2022年山东科技大学概率统计简明教程主编卓相来第七章详细答案-石油大学出版社.docx

精品学习资源1. 已知总体 X 的概率密度为f x,习题七1x ,0x1,其中1 为未知参欢迎下载精品学习资源0,其他.数, X 1, X 2 , Xn 是来自总体 X 的一组样本 ,试求的最大似然估量量.欢迎下载精品学习资源解构造似然函数Lnnjf x ;1n x j ,欢迎下载精品学习资源j 1j 1欢迎下载精品学习资源故 ln L nnln1ln xi ，令d ln L nnlnx j0 ，欢迎下载精品学习资源j 1所以的最大似然估量量为.dnn1.ln xjj11j 1欢迎下载精品学习资源2. 已知总体 X 的概率密度为f x,C x 1 ,xC,其中 C0 为已知，1欢迎下载精品学习资源0,其他.欢迎下载精品学习资源为未知参数，X 1, X 2 , X n 是来自总体 X 的样本， 试求的矩估量量与最大似然估量欢迎下载精品学习资源量.解E X xf xdxx C xc1dxC，1欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源由 XC, 所以的矩估量量为 .X.1XC欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源构造似然函数L nC x jj 11 ,x1, x2, xnC,欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源ln Ln lnnln cn1ln xj ,欢迎下载精品学习资源j 1欢迎下载精品学习资源令方程d ln L dnn ln Cnlnx j0,j 1欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以的最大似然估量量为nnln X jj 1.n ln C欢迎下载精品学习资源3. 设总体 X 听从参数为 n ， p 的二项分布 , n 为已知 , p 为未知 , X1 , X 2 , X n 是总体 X欢迎下载精品学习资源的一个样本 , x1 , x2 , xn 为其样本观看值 ,试求欢迎下载精品学习资源(1) 参数 p 的矩估量量和最大似然估量量;(2) p 与 1p 之比的矩估量值 .欢迎下载精品学习资源解1 E Xnp ，令XE XA1X , 所以 p 的矩估量量为 p.n欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源构造似然函数 LpnCpx1jxjnj 1p n x j ,欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源取对数ln Lpnln Cxjx lnpnxln 1p,欢迎下载精品学习资源njjj 1nnnln Cxjln pxln 1pnx,njjj 1j 1j 1欢迎下载精品学习资源d ln Lp1n令xj1nnx j0 ,欢迎下载精品学习资源dpp j 11p j 1所以 p 最大似然估量量 p.X .n欢迎下载精品学习资源2p的矩估量值为1pXnX.1XnX n欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源4. 设总体 X 的概率密度为f x,1x11x,0x1,欢迎下载精品学习资源0,其它.欢迎下载精品学习资源其中0 为未知参数 , X 1 , X 2 , X n 是总体 X 的一个样本 ,试求欢迎下载精品学习资源(1) 参数的矩估量量 ;欢迎下载精品学习资源(2) 当样本观看值为0.2 , 0.4, 0.6 ,0.5 , 0.35 , 0.43 时 ,求未知参数的矩估量量 ;欢迎下载精品学习资源(3) 未知参数的最大似然估量量.欢迎下载精品学习资源解1EXxfx dx1x 1x011x dx欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源11x dx11x11dxx11 x2 1欢迎下载精品学习资源000201，22欢迎下载精品学习资源令 E XA1X , 所以的矩估量量为 .2 X.欢迎下载精品学习资源1X欢迎下载精品学习资源2X0.20.40.60.50.350.431.2463欢迎下载精品学习资源所以的矩估量量为21.24.311.2431.409.欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源3构造似然函数 Ln11x j1j 1x j ,欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源取对数ln Lnlnln11 ln x jj 1ln 1x j欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源n lnnnn ln11ln x jln 1x j,欢迎下载精品学习资源j 1j 1欢迎下载精品学习资源d ln Lnn令nln xj0 , 得211nln xjc ,欢迎下载精品学习资源d1j 11n j 12cc24欢迎下载精品学习资源即 c 2c210, 由于02c欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以的最大似然估量量为2 cc24 , c1nln x j .欢迎下载精品学习资源2cn j 15. 设总体 X 的分布律为欢迎下载精品学习资源p X12 ， p X22 1 ， p X31 2欢迎下载精品学习资源其中, 01) 为未知参数 ,已知取得了样本值x11 , x22 , x31 ，试求未知参数的欢迎下载精品学习资源矩估量值和最大似然估量值.