2022年小学奥数数论专题知识总结.docx

数论基础学问学校数论问题,起因于除法算式：被除数÷除数商余数1. 能整除：整除,因数与倍数,奇数与偶数,质数与合数,公因数与公倍数,分解质因数等；2. 不能整除：余数,余数的性质与运算（余数）,同余问题（除数）,物不知数问题（被除数）；一、因数与倍数1、因数与倍数（ 1） 定义：定义 1：如整数 a 能够被 b 整除, a 叫做 b 的倍数, b 就叫做 a 的因数；定义 2：假如非零自然数a、b、c 之间存在 a× b c,或者 c÷ a b,那么称 a、b 是 c 的因数, c 是 a、b的倍数；留意：倍数与因数是相互依存关系,缺一不行；（a、 b 是因数, c 是倍数） 一个数的因数个数是有限的,最小的因数是1,最大的因数是它本身；一个数的倍数个数是无限的,最小的倍数是它本身,没有最大的倍数；（ 2） 一个数的因数的特点： 最小的因数是 1,其次小的因数肯定是质数； 最大的因数是它本身,其次大的因数是：原数÷其次小的因数（ 3） 完全平方数的因数特点： 完全平方数的因数个数是奇数个,有奇数个因数的数是完全平方数； 完全平方数的质因数显现次数都是偶数次； 1000 以内的完全平方数的个数是31 个, 2000 以内的完全平方数的个数是44 个, 3000 以内的完22全平方数的个数是54 个；（ 31 =961, 442、数的整除（数的倍数）（ 1） 定义：2=1936, 54 =2916）定义 1：一般地,三个整数a、b、c,且 b 0,如有 a÷ b c,就我们就说, a 能被 b 整除,或 b 能整除 a, 或 a 能整除以 b；定义 2：假如一个整数 a,除以一个整数 b（ b 0）,得到一个整数商c,而且没有余数,那么叫做a 能被b 整除或 b 能整除 a,记作 b|a ；（ a b）（ 2） 整除的性质：假如 a、b 能被 c 整除,那么（ a+b）与（ a-b ）也能被 c 整除；假如 a 能被 b 整除, c 是整数,那么 a×c 也能被 b 整除；假如 a 能被 b 整除, b 又能被 c 整除,那么 a 也能被 c 整除；假如 a 能被 b、c 整除,那么 a 也能被 b 和 c 的最小公倍数整除；（ 3） 一些常见数的整除特点（倍数特点）：末位判别法2、5 的倍数特点：末位上的数字是2、5 的倍数；4、25 的倍数特点：末两位上的数字是4、25 的倍数；8、125 的倍数特点：末三位上的数字是8、125 的倍数；截断求和法（从右开头截）9（及其因数 3）的倍数特点：一位截断求和99（及其因数 3、9、 11、33）的倍数特点：两位截断求和999（及其因数 3、9、27、37、111、 333）的倍数特点：三位截断求和截断求差法（从右开头截）11 的倍数特点：一位截断求差101 的倍数特点：两位截断求差1001（及其因数 7、11、13、 77、91、143）的倍数特点：三位截断求差公倍数法6 的倍数特点： 2 和 3 的公倍数；先判定是否2 的倍数,再判定是否3 的倍数；12 的倍数特点： 4 和 3 的公倍数；先判定是否4 的倍数,再判定是否3 的倍数；3、奇数与偶数（自然数按是否能被2 整除分类）（ 1） 定义：奇数：不是 2 的倍数的数；在自然数中,最小的奇数是1；偶数：是 2 的倍数的数；在自然数中,最小的偶数是0；（ 2） 数的奇偶性质： 奇偶相连,奇偶相间,偶数个连续自然数中,奇偶各半； 奇数个奇数的和是奇数；偶数个奇数的和是偶数；任意多个偶数的和是偶数； 两个奇（偶）数的差是偶数；一个偶数与一个奇数的差是奇数； 如 a 、b 为整数,就 a+b与 a-b有相同的奇偶性；n n 个奇数的乘积是奇数, n 个偶数的乘积是 2的倍数； 算式中有一个是偶数, 就乘积必是偶数； 连续的奇数或偶数差为2；如,与奇数 m相邻的两个奇数分别是m-2 和m+2 ； 奇偶分析：奇奇偶奇奇偶奇×奇奇奇偶奇偶偶偶奇×偶偶偶偶偶奇偶奇偶×偶偶4、质数与合数（非0 自然数按因数个数分类）（ 1） 定义：质数：只有 1 和它本身两个因数的数；（因数个数：2 个）合数：除了 1 和它本身仍有其它因数的数；（因数个数：3 个或 3 个以上）（ 2） 常见质数特点：1 既不是质数,也不是合数（1 只有 1 个因数）；2 是最小的质数；4 是最小的合数；2 是质数中唯独的偶数,也是偶数中唯独的质数（除2 外,其它质数都是奇数）；（ 3） 100 以内质数表（ 25 个）： 2、3、5、7、11、13、17、19、23、 29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、 