2022年届北京市海淀区高三第二学期期中练习数学理.docx

精品学习资源海淀区高三年级其次学期期中练习数学理科2021.4本试卷共 4 页， 150 分；考试时长120 分钟；考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效；考试终止后，将答题纸交回；第一部分 选择题 共 40 分一、选择题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分；在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项；欢迎下载精品学习资源(1) 已知集合 A0, a ， Bx1x2 ，且 AB ，就 a 可以是欢迎下载精品学习资源A1B0ClD22 已知向量 a=l ，2 ， b= 1， 0，就 a+2b=A 1 ， 2 B1 ，4C1 ， 2 D 1， 4(3) 执行如下图的程序框图，输出的S 值为A2B6C8D 10(4) 如图，网格纸上小正方形的边长为1，假设四边形ABCD 及其内部的点组成的集合记为M ， P x, y 为 M 中任意一点，就 yx 的最大值为A1B2C1D2欢迎下载精品学习资源5已知 a ， b 为正实数，就“ a1 ， b1”是“ lg alg b0 ”的欢迎下载精品学习资源(A) 充分而不必要条件B必要而不充分条件(C) 充分必要条件D既不充分也不必要条件6 如下图，一个棱长为1 的正方体在一个水平放置的转盘上转动，用垂直于竖直墙面的水平光线照射，该正方体在竖直墙面上的投影的面积记作S ，就 S 的值不行能是欢迎下载精品学习资源A1B65(C) 43(D) 32欢迎下载精品学习资源7以下函数 f x 中，其图像上任意一点P x, y 的坐标都中意条件yx 的函数是Af xx 3Bf xxCf xex1Df xln x18已知点M 在圆 C ：x121 y121上，点在圆 C ：22 x+1 y+121 上，就以下说法错误的选项是AOM ON 的取值范畴为 322,0B OMON 取值范畴为 0, 22COMON 的取值范畴为 222, 222D假设 OMON ，就实数的取值范畴为 322,322其次部分 非选择题，共 110 分二、填空题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分；9 复数2i1.i 10已知点 2 ， 0 是双曲线 C ： x2a 2y21 的一个顶点，就C 的离心率为. 11 直线xy2tt t 为参数与曲线xy2+cossin为参数的公共点个数为. 12 在 ABC 中，假设 c2 ， a3 ，A6，就 sin C， co s2C.13一次数学会议中，有五位老师来自A，B，C 三所学校，其中 A 学校有 2 位， B 学校有 2位， C学校有 1 位现在五位老师排成一排照相，假设要求来自同一所学校的老师不相邻，就共有种不同的站队方法 14设函数f xx2x,3 x,xa xa假设 f x 有两个零点，就实数a 的取值范畴是；假设 a-2 ，就中意 f x+f x13 的 x 的取值范畴是欢迎下载精品学习资源三、解答题共 6 小题，共 80 分；解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程； 15本小题 13 分欢迎下载精品学习资源已知 f x2 3 sinx cos x2cos2 x1 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源(I) 求f 的值； 6欢迎下载精品学习资源 求 f x 的单调递增区间 16本小题 13 分流行性感冒多由病毒引起，据调查，空气月平均相对湿度过大或过小时，都有利J=- 些病毒繁殖和传播，科学测定，当空气月平均相对湿度大于65010 或小于 40%时，有利于病毒繁殖和传播下表记录了某年甲、乙两个城市12 个月的空气月平均相对湿度第一季度其次季度第三季度第四季度1 月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 101112月月月甲地54%39%46%54%56%67%64%66%78%72%72%59%乙地38%34%31%42%54%66%69%65%62%70%a%b%(I) 从上表 12 个月中，随机取出1 个月，求该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播的概率； 从上表第一季度和其次季度的6 个月中随机取出 2 个月，记这 2 个月中甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份的个数为X ，求 X 的分布列； 假设 ab108 ，设乙地上表 12 个月的空气月平均相对湿度的中位数为M ，求 M 的最大值和最小值 只需写出结论 17本小题 14 分已知三棱锥 PABC如图 1的平面开放图 如图 2中，四边形 ABCD 为边长为2的正方形， ABE和 BCF均为正三角形，在三棱锥PABC 中：(I) 证明：平面 PAC平面 ABC ; 求二面角 APCB 的余弦值；欢迎下载精品学习资源 假 设 点 M 在 棱 PC 上 ， 满 足 CMPM1 2，,3 3， 点 N 在 棱 BP 上 ， 且欢迎下载精品学习资源BMAN ，欢迎下载精品学习资源求 BNBP的取值范畴欢迎下载精品学习资源(18) 本小题 13 分欢迎下载精品学习资源已知函数f xln x欢迎下载精品学习资源(I) 当 axa 0 时，求函数f x的单调递增区间；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源 当 a0 时，假设函数f x的最大值为，求 a 的值.