欢迎下载精品学习资源解E X222 131232 ,欢迎下载精品学习资源令 E XA1X3 2 , 所以的矩估量量为.3X2, 又由于 X1214 ,33欢迎下载精品学习资源34所以 .35 .26构造似然函数欢迎下载精品学习资源3Lfxj ,f 1,f2,f1,2 2122 5 1,欢迎下载精品学习资源j 1欢迎下载精品学习资源取对数 ln L2 5lnln 1,欢迎下载精品学习资源d ln L令d2510 , 所以的最大似然估量量为5 .16欢迎下载精品学习资源6. 设 X1 , X 2 X 3 是总体 X 的一个样本 ,试证统计量欢迎下载精品学习资源T211X 1X 2552 X, T23511X 1X 2631 X, T323139X1X 2X 371414欢迎下载精品学习资源都是总体 X 的均值 EX 的无偏估量量 ,并指出那一个统计量的估量最有效.欢迎下载精品学习资源解E TE2 X1 X2 X2 EX1 E X2 EX212EXE X.欢迎下载精品学习资源1515253515253555欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2123同理E TE1 X1 X1 X111EXE X .欢迎下载精品学习资源632632139139欢迎下载精品学习资源E T3EX 1X 2X 3EXEX .欢迎下载精品学习资源7141471414所以 T1，T2，T3都是无偏估量量 .欢迎下载精品学习资源D T414DX9 D X, D T14 DX, D T47 DX .欢迎下载精品学习资源123252525253698欢迎下载精品学习资源2由于 D T1D T2, D T1D T3, 所以 T1最有效 .欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源227. 设总体X N , , X1 , X 2 , X n 是总体 X 的一个样本 ,假如参数为已知 ,试证统欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源计量 .21 n X jn j 1是总体方差的无偏估量量 .欢迎下载精品学习资源nnnn欢迎下载精品学习资源解.21 X21X 22uXnu 21X 22u Xu2 ,欢迎下载精品学习资源jjjj欢迎下载精品学习资源n j 1nj 1j 1n j 1欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源又由于E X 2D X j2EX j2u2, EXu, 所以欢迎下载精品学习资源jn21221 n2222欢迎下载精品学习资源E .EX j2u Xuu2uuu.欢迎下载精品学习资源n j 1n j 1欢迎下载精品学习资源所以统计量 .21nX jn j 12 是总体方差22的无偏估量量 .欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源8. 设X 1, X 2 , X n是 来 自 总 体X N , 的 一 个 样 本 , 记 X1 nXi，n i 1欢迎下载精品学习资源S21n1nX ii 1X 2 , UX 21nS 2 , 证明： U 是2的无偏估量量 .欢迎下载精品学习资源证EU E X 21 S 2 nE X 2 E 1nS 2 欢迎下载精品学习资源D X E X 2211 ES2n欢迎下载精品学习资源222，nn所以 U 是2 的无偏估量量；欢迎下载精品学习资源9. 设 总 体 X的 均 值 为 u,方 差 为2 . 分 别 独 立 从 总 体 X中 抽 取 样 本欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源 X1, X2 , Xm,Y1, Y2 ,Yn , 样本均值分别为X ,Y.令 uaXbY.欢迎下载精品学习资源(1) 当 a和b 满意什么条件时 , u 是 u 的无偏估量量 ;(2) 当 a和b 为何值时 ,1式中 u 的无偏估量量 u 的方差最小 .解1由于 E uE aXbYaEXbE Yab u,为了使 uaXbY 是 u 的无偏估量量，应有ab1.欢迎下载精品学习资源2X与Y 相互独立，所以2a 2b 2a21a欢迎下载精品学习资源D uD aXbYa2 DXb 2D Y22 ,mnmn欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源dD uda21a2a2 1anamma欢迎下载精品学习资源2令22220,dadamnmnmn得am, b1an. mnmn2d 2 D umn欢迎下载精品学习资源又由于da 22mn0,欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以当am, b1a mnn时,u 的无偏估量量 u 的方差最小 .m n欢迎下载精品学习资源10. 某工厂生产滚球 ,从长期实践中知道,滚球直径抽取 6 个,测得直径如下单位：mmX N ,0.20 2 ,现从某天的产品中随机欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源14.715.014.914.815.215.1欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源试求未知参数的一个置信水平分别为0.90和0.99 的置信区间 .欢迎下载精品学习资源解 这里 X14.95,0.20, n6 查表得Z0.051.645, Z0.0052.575,欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源置信区间为Xz,Xz, n2n2欢迎下载精品学习资源的置信水平为 0.90 的置信区间为14.82,15.08 .