2022年导数在函数的单调性,极值中的应用.docx

精品学习资源一、学问梳理导数在函数的单调性、极值中的应用欢迎下载精品学习资源1. 函数的单调性与导数在区间 a ，b>内，函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 假如 f_ x>>0 ，那么函数y fx> 在这个区间内单调递增； 假如 f_ x><0 ，那么函数y fx> 在这个区间内单调递减； 假如 f_ x> 0，那么fx> 在这个区间内为常数问题探究 1：如函数fx> 在a ， b>内单调递增，那么肯定有f x>>0 吗？ f x>>0 是否是fx> 在a ， b>内单调递增的充要条件？提示：函数fx> 在a ， b>内单调递增，就f x> 0， f x>>0是fx> 在a ，b>内单调递增的充分不必要条件2. 函数的极值与导数1> 函数的微小值函数y fx> 在点 x a 的函数值 fa> 比它在 x a 邻近其他点的函数值都小，fa> 0，而且在点 x a 邻近的左侧f_ x><0 ，右侧 f_ x>>0 ，就点 a 叫做函数y fx> 的微小值点， fa> 叫做函数y fx> 的微小值2> 函数的极大值函数 y fx> 在点 x b 的函数值 fb> 比它在点 x b 邻近的其他点的函数值都大， f b> 0，而且在点 x b 邻近，左侧 f_ x>>0 ，右侧 f_ x><0 ，就点 b 叫做函数 y fx> 的极大值点， fb> 叫做函数 y fx> 的极大值微小值点，极大值点统称为极值点，极大值和微小值统称为极值 问题探究 2：如 fx0> 0，就 x0 肯定是 fx> 的极值点吗？提示：不肯定可导函数在一点的导数值为0 是函数在这点取得极值的必要条件，而不是充分条件，如函数fx> x3，在 x 0 时，有 f x> 0，但 x 0 不是函数 fx> x3 的极值点二、自主检测1函数 y x lnx 的单调减区间是 >A ， 1>B 0,1>C 1 ， >D 0,2>解读： 函数的定义域为 x|x>0，y 1错误 . <0， 0<x<1.2函数fx> x33x2 3x 的极值点的个数是>A 0C 2B 1D 3解读： fx> 3x2 6x 3 3x 1>2 0， fx> 单调递增， fx> 无极值点 答案： A3. 函数fx> x3 ax 2 在区间 1 ， >上是增函数，就实数a 的取值范畴是 >A 3 ， >B 3， >C 3， >D ， 3>解读：fx> x3 ax 2 在1 ， >上是增函数，f x> 3x2 a 0 在1 ， >上恒成立即 a 3x2 在 1 ， >上恒成立 又在 1 ， >上 3x2< 3， a 3.答案： B欢迎下载精品学习资源4. 2021年山东诸城高三月考 >已知函数y fx> ，其导函数y f x> 的图象如下列图，就 yfx>>A. 在 ， 0>上为减函数B. 在 x 0 处取微小值C. 在 4 ， >上为减函数D. 在 x 2 处取极大值解读：使导函数y f x>>0 的 x 的取值范畴为增区间；使导函数y f x><0 的 x的取值范畴为减区间 答案： C5. 如函数 fx> x3 ax2 3x 9 在 x 3 时取得极值，就 a >A 2B 3C 4D 5解读： fx> 3x2 2ax 3， fx> 在 x 3 时取得极值， x 3 时 f x> 0 得a 5. 检验知符合题意 答案： D6. 1> 函数 fx> 在 x x0 处可导，就“f x0> 0”是“ x0 是函数 fx> 极值点”的 条件2> 函数fx>在 a ， b> 上可导，就“f x>>0 ”是“ fx> 在 a ， b>上单调递增”的 条件3> 函数fx>在 a ， b>上可导，就“f x> 0 ”是“ fx> 在 a ， b>上单调递增”的 条件答案： 1> 必要不充分2> 充分不必要3> 必要不充分三、考向指导考点 1求函数的单调区间1. 