2022年导数有关知识点总结经典例题及解析近高考题带答案.docx

资料收集于网络如有侵权请联系网站删除感谢导数及其应用【考纲说明】1、明白导数概念的某些实际背景（如瞬时速度,加速度,光滑曲线切线的斜率等）；把握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；懂得导函数的概念；2、熟记八个基本导数公式；把握两个函数和、差、积、商的求导法就,明白复合函数的求导法就,会求某些简洁函数的导数；3、懂得可导函数的单调性与其导数的关系；明白可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件导数在极值点两侧异号 ；会求一些实际问题 一般指单峰函数 的最大值和最小值；【学问梳理】精品文档导数的概念导导数的运算数导数的几何意义、 物理意义常见函数的导数导数的运算法就函数的单调性一、导数的概念导数的应用函数的极值函数的最值y函数 y=fx, 假如自变量x 在 x0 处有增量x ,那么函数 y 相应地有增量y =f （ x0+x ） f（ x 0）,比值x叫做函yf x0xf x0 yx 之间的平均变化率,即x =x；假如当x0 时,x 有极限,我们数 y=f（ x）在 x0 到 x 0+就说函数 y=fx 在点 x0 处可导,并把这个极限叫做f（ x）在点 x0 处的导数,记作 f （x 0）或 y x|x0 ；limylimf x0xfx0 即 f（x 0） =x0说明：x = x0x；（ 1）函数 f（ x）在点 x0 处可导,是指x或说无导数；y0 时,xy有极限；假如x 不存在极限,就说函数在点x0 处不行导,（ 2） x 是自变量 x 在 x 0 处的转变量,x0 时,而y 是函数值的转变量,可以是零；由导数的定义可知,求函数y=f （ x）在点 x0 处的导数的步骤：（ 1）求函数的增量y =f （ x 0+x ） f（ x 0）；yf x0xf x0 （ 2）求平均变化率x =x；（ 3）取极限,得导数f 0x= 二、导数的几何意义limyx0x ；函数 y=f （x）在点 x0 处的导数的几何意义是曲线y=f（ x）在点 p（ x 0, f（x0 ）处的切线的斜率；也就是说,曲线y=f（ x）在点 p（ x0, f（ x 0）处的切线的斜率是f （ x 0）；相应地,切线方程为y y 0=f/ （ x0）（ x x 0）；三、几种常见函数的导数n C0; xnxn 1; sinxcos x ; cos xsin x ;xxxxln x1l o ga x1log a e e e ; a a lna ;x ;x.四、两个函数的和、差、积的求导法就法就 1：两个函数的和 或差 的导数 ,等于这两个函数的导数的和或差 ,即： uv 'u'v' .法就 2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以其次个函数,加上第一个函数乘以其次个函数的导数,'即： uv ''u vuv .如 C为 常 数 , 就''Cu Cu .Cu 'C ' uCu '0Cu 'Cu '. 即 常 数 与 函 数 的 积 的 导 数 等 于 常 数 乘 以 函 数 的 导 数 ：法就 3：两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方：uv =u' vv2uv'（ v0）；形如 y=fx 的函数称为复合函数；复合函数求导步骤：分解求导回代；法就：y |x= y |u · u |x五、导数应用1、单调区间：一般地,设函数 yf x 在某个区间可导,假如 f假如 f' x' x0 ,就0 ,就f x 为增函数； f x 为减函数；假如在某区间内恒有2、极点与极值：f ' x0 ,就f x 为常数；曲线在极值点处切线的斜率为0,极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负；曲线在微小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正；3、最值：一般地,在区间 a, b 上连续的函数 fx 在a, b上必有最大值与最小值；求函数. x 在a, b内的极值；求函数. x 在区间端点的值. a、.b ；将函数. x 的各极值与. a、 .b 比较,其中最大的是最大值,其中最小的是最小值；4定积分(1) 概念：设函数 fx 在区间 a, b 上连续,用分点 a x0<x1< <xi 1<xi< xn b 把区间 a, b 