的置信水平为 0.99 的置信区间为 14.74,15.16 .11. 某人对铁的溶化点作了4 次试验 ,得其结果为欢迎下载精品学习资源1550 C1540 C1530 C1560 C欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源假如铁的溶化点X N,2 ,试求未知参数的一个置信水平分别为0.95 的置信区间 .欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解这里 10.95,20.025,t 0.02533.1824, X1545, S12.9099,欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源的置信水平为0.95 的置信区间为XS11545tn/2n12.909943.1824 ,欢迎下载精品学习资源即 1524.46,1565.54 .12. 为考察某高校成年男性的胆固醇水平,现抽取了样本容量为25 的一个样本 ,并测得样本欢迎下载精品学习资源均值 X186 ,样本标准差为S12 .假定所设成年男性的胆固醇水平X N ,2 ,参数，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2均为未知 ,试求未知参数及的一个置信水平分别为0.90 的置信区间 .欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源22解这里 10.90,0.05,t241.7109,2436.415,2413.848,欢迎下载精品学习资源0.050.050.952S12欢迎下载精品学习资源的置信区间为Xt /2 n n11861.7109 ,25欢迎下载精品学习资源即 181.89,190.11 ,欢迎下载精品学习资源的置信区间为n1S,n1S2412 ,2412 ,欢迎下载精品学习资源2 n12n136.41513.848欢迎下载精品学习资源/21/2欢迎下载精品学习资源即 9.74,15.80 .13. 某糖厂用自动包装机装糖,设各包重量听从正态分布量为单位： kg：N ,2 ,某日开工后测得9 包重欢迎下载精品学习资源99.398.7100.5101.298.399.799.5102.1100.5欢迎下载精品学习资源试求未知参数的一个置信水平分别为0.95 的置信区间 .欢迎下载精品学习资源解这里 10.95,0.025, t0.02582.306, X99.978, S21.47,欢迎下载精品学习资源2欢迎下载精品学习资源的置信水平为0.95 的置信区间为SXt /2 n n1.47199.9782.306 ,9欢迎下载精品学习资源即 99.046,100.91 .14. A, B 两个地区种植同一型号的小麦,现抽取了 19 块面积相同的麦田,其中 9 块属于 A 区，另外 10 块属于 B 区，测得它们的小麦产量以kg 计分别如下地区 A10010511012511098105116112地区 B10110010511511192106121102107欢迎下载精品学习资源设地区 A 的小麦产量X N 1 ,2 ,地区 B 的小麦产量Y N 2,2 ,参数1 ,2 ,2 均为未欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源知,试求这两个地区的小麦的平均产量之差1 2 的一个置信水平为0.90 的置信区间 .欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解这里 10.90,20.05, n19, n210, n1n2217,t0.05171.7396,欢迎下载精品学习资源X109,Y106, S8.2916, S8.2057, S2868.75967.33 , S8.2462,欢迎下载精品学习资源1217欢迎下载精品学习资源12 的置信水平为0.90 的置信区间为XYt/2 n1n2112) Sw3.59,9.59 .欢迎下载精品学习资源n1n215. 某公司利用两条自动化流水线罐装矿泉水,现从两条自动化流水线上生产的矿泉水中分别抽取 12 瓶和 17 瓶,并测量每瓶矿泉水的体积 毫升,进而算得样本均值分别为X501.1欢迎下载精品学习资源S121和 Y499.7,样本方差分别为22.4 和 S24.7 .假定这两条自动化流水线所装矿泉水的欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2体积都分别听从正态分布N 1,2 和 N,2 ,试求2 的一个置信水平为0.95 的欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源置信区间 .解这里 10.95,20.025,n112, n217,n1n2227,t 0.025272.0518,欢迎下载精品学习资源X501.1,Y499.7, S22.4, S24.7, S2112.4164.73.763, S1.9398,欢迎下载精品学习资源1227欢迎下载精品学习资源12 的置信水平为 0.95 的置信区间为2212XYz /20.101,2.901 .欢迎下载精品学习资源n1n2欢迎下载精品学习资源16. 