求可导函数单调区间的一般步骤和方法1> 确定函数fx> 的定义域；2> 求f x> ，令 f x> 0，求出它在定义域内的一切实根；3> 把函数fx> 的间断点 即fx> 的无定义点 >的横坐标和上面的各实数根按由小到大的次序排列起来，然后用这些点把函数fx> 的定义区间分成如干个小区间；4> 确定 fx> 在各个开区间内的符号，依据fx> 的符号判定函数fx> 在每个相应小开区间内的增减性2. 证明可导函数fx> 在 a ， b>内的单调性的步骤1> 求f x> 2> 确认f x> 在a ， b>内的符号3> 作出结论：f x>>0 时，fx> 为增函数；fx><0 时，fx> 为减函数 例 1 2021年全国 >已知函数fx> x3 3ax2 3x 1.欢迎下载精品学习资源1> 设 a 2，求fx> 的单调区间；2> 设fx> 在区间 2,3> 中至少有一个极值点，求a 的取值范畴32【解】1> 当 a 2 时，fx> x 6x 3x 1，fx> 3x 2 错误 . >x 2 错误 . >当 x ， 2 错误 . >时，f x>>0 ，fx> 在 ， 2 错误 . >上单调增加； 当 x2 错误 . ， 2错误 . >时，fx><0 ，fx> 在2 错误 . ，2 错误 . >上单调削减；当 x2 错误 . ， >时，f x>>0 ，fx> 在2 错误 . ， >上单调增加 综上，fx> 的单调增区间是 ， 2 错误 . >和2 错误 . ， >，单调减区间是2 错误 . ， 2 错误 . >222> f x> 3x a> 1 a 22当 1a 0 时， f x> 0， fx> 为增函数，故 fx> 无极值点； 当 1a <0 时， f x> 0 有两个根， x 1 a 错误 . ， x 2 a错误 . . 由题意知， 2<a 错误 . <3，或 2<a 错误 . <3. 式无解解式得 错误 . <a<错误 . .因此 a 的取值范畴是 错误 . ， 错误 . > 课堂过手练习：设函数fx> x3 ax2 9x 1a<0> 如曲线 y fx> 的斜率最小的切线与直线12x y 6 平行，求：1>a 的值；2> 函数y fx> 的单调区间欢迎下载精品学习资源解： 1> fx> x23 ax29x 1.2欢迎下载精品学习资源 fx> 3x 2ax 93x 错误 . > 9 错误 . .即当 x 错误 . 时， f x> 取得最小值 9 错误 . .2 9 错误 . 12，即 a 9.解得 a± 3. 由题设 a<0，得 a 3.2> 由1> 知 a 3，因此fx> x33x2 9x 1， f x> 3x2 6x 9 3x 3>x 1>令 f x> 0，解得 x1 1， x2 3.当 x ， 1>时， fx>>0 ， 故fx> 在 ， 1>上为增函数； 当 x 1,3> 时， f x><0 ，故fx> 在 1,3> 上为减函数； 当 x 3 ， >时， f x>>0 ， 故fx> 在3 ， >上为增函数由此可见，函数fx> 的单调递增区间为 ， 1>和3 ， >；单调递减区间为 1,3>.考点 2由函数的单调性求参数的取值范畴已知函数的单调性，求参数的取值范畴，应留意函数fx> 在a ， b>上递增 或递减 >的充欢迎下载精品学习资源要条件应是f x> 0 或f x> 0>， x a ， b>恒成立，且f x> 在a ， b>的任意子区间内都不恒等于0，这就是说，函数fx> 在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有f x0> 0，甚至可以在无穷多个点处f x0> 0，只要这样的点不能布满所给区间的任何一个子区间例 2 已知函数 fx> x3 ax 1，在实数集 R 上 y fx> 单调递增，求实数a 的取值范围【分析】利用 f x> 0 恒成立求解【解】由已知，得 f x> 3x2 a.