2022年导数常见题型与解题方法总结.docx

导数题型总结1、分别变量 -用分别变量时要特殊留意是否需分类争论（>0,=0,<0 ）2、变更主元 -已知谁的范畴就把谁作为主元3、根分布 4 、判别式法 -结合图像分析5、二次函数区间最值求法 -（ 1）对称轴（重视单调区间）与定义域的关系（ 2）端点处和顶点是最值所在一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令f ' x0 得到两个根；其次步：画两图或列表； 第三步：由图表可知；第三种：变更主元（即关于某字母的一次函数）（已知谁的范畴就把谁作为主元）；例 1：设函数yf x在区间 D 上的导数为f x , f x 在区间 D 上的导数为g x,如在区间 D上, g x0 恒成立, 就称函数yf x在区间 D上为“凸函数”,已知实数 m是常数,f xxmx33x241262（1） 如 yf x 在区间 0,3 上为“凸函数”,求 m的取值范畴；（2） 如对满意 m2 的任何一个实数 m ,函数f x 在区间a,b 上都为“凸函数”,求 ba 的最大值 .x4mx33x2x3mx2解: 由函数f x1262得 f x3x32g xx2mx3（1）yf x 在区间 0,3 上为“凸函数”,就g x2xmx30在区间0,3上恒成立解法一：从 二次函数的区间最值 入手：等价于gmax x0g0030m2g3093m30解法二： 分别变量法： 当 x0 时,g xx2mx330 恒成立,当 0x3 时,g xx2mx30 恒成立等价于x233mxxx的最大值（ 0x3 ）恒成立,而h xx3 （ 0xx3 ）是增函数,就hmaxxh 32m22 当 m2 时 f x 在区间a, b 上都为“凸函数”就等价于当 m2 时g xx2mx3 0恒成立变更主元法再等价于F mmxx230 在 m2 恒成立（视为关于 m的一次函数最值问题）F 202 xx230F 202 xx2301x1ba2例 2：设函数f x1 x332ax 23a 2 xb 0a1, bR（）求函数 f （ x）的单调区间和极值；（）如对任意的 x a1, a2, 不等式f xa 恒成立,求 a 的取值范畴 .解：（）f xx24ax3a2x3axa0a1f xa3a3aa令 f x0, 得f x 的单调递增区间为（ a,3 a）令 f x0, 得f x 的单调递减区间为（,a）和（ 3a, +）当 x=a 时,f x 微小值 =3 a 3b;4当 x=3a 时,f x 极大值 =b.（）由 |f x | a,得：对任意的 xa1,a2,ax224ax3aa 恒成立就等价于gx这个二次函数gmax xagmin xag xx24ax3a 2的对称轴 x2a0a1,a1aa2a （放缩法）即定义域在对称轴的右边,g x这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题；g xx24ax3a 2在 a1,a2 上是增函数 .a1,a2x2a g xmaxg xmingaga22a1.14a4.于是,对任意 xa1, a2 ,不等式恒成立,等价于gaga24a412a1a, 解得 4a5a1.又 0a1, 4a1.5点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴（重视单调区间）与定义域的关系例 3：已知函数f xx3ax 2 图象上一点P1,b 处的切线斜率为 3 ,3t62g xxx 2t1x3t0（）求 a,b 的值；（）当 x1,4 时,求f x 的值域；（）当 x1,4 时,不等式f xg x 恒成立,求实数 t 的取值范畴；解：（）f / x3x22 ax f / 13,解得 a3b1ab2（）由（）知, f x 在1,0 上单调递增,在 0, 2 上单调递减,在 2, 4 上单调递减又 f 14,f 00,f 24,f 416 f x 的值域是 4,16（）令hxf xg xt x22t1x3x1,4思路 1：要使f xg x恒成立,只需h x0 ,即t x22 x2 x6 分别变量思路 2：二次函数区间最值二、参数问题1、题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范畴解法 1：转化为f ' x0或f' x0 在给定区间上恒成立, 回来基础题型解法 2：利用子区间（即子集思想）；第一求出函数的单调增或减区间,然后让所给区间是求的增或减区间的子集；做题时肯定要看清晰“在（ m, n）上是减函数”与“函数的单调减区间是（ a , b）”,要弄清晰两句话的区分：前者是后者的子集例 4：已知 aR,函数f x1 x 12a1 x 2324a1x （）假如函数gxf x是偶函数,求f x 的极大值和微小值；（）假如函数f x 是, 上的单调函数,求 a 的取值范畴解： fx1 x24a1 x 4a1 .