71、73、79、83、89、97（ 4） 分解质因数唯独分解定理：任何一个大于1 的自然数N,假如 N 不是质数,那么 N可以唯独分解成有限个质数的乘积；质因数：假如某个质数是某个数的因数,那么这个质数叫做这个数的质因数；分解质因数：把一个合数写成它的几个质因数相乘的形式；如：28 2× 2× 7 22× 7通常用短除法分解质因数；任何一个合数分解质因数的结果是唯独的；要求出乘积中末尾0 的个数, 只需要知道这些乘数分解质因数后2 和 5 的个数, 不用考虑其它质因数；（ 5） 互质数：公因数只有1 的两个数为互质数；常见的互质数：相邻自然数： 8 和 9相邻奇数： 21 和 232 与任意奇数： 2 和 15不同的两个质数：11 和 171 与任意非零自然数： 1 和 4当合数不是质数的倍数时,这个合数和这个质数互质:3 和 14公因数只有 1 的两个合数： 6 和 25假如几个数中任意两个都互质,就说这几个数两两互质：3、5、75、最大公因数与最小公倍数（ 1） 定义：最大公因数：几个数公有的因数叫这几个数的公因数,其中最大的一个叫做最大公因数,用a ,b 表示；最小公倍数：几个数公有的倍数叫这几个数的公倍数,其中最小的一个叫做最小公倍数,用a ,b 表示；（ 2） 最大公因数的性质：几个数都除以它们的最大公因数,所得的几个商是互质数；几个数的最大公因数都是这几个数的因数；几个数的公因数,都是这几个数的最大公因数的因数；几个数都乘一个自然数m,所得的积的最大公因数等于这几个数的最大公因数乘m；（ 3） 最小公倍数的性质：两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数；两个数最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积；即a , b ×a , b a× b（ 4） 求最大公因数的方法：列举法短除法分解质因数法：先分解质因数,然后把相同的因数连乘起来；辗转相除法：每一次都用除数和余数相除,能够整除的那个余数,就是所求的最大公因数；（ 5） 求最小公倍数基本方法：列举法短除法分解质因数法（ 6） 分类求最大公因数和最小公倍数：倍数关系： a 是 b 的倍数, a , b b, a , b a互质关系： a 与 b 互质, a , b 1, a ,b a× b一般关系： a 与 b 不互质也不倍数,用短除法；a , b 左侧除数连乘积, a , b 除数和商连乘积6、分解质因数的运用：（ 1）求一个数因数的个数列举法： 2 个一组列举分解质因数法：分解质因数全部不同质数显现次数+1 连乘积（指数加 1 再相乘）如： 360 23× 32× 5, 360 的因数个数： 3+1 × 2+1 × 1+1 4× 3×2 24（个）（ 2）求一个数的全部因数的和步骤：分解质因数全部不同质因数的各种取法之和的连乘积；01201201如： 180 22× 32× 5, 180 的全部因数之和：22 2 × 3 3 3 5 5 7× 13× 6 5461、余数的性质(1) 余数小于除数；二、余数性质与同余问题(2) 如 a、b 除以 c 的余数相同,就 a-b 或b-a可以被 c 整除；(3) a 与 b 的和除以 c 的余数等于 a 除以 c 的余数加 b 除以 c 的余数的和除以c 的余数；（和的余数余数的和）(4) a 与 b 的差除以 c 的余数等于 a 除以 c 的余数减 b 除以 c 的余数的差除以c 的余数；（差的余数余数的差）(5) a 与 b 的积除以 c 的余数等于 a 除以 c 的余数与 b 除以 c 的余数的积除以c 的余数；（积的余数余数的积）2、余数的运算（求余数）1末位判定法： 2, 5, 4, 25, 8, 125(2) 数字求和法： 3, 9各个数位上数字之和除以3 或 9 的余数某数除以 3 或 9 的余数；如： 234569；2+3+4+5+6+929,由于 29÷ 9 3 2,所以 234569÷ 9？ 