等分成 n 个小区间,nf在每个小区间 xi 1, xi 上取任一点 i（ i1, 2, n）作和式 In i 1 i x（其中 x为小区间长度） ,把 n即 x 0 时,和式 In 的极限叫做函数 fx 在区间 a,b 上的定积分, 记作： x；bf xdxa,即bf xdxalimnnfi 1 i这里,a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限,区间 a,b 叫做积分区间, 函数 fx 叫做被积函数, x 叫做积分变量, fxdx叫做被积式；基本的积分公式：0dxx m dx1xm 1x C； m1 C（ m Q, m 1）；1x dx lnx C；axe dx ex C；a x dxln a C；cosxdx sinx C；sin xdx cosx C（表中 C 均为常数）；(2) 定积分的性质bkf x dxkbf x dx aab（ k 为常数）；bbf x abg xdxcf x dxabg x dxa；f xdx af xdxac f xdx （其中 ac b ；(3) 定积分求曲边梯形面积由三条直线 x a, xba<b , x 轴及一条曲线 y fx fx 0围成的曲边梯的面积bSf xdxa；假如图形由曲线 y1 f1x , y2f 2x （不妨设 f 1x f 2x 0）,及直线 x a, x b（ a<b） 围 成 , 那 么 所 求 图 形 的 面 积S S曲 边 梯 形 AMNB S曲 边 梯 形 DMNC bf1 x dxabf 2 xdxa；【经典例题】【例 1】（ 2022 广东） 曲线 y=x 3-x+3 在点 1,3处的切线方程：；【解析 】先对函数 y=x 3-x+3 求导,得： y=3x 2-1；代入点 1,3 求出斜率, k=2 ；设切线方程为 y-3=2x-1 ,得切线方程为： y=2x+1 ；【例 2】（ 2022 辽宁） 已知 P,Q 为抛物线 x2=2y 上两点,点 P, Q 的横坐标分别为 4, -2,过 P, Q 分别作抛物线的切线,两切线交于点A 的纵坐标为；【解析 】抛物线变形为：y=1 x2；求导 y,=x；代入两点横坐标得出两切线的斜率分别为：4,-2；点 P, Q 两点坐标2为4,8 ,-2,2 ；得出两切线为： y=4x-8 , y=-2x-2 ；两直线交点为 1,-4 ；所以交点的纵坐标为-4；【例 3】（ 2022 课标） 已知函数 fx=aInxb ,曲线 y=fx 在点 1,f1 处的切线方程为 x+2y-3=0 ；(1) 求 a,b 的值；(2) 假如当 x>0 ,且 x1 时, fx>xInx1xk,求 k 的取值范畴；a x1x1xInx 【解析 】1f ,x=x xfx=1故即12b=1b 由于直线 x+2y-3=0 的斜率为x2解得 a=1, b=1；1,且过点 1,1 ,2f,1=1a122b =2ln x1ln xk1 k1x212 由（ 1）知,所以f x2 2ln x ；x1xx1x1xx考虑函数hx2ln xk1 x21 xx0) ,就h ' x k1x2x21) 2 x；(i) 设 k0 ,由h 'xk x21 x x212知,当 x1 时,h ' x0 ；而h10 ,故当 x0,1 时,h x0 ,可得11x2hx0 ；当 x（ 1, +）时, h（ x） <0,可得11x 2h （ x）>0从而当 x>0, 且 x1 时, f （x） - （ln xk+x1xln xk） >0,即 f （ x） >+.x1x（ ii ）设 0<k<1. 由于当 x（ 1, 11k）时,（ k-1 ）（ x2 +1）+2x>0, 故 h （ x）>0, 而 h（ 1）=0,故当 x（ 1, 1）1k时, h（ x）>0,可得11x2h（ x） <0, 与题设冲突；（ iii）设 k1. 此时 h（ x） >0, 而 h（ 1） =0,故当 x（ 1,+）时, h（ x） >0,可得冲突；综合得, k 的取值范畴为（ -, 0.11x2h （ x） <0, 与题设【例 4】（2022 山东） 已知函数 fx = f1 ）处的切线与 x 轴平行；（）求 k 的值；2（）求 fx 的单调区间；ln x exk （k 为常数, e=2.71828是自然对数的底数） ,曲线 y= fx 在点（ 1,（）设 gx=x 2+xf 'x,其中f 'x 为 fx 的导函数,证明：对任意x 0,gx1e；ln xk1kln xx1k【解析 】由 fx =xe可得 f x,而 fex10 ,即0 ,解得 k1；e（）f x11ln xx,令exf x0 可得 x1,当 0x1时,f x11ln x x0 ；当 x1时, fx11ln x0 ；x于是 fx 在区间0,1内为增函数；在1, 内为减函数；（）gxx 21x x1ln x ex1x2x 2exx ln x,当 x1时, 1x 20, ln x0, x 2x0,ex0 , g x01e 2 .