由于在实数集R 上 y fx> 单调递增，所以 f x> 3x2 a 0 对 x R 恒成立， 即 a 3x2 对 x ， >恒成立由于 3x2 0，所以只需 a 0.又 a 0 时， f x> 3x2 0，且等号仅在 x0 处才取得， 即 y fx> 在实数集 R上单调递增综上，当 a 0 时， y fx> 在实数集 R上单调递增由函数的单调性求参数的取值范畴，这类问题一般已知fx> 在区间 I 上单调递增 递减>， 等价于不等式 f x> 0f x> 0>在区间 I 上恒成立，然后可借助分别参数等方法求出参数的取值范畴课堂过手练习：已知 fx> ex ax 1. 1> 求 fx> 的单调增区间；2> 如 fx> 在定义域 R内单调递增，求a 的取值范畴；3> 是否存在 a，使 fx> 在 ， 0 上单调递减，在 0 ， >上单调递增？如存在，求出a 的值；如不存在，说明理由解： 1>f x> ex a.如 a 0, f x> ex a>0 恒成立， 即 fx> 在 R 上递增如 a>0，令 ex a>0， ex>a ，x>lna.此时 fx> 的单调递增区间为 lna ， > 2> fx> 在 R 内单调递增，f x> 0 在 R上恒成立ex a 0，即 aex 在 R 上恒成立a ex>min ，又 ex>0， a 0. 3> 假设存在 a 满意条件解法一：由题意知ex a 0 在 ， 0 上恒成立a ex 在 ， 0 上恒成立y ex 在 ， 0 上为增函数x 0 时， ex 最大为 1. a 1.同理可知 ex a 0 在0 ， >上恒成立a ex 在0 ， >上恒成立，a 1， a 1.欢迎下载精品学习资源解法二：由题意知， x 0 为 fx> 的微小值点 f 0> 0，即 e0 a 0， a 1.考点 3求已知函数的极值运用导数求可导函数y fx> 极值的步骤：1> 先求函数的定义域，再求函数yfx> 的导数fx> ；2> 求方程f x> 0 的根；3> 检查f x> 在方程根的左右的值的符号，假如左正右负，那么fx> 在这个根处取得极大值假如左负右正，那么fx> 在这个根处取得微小值例 3 设 fx> 错误 . ，其中 a 为正实数1> 当 a错误 . 时，求 fx> 的极值点；2> 如 fx> 为 R 上的单调函数，求a 的取值范畴x【解】对 fx> 求导得 fx> e 错误 . 21> 当 a错误 . 时，如 fx> 0，就 4x 8x3 0，解得 x 1 错误 . ， x 2 错误 . .结合，可知欢迎下载精品学习资源x ， 错误 . >错误 . 错误 . ， 错误 . >错误 . 错误 . ， >欢迎下载精品学习资源fx>00fx>极大值微小值所以， x1 错误 . 是微小值点， x2 错误 . 是极大值点2> 如 fx> 为 R 上的单调函数，就f x> 在 R 上不变号，结合与条件a>0，知 ax2 2ax1 0 在 R 上恒成立，因此 4a24a 4aa 1> 0，由此并结合a>0，知 0<a 1.课堂过手练习：函数 fx> x3 3x2 1 在 x处取得微小值解读：由 f x> 3x2 6x3xx 2> 0，解得 x1 0， x2 2当 x<0 时， f x>>0 ，当 0<x<2 时 f x><0 ，当 x>2 时 f x>>0.当 x 2 时， fx>有微小值是 f2> 23 3× 22 1 3.考点 4 利用极值求参数已知函数解读式，可利用导数及极值的定义求出其极大值与微小值；反过来，假如已知某函数的极值点或极值，也可利用导数及极值的必要条件建立参数方程或方程组，从而解出参数，求出函数解读式例 4 设 x1 与 x2 是函数 fx> alnx bx2x 的两个极值点1> 试确定常数 a 和 b 的值；2> 试判定 x 1， x 2 是函数 fx> 的极大值点仍是微小值点，并说明理由【解】1>f x> 错误 . 