2,即 234569 29mod 9(3) 截断求和法： 99, 999 及其因数99（ 3、9、11、33）：两位截断求和,得到的和除以99 余数,即原数除以99 的余数；999（3、 9、27、 37、111、 333）：三位截断求和,得到的和除以999 余数,即原数除以999 的余数；如： 12345；345+12=357,357 999,所以 12345÷999 余 357；(4) 截断求差法：从右开头截断,奇段和偶段和；11, 101, 1001 及其因数 7、11、13、77、91、 143； 11：一位截断作差；从右开头,1 位截断, 奇数位数字之和 - 偶数位数字之和 ÷ 11 的余数 , 即为原数÷ 11 的余数；如不够减,求出的负数+11；如： 234569；奇数位数字之和3+5+9 17,偶数位数字之和2+4+612, 17-12 5,所以 234569÷ 11余 5,即 234569 5mod 11如： 98,（奇数位 8偶数位 9） 8-9 -1 , -1+11=10 ,就 98÷11 8 10,即 98 10mod 11101：两位截断作差；从右开头,2 位截断, 奇位和 -偶位和 ÷ 101 的余数 , 即为原数÷ 101 的余数；如不够减,求出的负数+101；1001（ 7、11、13、77、91、143）：三位截断作差； 从右开头, 3 位截断, 奇位和 - 偶位和 ÷ 1001的余数 , 即为原数÷ 1001 的余数；如不够减,求出的负数+1001；3、费马小定理p-1假如 p 是质数, a 是自然数,且a 不能被 p 整除,就 a 1mod p ；即：假如 a 是自然数, p 是质数,且 a,p 互质,那么 a 的p-1 次方除以 p 的余数恒等于1；如： a 是自然数 2,p 是质数 5, 2 和 5 互质, 2（ 5-1 ）÷ 5 余 1；a是自然数 10,p 是质数 3, 10 和 3 互质, 10（3-1 ） ÷ 3 余 1；4、同余问题（求除数） 同余的定义：(1) 如两个整数 a、b 除以 m的余数相同,就称a、b 对于模 m同余；(2) 已知三个整数 a、b、 m,假如 m能被 a-b 整除,就称 a、 b 对于模 m同余,记作 a bmod m,读作 a同余于 b 模 m；5、中国剩余定理（物不知数问题：求被除数） 在一千多年前的孙子算经中有闻名算题：今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二；问物几何？ 物不知数问题,又叫孙子问题、韩信点兵问题；方法：最小公倍数法：和同加和,余同加余,差同减差（缺同减缺）；列举法（逐步满意条件法）口诀法 仅适应于 3、5、7 ：三人同行七十稀,五树梅花廿一枝；七子团聚正半月,除百零五便得知；口诀法说明 只看数字即可 ：将除以 3 的余数乘 70,将除以 5 的余数乘 21,将除以 7 的余数乘 15,全部加起来后除以 105,得到的余数就是答案；步骤： 2× 70+3× 21+2× 15=140+63+30=233, 233÷ 105=2 23三、完全平方数完全平方数： 0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484完全平方数特点：(1) 末位数字只能是： 0、1、 4、5、6、9；（个位数字是2、3、7、8 的肯定不是完全平方数）(2) 奇数的平方的个位数字是奇数,十位数字是偶数,如25,49,81 ；（个位数和十位数都是奇数的整数肯定不是完全平方数）(3) 假如完全平方数的十位数字是奇数,就它的个位数字肯定是6；反之,假如完全平方数的个位数字是6,它的十位数字肯定是奇数；如16,36,196 ,256；（个位数是6,十位数是偶数的肯定不是平方数）(4) 偶数的平方是 4 的倍数,奇数的平方是4 的倍数加 1；(5) 奇数的平方是 8n+1 型,偶数的平方是8n 或 8n+4 型；（形如 8n+2,8n+3,8n+5,8n+6,8n+7 型的肯定不是完全平方数）(6) 完全平方数的形式肯定是3k 或 3k+1,即除以 3 余 0 或 1；（形如 3k+2 的肯定不是完全平方数）(7) 完全平方数的形式肯定是4k 或 4k+1,即除以 4 余 0 或 1；（形如 4k+2 和 4k+3 的肯定不是平方数）(8) 能被 5 整除的数的平方是5k 型,不能被 5 整除的数的平方是5k± 1 型；9完全平方数对的形式具有：16m, 16m+1, 16m+4, 16m+9；(10) 完全平方数的各位数字之和只能是0,1,4,7,9；（各数位数字和是2、3、5、6、8 的肯定不是平方数）(11) 如质数 p 能整除完全平方数a,就 p2也能整除 a；(12) 两个相邻整数的平方之间不行能再有完全平方数；(13) 一个自然数 n 是完全平方数的充要条件是n 有奇数个因数；（因数个数为奇数个的自然数是平方数）(14) 任何四个连续整数的乘积加1,必定是一个平方数；22平方差公式： X -Y =X-YX+Y222完全平方和公式：（ X+Y） =X +2XY+Y222完全平方差公式：（ X-Y） =X -2XY+Y