（ ） f x是 偶 函 数 , a1 .此 时f x1 x3123x ,f x1 x23 ,4令 f x0 ,解得： x23 .列表如下： , x2 3 23 2 323 ,23 23 ,+f x+00+f x递增极大递减微小值递增值可知：f x 的极大值为f 23 43 ,f x的微小值为f 2343 .（）函数f x 是, 上的单调函数, f x1 x24a1x4 a10 ,在给定区间 R上恒成立 判别式法就 a124 1 4 a1a 22a40,解得： 0a2 .综上, a 的取值范畴是 a 0a2 .例 5、已知函数f x1 x31 2ax21a xa0.32（I ）求 f x 的单调区间；（II ）如 f x 在0 , 1 上单调递增 ,求 a 的取值范畴； 子集思想解：（ I ） fxx22a) x1a x1 x1a .1 、当a0时, f xx120 恒成立 ,当且仅当 x1 时取“ =”号,f x在, 单调递增；2 、当a0时,由f(x) 0, 得x11, x2a1,且x1x2 ,f x单调增区间： ,1, a1,-1a-1单调增区间： 1,a1（II ）当f x在0,1 上单调递增 ,就 0,1 是上述增区间的子集：1、 a0 时,f x在, 单调递增 符合题意2、 0,1a1, a10a1综上, a 的取值范畴是 0 , 1 ；2、题型二：根的个数问题题 1函数 fx与 gx （或与 x 轴）的交点,即方程根的个数问题解题步骤第一步： 画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”仍是“先减后增再减” ；其次步： 由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和微小值与 0 的关系；第三步： 解不等式（组）即可；例 6、已知函数数f x1 x 33k12x 2 ,g x1kx ,且3f x 在区间2, 上为增函（ 1） 求实数 k 的取值范畴；（ 2） 如函数f x 与gx的图象有三个不同的交点,求实数 k 的取值范畴解：（1）由题意f xx2k1 x f x 在区间2, 上为增函数, f xx 2k1 x0 在区间2, 上恒成立 （分别变量法）即k1x 恒成立,又 x2 , k12 ,故 k1 k 的取值范畴为 k1（2）设h xf xg xx 3k1 x 232kx1 , 3h xx 2k1xk xk x1令h x0 得xk 或 x1 由（ 1）知 k1 ,当 k1 时,h x x120 , hx 在 R上递增,明显不合题意当 k1 时,h x , h x 随x 的变化情形如下表：x, kkk,111,h x00h x极大值k 3k 21微小值623k12由于 k120 ,欲使f x 与g x的图象有三个不同的交点,即方程h x0 有三k 3k 212k1个不同的实根,故需0 ,即 k1 k2k20 2,623k2k20解得 k13综上,所求 k 的取值范畴为 k13根的个数知道,部分根可求或已知；例 7、已知函数f x312axx22 xc（ 1）如 x1 是 f x 的极值点且f x 的图像过原点,求f x 的极值；（ 2）如g x1 bx22xd ,在（ 1）的条件下,是否存在实数 b ,使得函数gx 的图像与函数f x 的图像恒有含 x1 的三个不同交点如存在,求出实数b 的取值范畴； 否就说明理由； 解 ：（ 1 ） f x的图像过原点, 就f 00c0f x3ax2x2 ,又 x1是 f x 的极值点,就f 13a120a1f x2f x3xx23 x2 x102-13f 极大值 xf 132f 微小值 x222f 37（ 2）设函数g x的图像与函数f x 的图像恒存在含 x1 的三个不同交点,等价于f xg x 有含 x1 的三个根,即：f 1g 1d1 b12x31 x22 x1 bx 2x1 b1 整理得：222即： x1 b1x2x1 b10 恒有含 x1 的三个不等实根322hxx1 b1xx1 b10 有含 x1 的根,3222就h x必可分解为 x1二次式0 ,故用添项配凑法因式分解,x3x2x21 b1x2x1 b10222x x11 b1x2x1 