当 0x1时,要证g x x21x x1ln x ex1x 2 x2 exx ln x1 e 2 ；只需证 1x2 x2xlnxex 1e 2 ,然后构造函数即可证明；【例 5】（ 2022 北京） 已知函数f xa x x21,其中 a0 .（）求函数f x 的单调区间；（）如直线xy10 是曲线yf x的切线,求实数 a 的值；（）设g xx ln2xx fx ,求g x 在区间 1,e 上的最大值 .（其中 e为自然对数的底数）【解析 】（）f xa2 x3x,（ x0 ）,在区间 ,0 和 2, 上, f x0 ；在区间 0, 2 上, f x0 .所以,f x 的单调递减区间是 , 0 和 2, ,单调递增区间是0, 2 .ya x0102x0x0y010x , y a2xx0 13x1e（）设切点坐标为00,就0解得 0, a1 .（）g xx ln xa x1) ,就g xl n x1a 解 g x0 ,得 xa 1 ,所以,在区间 0, ea 1g x 为递减函数,在区间a 1,e上,g x 为递增函数 .上,a 10a1 1, eg xg xgeeaae当 e1 ,即时,在区间上,为递增函数,所以最大值为.a 1a2 1, eg xg xg1 0当 ee ,即时,在区间上,为递减函数,所以最大值为.当 1 <e a1 <e,即 1a2时,g x 的最大值为ge 和 g 1 中较大者；geg1 aee aa0 ,解得e1ae1 ,所以,ee1 时, g x 最大值为g eeea2aae ,e1时, gx 最大值为g 10 .0a综上所述,当ee1 时,g x最大值为g eea ae,ae当e1 时,g x 的最大值为g 10 .【例 6】（ 2022 重庆） 已知函数f xax3bxc 在 x2 处取得极值为 c16(1) 求 a 、b 的值； 2 如f x 有极大值 28,求f x 在3,3 上的最大值；【解析 】1. 因f x3axbxc 故2f x3axb 由于f x在点 x2 处取得极值f 20故有即12ab0,化简得12ab0a1解得f 2c 168a2bcc164ab8b12 由 知f x3x12 xc , f2x3 x12令 f x0 , 得 x12, x22 当 x,2 时 ,f x0 故f x在 ,2 上 为 增 函 数 ； 当 x 2,2时, f x0故 f x 在 2, 2上为减函数当 x2, 时 f x0 ,故f x 在 2,上为增函数；由此可知f x 在x12处取得极大值f 216c , f x在 x22处取得微小值f 2c16 由题设条件知 16c28得 c12 ,此时 f39c21, f(3) 9c3 , f2c164 因此f x上3,3 的最小值为f 24 ；【例 7】（ 2022 安徽） 设f xex1ax,其中 a 为正实数（）当 a43时,求f x 的极值点；（）如f x 为 R 上的单调函数,求 a 的取值范 围；f ' x=【解析 】（ 1）（ax2- 2axx1） e当 a= 4时令 f ' x=0 解得 x=1 或 x= 3（1ax2）232 2当 x-1时, f ' x>0; 当 x1 3时, f ' x<0;,22 2当 x3 , 2, f ' x>0, 所以 fx 在 x=1处取得极大值,在x=23处取得微小值；2（ 2）如f x 为 R 上的单调函数就 f ' x 恒大于等于零或 f ' x 恒小于等于零,由于 a>0 所以 =（ -2a） 2-4a 0,解得 0<a1.【课堂练习】一、挑选题1.（ 2022 全国） 曲线 y=e-2x+1 在点 0,2处的切线与直线 y=0 和 y=x 围成的三角形的面积为（）112ABCD 1323x2.（ 2022 课标全国） 曲线 y在点 -1,-1 处的切线方程为（）x2Ay=2x+1By=2x-1Cy=-2x-3Dy=-2x-23.（ 2022 陕西） 设函数 fx=xe x,就（）Ax=1 为 fx 的极大值Bx=1 为 fx 的微小值Cx=-1 为 fx 的极大值Dx=-1 为 fx 的极大值4.