2022年对数与对数函数知识点与题型归纳.docx

高考明方向1. 懂得对数的概念及其运算性质 ,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数 ；明白对数在简化运算中的作用2. 懂得对数函数的概念, 懂得对数函数的单调性, 把握对数函数图象通过的特别点3. 知道对数函数是一类重要的函数模型4. 明白指数函数 y ax 与对数函数 y logax 互为反函数a>0,且 a 1备考知考情通过对近几年高考试题的统计分析可以看出,本节内容在高考中属于必考内容,且占有重要的重量,主要以选择题的形式命题,也有填空题和解答题主要考查对数运算、换底公式等及对数函数的图象和性质对数函数与 幂、指数函数结合考查,利用单调性比较大小、解不等式 是高考的热点 .一、学问梳理 名师一号 P27留意：学问点一对数及对数的运算性质1. 对数的概念一般地,对于指数式 ab N,我们把“以 a 为底 N 的对数 b”记作 logaN,即 blogaNa>0,且 a1其中,数a 叫做对数的底数, N 叫做真数,读作“ b 等于以 a 为底 N 的对数”留意： 补充 关注定义 - 指对互化的依据2. 对数的性质与运算法就1对数的运算法就假如 a>0 且 a 1, M>0,N>0,那么 logaMN logaM logaN；N logaM logaM logaN； logaMnnlogaMnR ；mnn logaM mlogaM .(2) 对数的性质 alogaNN； logaaNNa>0,且 a 1(3) 对数的重要公式logaN换底公式： logbN logaba, b 均大于零且不等于 1；1logba logab,推广 logab·logbc·logcdlogad.留意： 补充 特别结论 : log a 10,loga a1学问点二对数函数的图象与性质a>10<a<11. 对数函数的图象与性质 （留意定义域 .）2. 反函数指数函数 y ax 与对数函数 y logax 互为反函数, 它们的图象关于直线yx 对称 补充设 yfx存在反函数,并记作 yf1x,1) 函数 yfx与其反函数 y f1x的图象关于直线 yx 对称2) 假如点 Px0,y0在函数 yfx的图象上 , 就必有 f1y0x0 ,反函数的定义域、 值域分别为原先函数的值域、 定义域3) 函数 yfx与其反函数 y f1x的单调性相同二、例题分析：（一）对数式的运算例 1.1 名师一号 P27对点自测 12022 ·陕西文 3设 a,b, c 均为不等于 1 的正实数,就以下等式中恒成立的是 Alogab·logcb logca Blogab·logcalogcb Clogabcloga b·logac Dlogab c logablogac解析 由对数的运算性质： logabclogablogac, 可判定选项 C,D 错误；选项 A,由对数的换底公式知,logab·logcb logca. lgb lgblga. lg2b lg2a,此式不恒成lga·lgc lgc立,故错误；对选项 B,由对数的换底公式知, logab·logcalgb lgalgb lga·lgc lgc logcb,故恒成立答案B例 1.2 补充运算以下各式的值2lg 2lg3111 lg0.361 lg8232温故知新 P22 第 8 题2lg 5lg 2 lg 504log2 331log 2 25log 13 81log5 9答案： 1 12103-12留意： 精确娴熟记忆对数运算性质多练lg2lg51名师一号 P28高频考点 例 1【规律方法】在对数运算中,要娴熟把握对数式的定义,敏捷使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式 对式子进行恒等变形,多个对数式要尽量化成同底的形式例 2.1 名师一号 P27对点自测 22022 ·陕西卷 已知 4a2,lgx a,就 x.解析 4a112,a log42 由 lgx得 x102.12 10.2,例 2. （ 2）名师一号 P28高频考点 例 11如 x log43,就2x2x2 等于951044A.4B.C. 3D.3解析 :由 x log43,得 4x3,即 2x 3,2x 3323.所以 2x 2 x2 2343留意：指数与对数的互化ab N. b loga Na>0, a 1, N>0a练习: 补充 已知 35bk, 11ab2 求 k答案:k15例 3. 