b1022x2 x11 b21x22 xb10十字相乘法分解：x2 x11 b21xb1x10x1x21 b1x1 b1022x31 b1x2x1 b10 恒有含 x1 的三个不等实根22等价于x21 b1x1 b10 有两个不等于 -1 的不等实根；221 b1241 b1042b,11,33, 121 b11 b1022题 2切线的条数问题,即以切点 x0 为未知数的方程的根的个数例 7、已知函数f xax3bx 2cx 在点x0 处取得微小值 4,使其导数f ' x0的 x 的取值范畴为 1,3 ,求：（ 1）f x 的解析式；（ 2）如过点P 1,m可作曲线yf x 的三条切线,求实数 m 的取值范畴（1） 由题意得：f ' x3ax22bxc3a x1 x3, a0在,1 上f 'x0 ；在 1,3 上f ' x0 ；在 3, 上f ' x0因此 f x 在x01 处取得微小值 4 abc4 ,f'13a2bc0 , f '327a6bc0 a1由联立得：b6,c9f x32x6x9x（2） 设切点 Qt,f t , yf tf , t xty3t212t9 xt t 36t 29t 3t 212t9 xt 3t 212t9t t 26t93t 212t9 xt 2t 26t 过 1,mm 3t 212t912t 36t 2g t 2t32t 212t9m0令g 't 6t26t126t 2t20 ,求得： t1,t2 ,方程gt0 有三个根；g 10需：g 2023129m01612249m0m16m11故： 11m16 ；因此所求实数 m 的范畴为： 11,16题 3已知 f x 在给定区间上的极值点个数就有导函数 =0 的根的个数解法： 根分布或判别式法例 8、解：函数的定义域为 R （）当 m 4 时, f x 17323x x2 10x,2f x x 7x10,令 f x0, 解得 x5, 或 x2.令 f x0, 解得 2x5可知函数 f x 的单调递增区间为 ,2 和（ 5,）,单调递减区间为 2,5 （）f x x m 3 xm 6,2要使函数 yf x 在（1,）有两个极值点 ,f x2x m 3 x m 6=0 的根在（ 1,）根分布问题：1 m324 m60;就 f 11m3m60; , 解得 m3m31.2例 9、已知函数f xa x 331 x2 , a2R,a0（ 1）求f x 的单调区间；（ 2）令g x4 1 x f （x）（xR）有且仅有 3 个极值点,求 a 的取值范畴4解：（1）f ' xax 2xxax1当a0 时,令f ' x0 解得 x1 或x0 ,令a'f x0 解得1x0 , a所以 f x 的递增区间为 ,1 a0, ,递减区间为 1 ,0 .a当,0a0 时 , 同 理 可 得1 , .af x的 递 增 区 间 为0, 1 a, 递 减 区 间 为（ 2）g x1 x44a x331 x2 有且仅有 3 个极值点2g xx3ax2xxx2ax1 =0 有 3 个根,就 x0 或 x2ax10 , a2方程 x2ax10 有两个非零实根,所以a 240,a2或a2而当 a2或a2 时可证函数yg x 有且仅有 3 个极值点其它例题：1 、（ 最 值 问 题 与 主 元 变 更 法 的 例 子 ） . 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数f x32ax2axb（a0）在区间 2,1 上的最大值是 5,最小值是 11.（）求函数 f x 的解析式；（）如 t1,1 时, f x） tx0 恒成立,求实数 x 的取值范畴 .解：（）f xax32ax 2b,f ' x3ax24 axax 3x4令 '=0, 得x0, x42,1f x123由于 a0 ,所以可得下表：x2,000,1'f x+0-f x极大因此 f0 必为最大值 , f（0）5因此b5 ,f 216a5,f 1a 5,f 1f 2,即 f 216a511, a1,f x） x 32 x25.（）f x3x 24 x , fx） tx0 等价于3x 24xtx0 ,令g t xt3 x 24x ,就问题就是gt 0 在t1,1 上恒成立时, 求实数 x 的取值范畴,为此只需g10 ,即g（103x 25x0x 2x0 ,解得 0x1,所以所求实数 x 的取值范畴是 0 , 1.2、（根分布与线性规划例子）已知函数f x2 x33ax 2bxc 如函数f x 在 x1时有极值且在函数图象上的点 0,1 处的切线与直线3xy0 平行,求f x 的解析式； 当f x 在 x0,1 取得极大 值且 在 x1,2取得微小 值时 ,设点M b2,a1 所在平面区域为 S, 经过原点的直线 L 将 S分为面积比为 1:3 的两部分,求直线 L 的方程.