欢迎下载精品学习资源 19本小题 14 分x2y23欢迎下载精品学习资源已知椭圆 C：221 ab0 的离心率为，且点T 2,1在椭圆 C 上，设欢迎下载精品学习资源ab2与 OT 平行的直线 l 与椭圆 C 相交于 P ，Q 两点， 直线 TP ，TQ 分别与 x 轴正半轴交于 M ，N 两点(I) 求椭圆 C 的标准方程； 判定 OMON 的值是否为定值，并证明你的结论欢迎下载精品学习资源 20本小题 13 分a1,1a1,2a1,n欢迎下载精品学习资源设 Aai, jn na2,1a2,2a2, n是由 1,2,3, n2 组成的 n 行 n 列的数表每欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源个数恰好显现一次 ， nan ,12 且an ,2nN * an ,n欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源假设存在 1in ， 1jn，使得ai , j既是第 i 行中的最大值，也是第j 列中的最小欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源值，就称数表 A 为一个“ N数表”ai, j为数表 A的一个“ N值”，欢迎下载精品学习资源对任意给定的 n ，全部“ N数表”构成的集合记作n (I) 判定以下数表是否是“N数表”假设是，写出它的一个“N值”；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源123A456， B789147825693欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源 求证：假设数表A 是“ N数表”，就 A的“ N值”是唯独的； 在19 中随机选取一个数表A ，记 A 的“ N值”为 X ，求 X 的数学期望E X 欢迎下载精品学习资源海淀区高三年级其次学期期中练习数学理参考答案与评分标准2021.4一、选择题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分；在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项；题号12345678答案CADBADDB二、填空题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分；题号91011121314欢迎下载精品学习资源答案1i5223483,3x1133欢迎下载精品学习资源注：第 12、14 题第一空均为3 分，其次空均为 2 分；三、解答题共 6 小题，共 80 分；解答题应写出解答步骤；15. 此题总分值 13 分欢迎下载精品学习资源f 23 sin66cos62cos 216欢迎下载精品学习资源2231323122223 分欢迎下载精品学习资源f x3 sin 2 xcos 2x欢迎下载精品学习资源2sin2 x 6欢迎下载精品学习资源由于函数 ysin x 的单调递增区间为2k, 2k2 kZ ，2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源令 2 k2x2k26 kZ ，2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解得kxk kZ ，36欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源故 f x的单调递增区间为 k, k kZ 13 分36欢迎下载精品学习资源16. 此题总分值 13 分 设大事 A：从上表 12 个月中，随机取出1 个月，该月甲地空气 月平均相对湿度 有利欢迎下载精品学习资源于病毒繁殖和传播 . 用 A1, A2 , A3,Ai 表示大事抽取的月份为第i 月，就A4, A5, A6 , A7 , A8, A9, A10 , A11 , A12 共 12 个基本大事，欢迎下载精品学习资源A A2 , A6 , A8, A9, A10 , A11 共 6 个基本大事，欢迎下载精品学习资源所以，P A61122. ··································4 分欢迎下载精品学习资源 在第一季度和其次季度的6 个月中， 甲、乙两地 空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份只有2 月和 6 月，故 X 全部可能的取值为 0 ， 1， 2 .