名师一号 P28高频考点 例 12log2x,x>0,1已知函数 fx x就 ff1 f log3的值31,x0,2是2A5B3C 1D.7由于 f1log210,所以 ff1f02.log 11132由于 log32<0,所以 f log32 3 1log323 1 2 1 3.1所以 ff1 f log32 235.二、对数函数的图象及性质的应用例 1. 补充求以下函数的定义域1y log0.54x3.x2ylogx 1 164 解析： 1 由函数定义知 ：log0.54x30 4x3>04x 3 13 4x 3>0,即4<x1.3故原函数的定义域是 x| <x 142由函数有意义知x 1>0x 1 1 164x>0x>1 x 0 x<2即 1<x<2,且 x0.故原函数的定义域为 x|1<x<0,或 0<x<2练习：已知集合 x y2log2xaxaR求实数 a 的取值范畴解析： 设 fxx2ax a,就 ylog2fx, 依题意, fx>0 恒成立, a2 4a<04<a<0,即 a 的范畴为 4,0例 2. 名师一号 P27对点自测 52022 ·重庆卷 函数 fxlog2x·log22x的最小值为解析依据对数运算性质, fx log2x·log22x2 1 log2x·2log22x log2x1 log2x log2x2 log2x 1log2x2214,当 x212 时,函数取得最小值 4.留意：换元后“新元”的取值范畴 练习：1、求以下函数的值域（ 1） y log1x2 2x 45答案 1, 22（ 2） fx log2x3log x12212 x2解析令 t log2x, 2x21t 1.函数化为 yt26t2t327 1 t1.1当 t 1,即 x 2时, ymax9.当 t1,即 x2 时, ymin 3,函数的值域为 3,9.y ylog2x2axa2、已知集合R求实数 a 的取值范畴分析当且仅当 fxx2 axa 的值能够取遍一切正实数时, ylog2x2axa的值域才为 R.而当<0 时,fx>0 恒成立,仅仅说明函数定义域为 R,而fx不肯定能取遍一切正实数 一个不漏 要使 fx能取遍一切正实数, 作为二次函数, fx图像应与 x 轴有交点 但此时定义域不再为 R正解 要使函数 y log2x2ax a的值域为 R,应使 fx x2axa 能取遍一切正数,要使 fx x2 axa 能取遍一切正实数,应有 a2 4a0, a0 或 a 4,所求 a 的取值范畴为 , 4 0, 例 3.（1）名师一号 P27对点自测 4已知 a0 且 a 1,就函数 y logax2 0152 的图象恒过定点解析 令 x 2 015 1,即 x 2 014 时,y2,故其图象恒过定点 2 014,2练习:无论 a 取何正数 a1, 函数 y【答案】 4, 3留意：logax33 恒过定点对数函数 yloga x a0, 且a1 图象都经过定点 1, 0例 3.（2） 补充如右下图是对数函数 ylogax, y logbx, y logcx,ylogdx 的图象,就 a、b、c、d与 1 的大小关系是A a>b>1>c>d Bb>a>1>d>cC 1>a>b>c>dDa>b>1>d>c【答案】 B在上图中画出直线 y1,分别与 、 、交于 Aa,1、Bb,1、Cc,1、Dd,1,由图可知 c<d<1<a<b.留意： 补充两个单调性相同的对数函数,它们的图象在位于直线 x 1 右侧的部分是 “底大图低 ”.利用 loga a1,图象都经过a,1点, 作直线 y1,就该直线与图象的交点的横坐标即为底数a ；例 3. （ 3）名师一号 P28高频考点 例 212022 ·福建卷 如函数 ylogaxa>0, 且 a 1的图象如下列图,就以下函数图象正确选项 ABCD答案： B.例 4. 名师一号 P28高频考点 例 3 已知函数 fxlog4ax2 2x 3 1如 f1 1,求 fx的单调区间；2是否存在实数 a,使 fx的最小值为 0？如存在,求出 a 的值；如不存在,说明理由解析 :1 f1 1,log4a5 1,因此 a5 4, a 1.