解： .由 f x2 x22axb ,函数f x 在x1 时有极值 , 2ab20 f 01 c1又 f x 在 0,1 处的切线与直线 3xy0 平行, f 0b3故a12f x2 x31 x23x1 . 7分32 解法一 :由 f x2 x22 axb及f x 在x0,1 取得极大值且在x1,2 取得微小值 ,f 00b0f 10f 20即 2ab204ab80令M x,y ,就x b2y a12 yx20故点M所在平面区域S 为如图 ABC,4 yx60 ay1bx2x20易得 A2,0 ,B 2,1 ,C 2,2 ,D 0,1 ,E0,3 ,2S ABC2同时 DE为 ABC的中位线 ,S DEC1S四边形3ABED 所求一条直线 L 的方程为 :x0另一种情形设不垂直于x 轴的直线 L 也将 S 分为面积比为 1:3 的两部分 ,设直线 L 方程为 ykx , 它与 AC,BC分别交于 F、G,就 k0 ,S四边形 DEGF1ykx由2 yx20得点 F 的横坐标为 :xF22k1由ykx4 yx60得点 G的横坐标为 :xG64k1 SSS1361121即16k 22k50四边形 DEGFOGEOFD224k122k1解得:k1或2k5 舍去故这时直线方程为 :y1 x 82综上, 所求直线方程为 :x0 或y1 x. . .12 分2 解法二:由 f x2 x22 axb及f x 在x0,1 取得极大值且在x1,2 取得微小值 ,f00b0f10即2ab20令M x,y ,就f204ab80x b2y a12 yx20故点 M所在平面区域S 为如图 ABC,4 yx60 ay1bx2x20易得S ABC2A2,0 ,B 2,1 ,C 2,2 ,D 0,1 ,E0,3 ,2同时 DE为 ABC的中位线 ,1四边形 ABEDS DECS 3所求一条直线 L 的方程为 :x0另一种情形由于直线 BO方程为 :y1 x ,设直线 BO与 AC交于 H ,21由y2 x2 yx20得直线 L 与 AC交点为:H 1,1 2 S ABC2 ,S DEC1121 ,222S ABHS ABOS AOH12112112222 所求直线方程为 :x0或 y1 x23、（根的个数问题） 已知函数fxax 3bx 2c3a2bxda0 的图象如图所示；（）求 c、d 的值；（）如函数 fx的图象在点 2,f2处的切线方程为 3xy110 ,求函数 f x 的解析式；（）如 x05, 方程fx8a 有三个不同的根,求实数 a 的取值范畴；解：由题知：f x3ax 22bx+c-3a-2b（）由图可知 函数 fx 的图像过点 0 , 3 ,且 f1 = 0得 d3 3a2bd3c3a2b0c0（）依题意f2 = 3且 f 2 = 512a 8a4b3a4b6a2b34b35解得 a = 1 ,b = 6322所以 f x =x 6 x + 9 x + 33（）依题意f x =ax+bx 3a + 2 b x + 3 a 0 2fx = 3 ax+ 2 bx 3 a 2 b由 f5 = 0b = 9 a如方程 f x = 8 a 有三个不同的根,当且仅当满意 f 5 8af 1 由 得 25 a + 3 8a7a + 31 a 311所以 当分1 a3 时,方程 f x = 8 a 有三个不同的根； 12114、（根的个数问题） 已知函数f x132xax3x1aR（1） 如函数f x 在xx1, xx2 处取得极值,且 x1x22 ,求a 的值及f x 的单调区间；（2） 如 a1 ,争论曲线 f x 与 g x1 x22a1x5 2x1 的交点个数226解：（1）f' xx22ax1x1x22 a, x1x21xx xx 24x x4a24212121 2a0 2 分f xx22ax1x21令 f x0 得x1,或x1令 f x0 得 1x1 f x 的单调递增区间为 ,1, 1, ,单调递减区间为 1,1 5 分（ 2）由题f xg x 得1 x3ax2x11 x22 a1x5326即 1 x3 a1 x22ax10326令 x1 x3a1 x22ax1 2x1 6 分326xx22a1) x2a x2a x1令 x0 得 x2a 或x1 7 分1a2当 2a2 即a1时x2 2,11 x x8a92a此时,8a920 , a0 ,有一个交点； 9 分当 2a2 即 1a1 时,