设两位化验员A, B 独立地对某钟化合物的含氯量用相同的方法各作10 次测量 ,其测量欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源值的样本方差分别为S20.5419 , S20.6065,设2 ,2 分别为化验员A, B 所测量的测量值欢迎下载精品学习资源1212总体的方差 ,总体均为正态总体,求方差比 2 /2 的置信水平为 0.95 的置信区间 .12欢迎下载精品学习资源解 这里0.05, n110, n210, F/2 n11, n21F0.025 9,94.03,欢迎下载精品学习资源F1/2 n11,n211F0.975 9,90.248,4.03欢迎下载精品学习资源方差比 2 /2 的置信水平为 0.95 的置信区间为12欢迎下载精品学习资源SS122,11221 0.54191, 0.54191欢迎下载精品学习资源S2 Fn11,n21S2 F1n11,n210.60654.03 0.60650.248欢迎下载精品学习资源22即 0.222,3.601 .17. 为比较甲、乙两种灯泡的寿命,从甲型灯泡中随机抽取8 只,测得样本均值为X2000欢迎下载精品学习资源小时 ,样本标准差为S180 小时；从乙型灯泡中随机抽取10 只,测得样本均值为欢迎下载精品学习资源Y1900小时 ,样本标准差为 S2100 小时 .假定甲、乙两种灯泡的寿命分别听从欢迎下载精品学习资源1正态分布 N 1 ,2 和 N,222 的置信水平为0.90 的置信区间 .欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源/2221解这里 10.90,0.05,n8, n10,S2802 , S21002 ,欢迎下载精品学习资源21212欢迎下载精品学习资源F7,93.29, F7,911,欢迎下载精品学习资源0.050.95F0.05 9,73.68欢迎下载精品学习资源方差比 2 /2 的置信水平为 0.95 的置信区间为12欢迎下载精品学习资源SS1122,1122 0.19,2.35 .欢迎下载精品学习资源S2 Fn11,n21S2 F1 n11,n21欢迎下载精品学习资源2218. 从一批灯泡中随机抽取5 只做试验 ,测得其寿命为10501100113012501270欢迎下载精品学习资源设灯泡寿命X N ,2 ,试求未知参数的置信水平为 0.95 的单侧置信下限 .欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解这里 10.95, n5,tn1t0.0542.1318, X1160, S29950,欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源的置信水平为 0.95 的单侧置信下限为SXt nn11065.欢迎下载精品学习资源19. 对于方差2 为已知的正态总体 ,要使均值的置信水平为 1的置信区间的长度不小于 2,抽取的样本容量 n 至少应为多大 .解方差2 为已知的正态总体,均值的置信水平为 1的置信区间为Xz,n2欢迎下载精品学习资源要是区间长度 2zn22z2 , 就 n2.欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源20. 设总体X N,2 ,其中为已知 ,2 为未知参数 , X1, X 2 , X n 是来自总体X 的欢迎下载精品学习资源一个样本 ,现有未知参数2 的两个无偏估量量欢迎下载精品学习资源S2试问那一个更有效 .1njn 1 j 1 XX 2 ,21 XSn0jn j 1 2,欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源n1 S20解2 n1 ,nS202 n , D n1 S22 n1 , DnS22n.欢迎下载精品学习资源2222欢迎下载精品学习资源4DS22, DS 204n12, 当 n n1 时， 24n12, S2 更有效 .04n欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源21.设 X1 , X 2 , X n 是来自总体X N ,2 的一个样本 ,其中为已知 ,试证欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源nj.1Xn2j 1是未知参数的无偏估量量 .欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解X j N ,X ju2,N 0,1, j1,2, n.欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源X juE1 x ex22 dx2x2xe 2 dx2,欢迎下载精品学习资源202221n12欢迎下载精品学习资源E X ju, E .EX jn.欢迎下载精品学习资源2n2 j 1n22欢迎下载精品学习资源所以 .nX1j11n2j 1是未知参数的无偏估量量 .欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源与1a1b222.设统计量. 是未知参数的两个相互独立的无偏估量量, 且D .2 ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源22D . 最小 .22 ，试确定常数a, b ，使得 . 是未知参数的无偏估量， 并使D .欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源b解 由于 E.E a .b .ab E. , 所以 ab1.欢迎下载精品学习资源a12欢迎下载精品学习资源2D.a D.b D.2222222a21a,欢迎下载精品学习资源2121212欢迎下载精品学习资源dD.22欢迎下载精品学习资源令2a22 1a20, 得 a2, b1.欢迎下载精品学习资源12dad 2D.2222121222欢迎下载精品学习资源又由于22220, 所以当 a2,b1时,D . 最小.欢迎下载精品学习资源da 21222221212欢迎下载