这时 fxlog4x2 2x3 由 x22x 3>0 得 1<x<3, 函数 fx的定义域为 1,3 令 gx x22x 3,就 gx在1,1上单调递增,在 1,3上单调递减 又 y log4x 在0, 上单调递增,所以 fx的单调递增区间是 1,1, 单调递减区间是 1,32假设存在实数 a 使 fx的最小值为 0,就 hxax22x3 应有最小值 1, a>0,因此应有解得 a13a 1a 1,2.故存在实数 a1fx的最小值为 0.2使练习：温故知新 P32第 5 题三、比较大小例 1. 名师一号 P29特色专题 典例,就A a>b>cBb>a>cCa>c>bDc>a>b【规范解答】方法 1：在同一坐标系中分别作出函数ylog2x, y log3x,ylog4x 的图象,如下列图由图象知： log 3.4>log 1023 3 >log43.6.方法 2： log3 3 >log3 3 1,且 3 <3.4,1010log 103<log333.4<log23.4.log4 3.6<log441,log 103 3 >1,log43.6<log 103 3 .log23.4>log 1033>log43.6.由于 y5x 为增函数,故 a>c>b.留意：名师一号 P28 问题探究问题 3比较幂、对数大小有两种常用方法：数形结合；找中间量结合函数单调性练习:yx1、如 0<x<y<1,就A 3 <3B logx3<logy3C log4x<log4yD.1 x1 y4< 4解析： 0<x<y<1,由 y3u 为增函数知 3x<3y,排除 A；log3u 在0,1内单调递增,log3x<log3 y<0,logx3>logy3,B 错由 ylog4u 为增函数知 log4x<log4y,C 正确由 y 答案： C1 u4为减函数知1 x1>44y,排除 D.2、对于 0<a<1,给出以下四个不等式a loga1a<loga1 1a loga1a>loga1 1 11；1 1 a1a<aa1 aa； a>a.其中成立的是 A与B与C与D与答案： D解析： 由于1a<1 10<a<1. a< . 1aa,111loga1a>loga1 a,a1a>aa .选D.四、对数方程与不等式例 1.1 补充方程 log3x2101log3x 的解是 答案 x 52解析 原方程化为 log3x 10 log33x,由于 log3x在0, 上严格单增,就 x210 3x,解之得 x15, x2 2.要使log3x 有意义,应有 x>0,x5.留意：依据对数函数恒单调求解；例 1.2温故知新 P32第 9 题log 2 x x0已知函数 fx3xx0,且关于 x 的方程fxxa范畴是0 有且只有一个实根,就实数 a 的取值练习：温故知新 P31第 5、6 题温故知新 P29第 10 题例 2. （ 1） 补充 已知 0<a<1, loga1 x<logax 就111A 0<x<1Bx<2C 0<x<2D.2 x<1分析： 底数相同,真数不同,可利用对数函数ylogax 的单调性脱去对数符号转化为整式不等式求解解析： 0<a<1 时, y loga x 为减函数,原不等式化为1 x>0 x>0 1 x>x,解得10<x<2.例 2.2 补充设 0<a<1,函数 fxlogaa2x 2ax 2,就使 fx<0的 x 取值范畴是 A, 0B0, C, loga3Dloga3, 解析： 0<a<1logaa2x2ax2<0ax2xx2x即2a 2>1a2a 3>0xxa >3 或 a < 1舍x<loga3,应选 C.留意：关于含对数式 或指数式 的不等式求解, 一般都是用单调性或换元法求解例 2. （ 3）名师一号 P28高频考点 例 222当 0<x1时, 4x<loga x,就 a 的取值范畴是 2A. 0, 2B.2 21C 1, 2D2,2,2解析：由题意得,当 0<a<1 时,要使得 4x<loga x 0<x1 ,2即当 0<x1时,函数 y4x 的图象在函数 y logax 图象的下方112x1又当 x2时,412,即函数 y 4的图象过点22,2 ,x把点 2, 2 代入函数 ylogax,得 a 2 ,如函数 y4 的图象在函数 ylogax 图象的下方, 就需2如下列图 2 <a<1,当 a>1 时,不符合题意,舍去 所以实数 a 的取值范畴是21 .2答案： B.