小数加法：小数加法的意义与整数加法的意义相同；是把两个数合并成一个数的运算；2、小数减法：小数减法的意义与整数减法的意义相同；已知两个加数的和与其中的一个加数,求另一个加数的运算.3、小数乘法：小数乘整数的意义和整数乘法的意义相同,就是求几个相同加数和的简便运算；一个数乘纯小数的意义是求这个数的非常之几、百分之几、千分之几是多少；4、小数除法：小数除法的意义与整数除法的意义相同,就是已知两个因数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算；5、乘方:求几个相同因数的积的运算叫做乘方；例如3× 3 =32（三）分数四就运算1、分数加法：分数加法的意义与整数加法的意义相同；是把两个数合并成一个数的运算；2、分数减法：分数减法的意义与整数减法的意义相同；已知两个加数的和与其中的一个加数,求另一个加数的运算； 3、分数乘法：分数乘法的意义与整数乘法的意义相同,就是求几个相同加数和的简便运算；4、乘积是 1 的两个数叫做互为倒数；5、分数除法：分数除法的意义与整数除法的意义相同；就是已知两个因数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算；（四）运算定律1、加法交换律：两个数相加,交换加数的位置,它们的和不变,即a+b=b+a ；2、加法结合律：三个数相加,先把前两个数相加,再加上第三个数；或者先把后两个数相加, 再和第一个数相加它们的和不变,即（ a+b+c=a+b+c；3、乘法交换律：两个数相乘,交换因数的位置它们的积不变,即a× b=b× a；4、乘法结合律：三个数相乘,先把前两个数相乘,再乘以第三个数； 或者先把后两个数相乘, 再和第一个数相乘, 它们的积不变,即 a × b ×c=a× b ×c；5、乘法安排律：两个数的和与一个数相乘,可以把两个加数分别与这个数相乘再把两个积相加,即a+b ×c=a×c+b× c ；6、减法的性质：从一个数里连续减去几个数,可以从这个数里减去全部减数的和,差不变,即 a-b-c=a-b+c；（五）运算法就1、整数加法运算法就：相同数位对齐,从低位加起,哪一位上的数相加满十,就向前一位进一；2、整数减法运算法就：相同数位对齐,从低位加起,哪一位上的数不够减,就从它的前一位退一作十, 和本位上的数合并在一起,再减；3、整数乘法运算法就：先用一个因数每一位上的数分别去乘另一个因数各个数位上的数,用因数哪一位上的数去乘, 乘得的数的末尾就对齐哪一位, 然后把各次乘得的数加起来；4、整数除法运算法就：先从被除数的高位除起,除数是几位数,就看被除数的前几位； 假如不够除,就多看一位, 除到被除数的哪一位, 商就写在哪一位的上面； 假如哪一位上不够商 1,要补“ 0”占位；每次除得的余数要小于除数；5、小数乘法法就：先依据整数乘法的运算法就算出积,再看因数中共有几位小数, 就从积的右边起数出几位, 点上小数点；假如位数不够,就用“ 0”补足；6、除数是整数的小数除法运算法就：先依据整数除法的法就去除,商的小数点要和被除数的小数点对齐； 假如除到被除数的末尾仍有余数,就在余数后面添“ 0”,再连续除；7、除数是小数的除法运算法就： 先移动除数的小数点, 使它变成整数, 除数的小数点也向右移动几位（位数不够的补“ 0”）,然后依据除数是整数的除法法就进行运算；8、同分母分数加减法运算方法 : 同分母分数相加减, 只把分子相加减,分母不变；9、异分母分数加减法运算方法 : 先通分, 然后依据同分母分数加减法的的法就进行运算；10、带分数加减法的运算方法 : 整数部分和分数部分分别相加减,再把所得的数合并起来；11、分数乘法的运算法就 : 分数乘整数,用分数的分子和整数相乘的积作分子,分母不变；分数乘分数,用分子相乘的积作分子, 分母相乘的积作分母；12、分数除法的运算法就 : 甲数除以乙数（ 0 除外）,等于甲数乘乙数的倒数；（六）运算次序1、小数四就运算的运算次序和整数四就运算次序相同；2、分数四就运算的运算次序和整数四就运算次序相同；3、没有括号的混合运算 : 同级运算从左往右依次运算；两级运算 先算乘、除法,后算加减法；4、有括号的混合运算 : 先算小括号里面的,再算中括号里面的,最终算括号外面的；5、第一级运算：加法和减法叫做第一级运算；6、其次级运算：乘法和除法叫做其次级运算；