（ 2022 广东理） 设 aR,如函数 yeax3x , xR有大于零的极值点,就（）11A a3B.a3C.aD.a335（ 2022 江西、山西、天津理科）函数 y1 3xx3 有（）A 微小值 1,极大值 1B 微小值 2,极大值 3 C 微小值 2,极大值 2D微小值 1,极大值 36.（ 2006 湖南理科） 设 fx 、gx 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数 ,当 x 0 时,f x g xf x gx 0.且 g30 , .就不等式 fxgx 0 的解集是（）A3,03,B 3,00,3C ,3 3,+D,1 x30,327. （ 2007 海南、宁夏理） 曲线 ye2 在点4, e 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（） 9 e22 4e2 2e212D . e28. （ 2022 湖北理） 如 fx=xb ln x22) 在-1,+ 上是减函数,就 b 的取值范畴是（）A.-1 , + B.（-1, +） ., 1D.（ -, -1）9（ 2005 江西理科） 已知函数 yxf x 的图像如右图所示（其中f x 是函数f x的导函数 ,下面四个图象中yf x 的图象大致是（）yyy22141o2yyy=xf ' x412-2-1 o 1 2 3 x-11-2-22 x-2o1x-2o2x-1o1x-1ABD（ 1）（ 2006 江西、天津理科） 右图中阴影部分的面积是 （）A2 3B9233235CD33二、填空题：11.（ 2007 湖北文） 已知函数 yf x的图象在 M（ 1,f（ 1）处的切线方程是1yx +2, f1 f 1= .212.（ 2007 湖南理） 函数f x12 xx3 在区间 3,3 上的最小值是.13.（ 2022 全国卷理） 设曲线axye在点 0,1 处的切线与直线 x2 y10 垂直,就 a.14.（ 2006 湖北文） 半径为 r 的圆的面积 Sr r2,周长 Cr=2r ,如将 r 看作 0, 上的变量, 就 r 2 2r1 , 1 式可以用语言表达为：对于半径为 R 的球,如将 R 看作 0 , 上的变量,请你写出类似于1 的式子：2 式可以用语言表达为：.三、解答题：15.（ 2005 重庆文） 某工厂生产某种产品,已知该产品的月生产量x 吨与每吨产品的价格p 元/吨之间的关系式为：p242001 x2 ,且生产 x 吨的成本为 R550000200x（元）；问该产每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润=收入成本 ；16.（ 2022 重庆文） 设函数f xx3ax29 x1a p0. 如曲线 y=fx的斜率最小的切线与直线12x+y=6 平行,求：（） a 的值;（）函数 f x的单调区间 . 17.（ 2022 全国卷文、理） 已知函数f xx3ax2x1 , aR （）争论函数f x 的单调区间；（）设函数f x 在区间2 , 1内是减函数,求 a 的取值范畴333.（ 2006 浙江理） 设曲线 y（）求切线 l 的方程；e x x 0）在点 M （ t,e t ）处的切线 l 与 x 轴 y 轴所围成的三角形面积为S（ t）；（）求 S（ t）的最大值；19.（ 2007 海南、宁夏文） 设函数2f xln2 x3x（）争论f x 的单调性；（）求f x 在区间31, 的最大值和最小值4420.（ 2007 安徽理） 设 a 0, f x= x 1 ln2 x 2a ln x（ x>0） .（）令 F（ x） xf（x ）,争论 F（ x）在（ 0.）内的单调性并求极值；（）求证：当 x>1 时,恒有 x>ln 2x 2a ln x 1.【课后作业】一、挑选题1.（ 2005 全国卷文） 函数f xx3ax 23 x9 ,已知f x 在 x3 时取得极值 ,就 a =A2B3C4D52 2022 海南、宁夏文） 设2f xln 2x lnx ,如f ' x0 2 ,就 x0（）AeBeC2Dln 23（ 2005 广东） 函数f xx33x 21是减函数的区间为（）A 2,B,2C,01D （0, 2）4.（ 2022 安徽文） 设函数f x2x1xx0,就 f x （）A有最大值B有最小值C是增函数D是减函数5（ 2007 福建文、 理）已知对任意实数 x 有 f x= fx ,g-x=gx ,且 x>0 时,f x>,0 g x>,0 就 x<0 时（）Af x>,0g x>0Bf x>,0g x<0Cf x<,0g x>0Df x<,0g x<06.