欢迎下载精品学习资源PX0262CC462155， P X111C C824C6215， P X22C12C6215欢迎下载精品学习资源随机变量 X 的分布列为01228151515X P M 的最大值为 58% ，最小值为 54%13 分17. 此题总分值 14 分方法 1：PAOCB设 AC 的中点为 O，连接 BO ， PO . 由题意欢迎下载精品学习资源PAPBPC2 ， PO1 ， AOBOCO1欢迎下载精品学习资源由于 在 PAC 中， PAPC ， O为 AC 的中点所以 POAC ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源由于 在 POB 中， PO所以 POOB1 ， OB1 ， PB2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源由于 ACOBO ， 所以 PO平面 ABCAC, OB平面 ABC欢迎下载精品学习资源由于 PO平面 PAC4 分所以 平面 PAC平面 ABC方法 2：PAOCB设 AC 的中点为 O，连接 BO ， PO .由于 在 PAC 中， PAPC ， O为 AC 的中点所以 POAC ，由于 PAPBPC ， POPOPO ， AOBOCO所以POA POB POC所以POAPOBPOC90欢迎下载精品学习资源所以 POOB由于 ACOBO ， 所以 PO平面 ABCAC, OB平面 ABC欢迎下载精品学习资源由于 PO平面 PAC4 分所以 平面 PAC平面 ABC方法 3：PACOQB设 AC 的中点为 O，连接 PO ，由于在PAC 中， PAPC ， 所以 POAC设 AB 的中点 Q， 连接 PQ ， OQ 及 OB .由于 在 OAB 中， OAOB ， Q为 AB的中点欢迎下载精品学习资源所以OQAB .由于 在 PAB中， PAPB， Q为 AB的中点所以 PQAB .由于PQOQQ ， PQ,OQ平面 OPQ所以 AB 平面 OPQ 由于 OP 平面 OPQ 所以 OP AB由于 AB AC A， AB, AC 平面 ABC所以 PO 平面 ABC由于 PO平面 PAC4 分所以 平面 PAC 平面 ABC由 PO平面 ABC ， OBAC ，如图建立空间直角坐标系，就zPAOCxBy欢迎下载精品学习资源O0,0,0， C1,0,0 ， B0,1,0 ，A 1,0,0 ， P0,0,1欢迎下载精品学习资源由 OB平面 APC ，故平面 APC 的法向量为 OB0,1,0欢迎下载精品学习资源由 BC1, 1,0 ， PC1,0,1欢迎下载精品学习资源设平面 PBC 的法向量为 n x, y, z ，就欢迎下载精品学习资源n BC由n PC0xy0得：0xz0欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源令 x1 ，得 y1 ， z1，即 n1,1,1欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源cosn,OBn OB13欢迎下载精品学习资源| n | | OB |3 13由二面角 APCB 是锐二面角，欢迎下载精品学习资源所以二面角 APCB 的余弦值为33·····················9 分欢迎下载精品学习资源设 BNBP ， 01，就欢迎下载精品学习资源BMBCCMANABBNBCCP1, 1,0 1,0,11,1,欢迎下载精品学习资源令 BMAN0ABBP1,1,00,1,11,1,欢迎下载精品学习资源得 1 1 1 10即11， 是关于 的单调递增函数，111 21 2欢迎下载精品学习资源当, 时， 3 3, ，4 5欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以 BNBP12,45····································14 分欢迎下载精品学习资源18. 此题总分值13 分欢迎下载精品学习资源当 a0 时，f xln x x欢迎下载精品学习资源故 f 'x1xln x xx21ln x x2欢迎下载精品学习资源令 f 'x0 ，得 0xe故 f x 的单调递增区间为 0, e4 分xaln x1aln x欢迎下载精品学习资源方法 1： f令 g x1ax'xln xxx22xaxa欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源就 g ' xa1xa0欢迎下载精品学习资源22xxx欢迎下载精品学习资源aa由 ge0 ， g e1 1a11aaa 1a110欢迎下载精品学习资源故存在e0xe, eaee01 ， g x 0欢迎下载精品学习资源故当 x0, x0 时，gx0；当 xx0, 时，g x0欢迎下载精品学习资源xf 'x0, x0x0 x0 , 0欢迎下载精品学习资源f x极大值欢迎下载精品学习资源故 f x 1e02欢迎下载精品学习资源01aln x0 x00xe2欢迎下载精品学习资源0故ln x1，解得a213 分e欢迎下载精品学习资源0xae2欢迎下载精品学习资源故 a 的值为e2 .欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源方法2：f x 的最大值为1的充要条件为对任意的x0, ，ln x1且存欢迎下载精品学习资源在 x0,ln x0e21，等价于对任意的xae2x0, ，2且存欢迎下载精品学习资源00，使得xae2ae ln xx欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源在 x00, ，使得 ae2 ln xx0 ，欢迎下载精品学习资源0等价于 g xe2 ln xx 的最大值为 a .e2g ' x1 ， x欢迎下载精品学习资源令 g 'x0 ，得xg 'xxe2 .0, e2 e2e2 ,0欢迎下载精品学习资源gx极大值欢迎下载精品学习资源故 gx 的最大值为ge2 e2 ln e2e2e2 ，即ae2 .13 分欢迎下载精品学习资源19本小题 14 分14122ab欢迎下载精品学习资源由题意a 2b 2ecac2 ，32欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解得： a22 ， b2 ， c6欢迎下载精品学习资源22故椭圆 C 的标准方程为 xy15 分82假设直线TP 或 TQ 的斜率不存在，就P 点或 Q 点的坐标为 2， 1，直线 l 的方程欢迎下载精品学习资源为 y11 x22 ，即 y1 x2 .2欢迎下载精品学习资源x2y21欢迎下载精品学习资源联立方程82，得 x24 x40 ，欢迎下载精品学习资源y1 x22此时，直线 l 与椭圆 C 相切，不合题意 .故直线 TP 和 TQ 的斜率存在 .方法 1：设 Px1, y1 ， Q x2 , y2 ，就欢迎下载精品学习资源直线 TP : y1直线 TQ : y1y11 xx12y21xx222 ，2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源故| OM |2x12 ， | ON |2 y11x22y21欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源由直线OT :y1 x ，设直线2PQ : y1 xt t0 2欢迎下载精品学习资源x2y21欢迎下载精品学习资源联立方程，82x22tx2t 240欢迎下载精品学习资源y1 xt 2欢迎下载精品学习资源当0 时，x1x22t ，x1x22t 24欢迎下载精品学习资源| OM| ON |4 x12x22 y11y21x12x224欢迎下载精品学习资源1 xt11 xt11222欢迎下载精品学习资源4x1x2t2 x1x2 4 t1欢迎下载精品学习资源1x1 x241 t21 x1x2t12欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2t 24t22t4t1欢迎下载精品学习资源4112t 24t1 2tt12欢迎下载精品学习资源方法 2：42414 分欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源设 Px1, y1 ， Q x2 , y2 ，直线 TP 和 TQ 的斜率分别为k1 和 k2欢迎下载精品学习资源由 OT : y1x ，设直线 PQ : y212xt t0 联立方程，x28y221x22tx2t 240y1 x2t当0 时， x1x22t ， x1x22t24k1k2y1x112y2x2121 x21t11 x22t1x1x1x22t x1x22 x12 x22x2 24t12t 24t2 2t4t1欢迎下载精品学习资源 x102x22欢迎下载精品学习资源故直线 TP 和直线 TQ 的斜率和为零故TMNTNM故TMTN故T 在线段 MN 的中垂线上，即 MN 的中点横坐标为 2欢迎下载精品学习资源故| OM| ON |4···································14 分欢迎下载精品学习资源20.此题总分值13 分 A是“N数表 ”，其 “N值”为 3， B 不是 “N数表 ” 3 分欢迎下载精品学习资源假设ai , j和 ai ', j ' 均是数表 A 的“N值”，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源 假设 假设ii ' ，就jj '，就ai, jai , jmax ai ,1 , ai ,2 ,., ai , nmax ai ',1, ai ',2 ,., ai ', nmin a1, j ,a2, j ,., an , j min a1, j ' , a2, j ' ,., an, j ' ai ', j ' ；ai ', j '；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源 假设ii ' ，jj '，就一方面欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源ai , jmax ai,1 , ai ,2 ,., ai ,nai , j 'mina1, j ' , a2, j ' ,., an, j ' ai ', j ' ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源另一方面ai ', j 'max ai ',1, ai ',2 ,., ai ', nai ', jmin a1, j , a2, j ,., an , j ai, j ；欢迎下载精品学习资源冲突. 