2bx 1， 由题意得 f 1> 0, f 2> 0， 错误 . 解得 错误 . .欢迎下载精品学习资源22> 由1> 知 fx> 错误 . lnx 错误 . xx，欢迎下载精品学习资源所以 f x> 错误 . 错误 . 1错误 .欢迎下载精品学习资源 错误 . · 错误 . .又 x>0， 0<x<1 时， f x><0,1<x<2时， fx>>0 ， x>2 时， f x><0 ， 所以函数 fx> 在0,1> 和2 ， >上是减函数，在 1,2> 上是增函数，所以，x 1 是函数 fx> 的微小值点，x 2 是函数 fx> 的极大值点课堂过手练习：设函数 fx> x a>2lnx ， a R.如 x e 为 y fx> 的极值点，求实数a.易错点求参数取值时显现典例：2已知函数 fx> ax3 3x2 x 1 在 R上是减函数，求a 的取值范畴【错解】求函数的导数f x> 3ax 6x 1，2当 f x><0时， fx>是减函数，就 f x> 3ax 6x1<0x R>故 错误 . 解得a< 3.【错因分析】f x><0x a ，b>>是 fx> 在a ，b>上单调递减的充分不必要条件，在解题过程中易误作是充要条件，如fx> x3 在 R 上递减，但 f x> 3x2 0.2【正确解答】求函数的导数 f x> 3ax 6x 1，21> 当 f x><0 时， fx>是减函数，就 f x> 3ax 6x 1<0x R>故 错误 . 解得 a< 3.323欢迎下载精品学习资源2> 当 a 3 时， fx> 3x在 R 上是减函数综上 a 的取值范畴是 a 3. 3x x 1 3x 错误 . >错误 . 易知此时函数也欢迎下载精品学习资源1> 当函数在某个区间内恒有fx> 0，就 fx> 为常数，函数不具有单调性f x>0 是 fx> 为增函数的必要不充分条件在解题中误将必要条件作充分条件或将既不充分与不必要条件误作充要条件使用而导致的错误仍许多，在学习过程中留意思维的严密性 2> 函数极值是一个局部性概念，函数的极值可以有多个，并且极大值与微小值的大小关系不确定要强化用导数处理单调性、极值、最值、方程的根及不等式的证明等数学问题的 意识欢迎下载精品学习资源3> 假如一个函数在给定定义域上的单调区间不止一个，这些区间之间一般不能用并集符号“”连接，只能用“，”或“和”字隔开纠错课堂练习：已知函数 fx> x3 ax2 bxc 在 x1 处取极值 2. 1> 试用 c 表示 a， b；2> 求 fx> 的单调递减区间2解： 1>f x> 3x 2ax b由已知条件 错误 . ，即 错误 .2解得 a c， b 3 2c2>f x> 3x 2cx 3 2c 3x 3 2c>x 1> 3x 错误 . >x 1>2如 错误 . 1，即 c 3 f x> 3x 1> 0fx> 在 ， >上递增不合题意c 3 应舍去如 错误 . <1，即 c>3 时，fx> 的递减区间为 错误 . ， 1>；如 错误 . >1，即 c< 3 时，fx>的递减区间为1， 错误 .>1. 与函数的单调性有关的问题1> 利用导数求函数的单调区间，可通过f x>>0 或 f x><0 来进行，至于区间的端点是否包含，取决于函数在端点处是否有意义，如有意义，就端点包含与不包含均可；如无意义，就必不能包含端点2> 如函数 fx> 在a ， b>上递增 或递减 >，就在 a ， b>上 fx> 0 或 f x> 0>恒成立，如该不等式中含有参数，我们可利用上述结论求参数的范畴，它蕴涵了恒成立思想利用上述方法求得参数的范畴后，要留意检验该参数的端点值能否使f x> 0 恒成立如能，就去掉该端点值；否就，即为所求2. 与函数的极值有关的问题1> 求函数的极值点，可通过f x> 0 来求得，但同时仍要留意检验在其两侧邻近的导函数值是否异号2> 如函数 fx> 在 x x0 处有极值，就肯定有f x0> 0，我们可利用上述结论求参数的值欢迎下载