练习: 当 x1, 2 时,不等式 x12log ax 恒成立, 就实数a 的取值范畴是；分析：如将不等号两边分别设成两个函数, 就左边为二次函数,图象是抛物线, 右边为常见的对数函数的图象,故可以通过观看图象求解；yy1=x-1y2=log a2解：设 f1 x x1 ,f 2 xlog ax 1,P就 f1 x 的图象为右图所示的抛物线,要使对一切02xx1, 2 ,f1 xf2 x 恒成立, a1 ,观看图象得：log a 2121只需 f 2f 2 即可；故,a1取值范畴是 a 1a2 ；变式:名师一号 P28变式摸索 22不等式 logax>x12 恰有三个整数解,就 a 的取值范畴为,A 16 5, 9 4B 16 5, 9 4C116 5D1,9 42解析:不等式 logax>x1 恰有三个整数解,画出示意图可知 a>1,其整数解为 2,3,4,2就应满意loga4> 41 ,loga5 51 2,169得5 a<4.答案 :B五、反函数的概念例 1. 补充 已知函数 fx 2x 1x 0,记 fx的反函数为 1 1 5fx,那么 f4A.54B4C.14D 2分析：利用函数 fx及其反函数 f1x的关系求解4解析： 设 f15 a,就 fa54,a52 1 4,a 2.留意：假如点 a, b在反函数 yf1x的图象上, 就点b,a在原先函数的图象上；互为反函数的两个函数的图象关于直线yx 对称例 2. 补充 函数 ylgx1的反函数的图象为 解析： 函数ylgx1的图象过点 0,0,故反函数图象过点0,0,排除 A、B、C,选 D.练习： 假如一个点是一个指数函数的图象与一个同底的对数函数图象的公共点,那么称这个点为“世博点”在下2面的五个点 M 1,1, N1,2,P2,1, Q2,2, G2,1中,“世博点”的个数为 A0 个B 1 个 C 2 个D3 个答案 B 解析指数函数与同底的对数函数的图象关于直线 yx 对称,故如它们有交点,就交点肯定在直线y x上,而 M 1,1不适合题意,故只有点 Q 满意题意 计时双基练 P226培优第 1 题六、指数、对数函数的综合问题第 11 周周练第 13 题设 a1 , 就当yax 与 ylog ax 两个函数图像有且只有一个公共点时 , ln ln a答案:-1第 11 周周练第 10 题课后作业一、 计时双基练 P225 基础 1-9课本 P28 变式摸索 1、2、3；二、 计时双基练 P226 基础 10、11；培优 1-4课本 P29 对应训练 1、2预习 其次章第五节 幂函数与二次函数补充练习 1: 已知函数 y4x3 2x3的值域为 1,7 ,就 x 的范畴是（）A. 2,4B.,0C. 0,12,4D.,01,2答案:D练习 2:已知方程 9x2·3x 3k 1 0 有两个实数解,试求实数 k 的取值范畴 解析令 t 3x,就 t >0. 原方程有两个实数解, 即方程 t 22t 3k 1 0 有两个正实数解,就 2 2 43 k 1 0t 1t 2 2>0,t 1t 23k1>012解得 <k .33练习 3:对任意的1x4 mR,5 x 24x 31 4 mx m2 x 2恒成立,求 m 的范33围.解 ：0112223由 题 意 即 对 任 意 的xR,4 m5x4x34mxm x 恒成立即对任意的 xR,m24m5x244m x30 恒成立m24m50m24m5044m 212m2或4m5044m0m1或m5m1或m5或1m19m11m19练习 4: 已知函数 y（1） ）求 M1xlg 34x1xx2 的定义域为 M ,（2） ）当 xM时,求值.f xa 2 x 234xa3 的最小解 1由题可得1x0且x11xxx2可解得M34 xx201 ,12f xa 234=32 x2a 24 a233x 1,1, 12 x2a3 ,2a 32 ,2如 2a1 ,即 a3 时,f xmin =f 1 = 2a3 ,32如 12a2342 ,即3a43 时,4所以当 2 x2a, 即 x3log 2 2a 时,3f xmin =4 a 232a3a3 f x44min43a 2 3a34练习：21、不等式 x2logax<0 在 x 0, 1时恒成立,就 a 的取值范畴是 16A0<a<1B. 1 a<1 1Ca>1D0<a 16解析： 我们没有学过如何解答这类不等式,但我们熟知函数 y x2 与 ylogax 的图象与性质, 因此可在同一坐标系中,画出此二函数的图象借助图象进行争论,在同一坐标21系中画出 yx ,x0,2与 y logax 的图象,0<a<1,1由图象易得11 2loga2 2,即16a<1.应选 B.