（ 2022 全国卷文） 设曲线1A1B2yax2C在点（ 1, a ）处的切线与直线2xy61D120 平行,就 a7（ 2006 浙江文）f x32x3 x2 在区间1,1 上的最大值是（）A-2B0C2D48（ 2005 湖南文科） 如函数 fx =x2+bx+c 的图象的顶点在第四象限,就函数f /x 的图象是（）yyyyoxoxABoxoxCD9（ 2005 全国卷理科） 函数 y xcosx sinx 在下面哪个区间内是增函数（）A, 3B,2C 3, 5D2, 3222210. （2022 重庆） 设函数f x 在 R 上可导,其导函数为,f x ,且函数 y1x,f x的图像如下列图,就以下结论中肯定成立的是（ A ）函数f x 有极大值f 2和微小值f 1（ B）函数f x 有极大值f 2 和微小值f 1（ C）函数f x 有极大值f 2和微小值f 2（ D）函数f x 有极大值f 2 和微小值f 2二、填空题：11.（ 2007浙江文） 曲线yx32x24x2 在点 1,一 3处的切线方程是.12.（ 2006 重庆文科） 曲线 yx 3 在点（ 1, 1）处的切线与 x 轴、直线 x2 所围成的三角形的面积为.13（ 2007 江苏） 已知函数Mm.f x3x12x8 在区间 3,3 上的最大值与最小值分别为M , m ,就14.（ 2022 北京文） 如图,函数 fx的图象是折线段 ABC,其中 A,B,C 的坐标分别为（ 0, 4）,（2, 0）,（6, 4）,就 ff0=;函数 fx在 x=1 处的导数 f 1=.三、解答题：15.（ 2005 北京理科、文科） 已知函数 fx= x33x2 9x a.（ I）求 fx的单调递减区间；（ II ）如 fx在区间 2, 2 上的最大值为 20,求它在该区间上的最小值16.（ 2006 安徽文） 设函数fxx3bx2cx xR ,已知g xf xf x 是奇函数；（）求 b 、 c 的值；（）求 g x 的单调区间与极值；1. （ 2005 福建文科） 已知函数f x32xbxcxd 的图象过点 P（ 0,2）,且在点 M（ 1,f（ 1）处的切线方程为 6 xy70 .（）求函数 yf x 的解析式；（）求函数 yf x 的单调区间 .18.（ 2007 重庆文） 用长为 18 m 的钢条围成一个长方体外形的框架,要求长方体的长与宽之比为2：1,问该长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大？最大体积是多少？19（ 2022 全国卷文）设 aR ,函数f xax 33 x2 （）如 x2 是函数 yf x 的极值点,求a 的值；（）如函数g xf xf x,x0,2 ,在 x0 处取得最大值,求 a 的取值范畴20.（ 2022 湖北文） 已知函数f x32xmx2m x1 （m 为常数,且 m>0）有极大值 9.（）求 m 的值；（）如斜率为 -5 的直线是曲线yf x 的切线,求此直线方程.【参考答案】【课堂练习】一、挑选1 10AADBD DDCCC2 填空（ 1） 3 ； 1216 ；13.2； 14.三、解答题4R 3314 R 22,球的体积函数的导数等于球的表面积函数15. 解：每月生产 x 吨时的利润为f x 24200x x550000200 x1 x35由f x24000 x3 x255000024000 x 0解得 x10200, x2200舍去.因f x在 0,内只有一个点 x200使fx0 ,故它就是最大值点,且最大值为：f 2001 200 3524000200500003150000元答：每月生产 200 吨产品时利润达到最大,最大利润为315 万元 .222a 2a216. 解： 由于f xxax9 x1 , 所 f x3 x2ax93 x9. 即当33xa 时, f x取得最小值29a . 因斜率最小的切线与 12 xy6 平行,即该切线的斜率为-12,所以33a 2912,即a239.解得 a3,由题设 a0, 所以 a3.2f x3x6x93x3x1令f x0,解得：x11,x23.当x, 1时,fx0,故f x在, 1）上为增函数；当x 1,3时,fx0,故f x在（1,3）上为减函数；当x3,+ 时,f x0,故f x在（3, ）上为增函数.由此可见,函数f x的单调递增区间为, 1）和（3, ）；单调递减区间为（ 1,3）. 由 知 a3,因此 fxx33 x29 x1,17解：（ 1）f x32xaxx1求导：2f x3x