即假设数表 A 是“N数表 ”，就其 “N值”是唯独的 . 8 分欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源方法 1：对任意的由 1， 2 ， 3 ， ， 361 组成的 19行 19列的数表 Aai, j 19 19 .欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源定义数表 B第 i 列，即bj ,i 19 19 如下，将数表 A 的第 i 行，第 j 列的元素写在数表B 的第 j 行，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源bj ,iai , j 其中 1i19 ， 1j19 欢迎下载精品学习资源明显有： 数表 B 是由 1， 2 ， 3 ， ， 361 组成的 19行19 列的数表 数表 B 的第 j 行的元素，即为数表A的第 j 列的元素 数表 B 的第 i 列的元素，即为数表A的第 i 行的元素欢迎下载精品学习资源 假设数表 A 中，ai , j是第 i 行中的最大值，也是第j 列中的最小值欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源就数表 B 中，bj ,i是第 i 列中的最大值，也是第j 行中的最小值 .欢迎下载精品学习资源定义数表 Cc j,i 19 19 如下，其与数表 B对应位置的元素的和为362，即欢迎下载精品学习资源c j ,i362bj ,i 其中 1i19 ， 1j19 欢迎下载精品学习资源明显有 数表 C 是由 1， 2 ， 3 ， ， 361 组成的 19行19 列的数表欢迎下载精品学习资源 假设数表 B 中，bj ,i是第 i 列中的最大值，也是第j 列中的最小值欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源就数表 C 中，cj ,i 是第 i 列中的最小值，也是第j 列中的最大值欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源特别地，对由 1， 2 ， 3 ， ， 361 组成的 19行19 列的数表 A 数表 C 是由 1， 2 ， 3 ， ， 361 组成的 19行19 列的数表ai , j 19 19欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源 假设数表 A 中，ai , j是第 i 行中的最大值，也是第j 列中的最小值欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源就数表 C 中，cj ,i 是第 i 列中的最小值，也是第j 列中的最大值欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源即对任意的 A19 ，其“N值”为 ai , j 其中 1i19 ，1j19 ，就 C19 ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源且其 “N值”为 cj ,i362bj ,i362ai , j .欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源记 CT A ，就TCA，即数表 A与数表CT A 的“N值”之和为 362，欢迎下载精品学习资源故可依据上述方式对19 中的数表两两配对， 使得每对数表的“N值”之和为 362，欢迎下载精品学习资源故 X 的数学期望方法 2：E X 181 .13 分欢迎下载精品学习资源X 全部可能的取值为 19,20,21,.,341,342,343 .欢迎下载精品学习资源记19 中使得 Xk 的数表 A的个数记作nk ， k19,20,21,.,341,342,343，就欢迎下载精品学习资源nk192C18k 1C18361 k182 . .就 n362 k192C18361kC18k 1182 .n ，就k343343343nk kE X k 19343k 19k 19n362343nkk 19kkk 19nk 362343nkk 19k，nk343343nk knk故 2E X k 19362k343k 19343362 ， E X 181.13 分欢迎下载精品学习资源nkk 19nkk 19欢迎下载