2022年五级奥数春季班第13讲概率初识.pdf

学习资料收集于网络，仅供学习和参考,如有侵权，请联系网站删除学习资料第十三讲概率初识模块一、认识概率例 1有数颗质量分布均匀的正方体骰子，六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6，且相对的两面的和是7，（1）如果抛一颗骰子，数字“2”朝上的可能性是；（2）如果抛 2 颗骰子，点数之和为6 的概率为；点数之积为6 的概率为；（3）如果抛 2 颗骰子，所得两个数的乘积大于10 的可能性是；（4）艾迪、薇儿和大宽三人玩掷骰子的游戏：将两颗骰子一起掷出，看朝上两个面的和是多少，和是6，算艾迪胜；和是7，算薇儿胜；和是8，算大宽胜。他们三人获胜的可能性大。（5）如果抛7 颗骰子投掷后，规定：向上七个面的数的和是10，则甲胜，向上7 个面的数的和是39，则乙胜，则甲获胜的概率乙获胜的概率。 （填 “ 大于 ” 、“ 小于 ” 或 “ 等于 ” ）解： （1）P=16；（2）两颗骰子中数字相加有6 6=36 种情况，而点数之和为6，有 1+5、2+4、3+3、4+2、5+1 共 5 种情况，所以概率 P1=536；点数乘积为6，有 1 6、2 3、3 2、6 1 共 4 种情况，所以概率P2=19；（3）乘积大于的情况有2 6、3 4、3 5、 3 6、4 3、4 4、4 5、4 6、5 3、5 4、5 5、5 6、6 2、6 3、6 4、6 5、6 6 共 17 种，所以概率P=1736；（4）数字和为6 的有 1+5、2+4、3+3、4+2、5+1 共 5 种；数字和为 7 的有 1+6、2+5、3+4、4+3、5+2、6+1 共 6 种；数字和为 8 的有 2+6、3+5、4+4、5+3、6+2 共 5 种；所以薇儿的胜算最大；（5）七颗骰子向上的面的数字和最小是7，接着是 8、9、 10；最大是 42，前面是 41、40、39；它们离中心位置的距离一样，所以获胜的概率相同。例 2艾迪在愉快的玩飞镖，飞镖的镖盘如图1 所示，投掷到对应的区域得到对应的的分数，10 分对应的圆半径为 1，每向外一层对应的半径加1，投掷一镖后，假设艾迪没脱靶，请问：56789105678910图 1 图 2 （1）艾迪得到10 分的概率是；（2）艾迪得到的分数大于5 分，小于 8分的概率是；（3）艾迪至多得到8 分的概率是。 、 ；（4）突然，艾迪发现了一种新型靶盘，如图2 所示，红色区域称为幸运区，红色区域对应的圆心角是60 ，投掷到红色区域也可以得10 分，则艾迪得到10 分的概率是。解： （1）最外圈的大圆的面积是36 ，得 10 分的中心小圆的面积是 ，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供学习和参考,如有侵权，请联系网站删除学习资料所以概率 P=136；（2）大于 5 分小于 8 分，即得 6 或 7 分，这个圆环的面积是(52- 32) =16，所以概率P=164=369；（3）至多得 8 分，可以把得9 分和 10 分的情况排除掉，中心半径为2 的小圆的面积为4 ，概率是 1-436=89；（4）红色的扇形的面积是大圆面积的16，即6，再加上最小的圆的面积的56，即56 ，所以得 10 分的面积为416，所以得10 分的概率为P=4141366216。模块二、概率中的经典模型例 3薇儿在玩抛硬币游戏：（1）如果抛一枚硬币， 前 3 次中，有 2 次正面朝上， 1 次正面朝下， 问第 4 次抛硬币正面朝上的概率是。（2）如果抛一枚硬币6 次，有 5 次正面朝上的概率是；（3）如果抛一枚硬币6 次，至少有1 次正面朝上的概率是；（4） 如果抛两枚硬币1 次，两枚都正面朝上的概率是； 一枚正面朝上一枚背面朝上的概率是；至少一枚正面朝上的概率是。解： （1）第 4 次是独立事件，概率还是12；（2）这是一个二项分布，概率是5516113( )( )2232C；（3）6 次都是反面朝上的概率是164，所以至少1 次正面向上的概率是1-164=6364；（4）如果抛两枚硬币1 次，两枚都正面朝上的概率是14；一枚正面朝上一枚背面朝上的概率是12；至少一枚正面朝上的概率是34。例 4袋子中有大小、形状都相同的红球、蓝球、绿球各2 个：（1）从中无放回地摸出2 个球， 2 个球都是红球的概率是；（2）从中无放回地摸出2 个球， 2 个球颜色相同的概率是；2 个球颜色不同的概率是；（3）从中有放回地摸出2 个球， 2 个球颜色相同的概率是；2 个球颜色不同的概率是；解： （1）从中无放回地摸出2 个球， 2 个球都是红球的概率是1113515；（2）从中无放回地摸出2 个球， 2 个球颜色相同的概率是113155；2 个球颜色不同的概率是14155；（3） 从中有放回地摸出2 个球，2 个球颜色相同的概率是1113333； 2 个球颜色不同的概率是12133。例 5袋子中有大小和形状完全相同的1 个红球和5 个白球， A、B、C、D、E、F 六人按顺序每人摸出1个球，谁摸到红球谁就获胜，那么：（1）A 获胜的概率是；B 获胜的概率是；6 个人中谁获胜的概率更大；（2）如果规则改变：每个人摸完后都要把球再放回袋中，直到有人摸出红球，之后的人就不再摸球；在这种规则下，获胜的概率更大。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供学习和参考,如有侵权，请联系网站删除学习资料解： （1）A 获胜的概率是16；B 获胜的概率是16；6 个人中谁获胜的概率一样大；（2）如果规则改变：每个人摸完后都要把球再放回袋中，直到有人摸出红球，之后的人就不再摸球；在这种规则下， A 获胜的概率更大。模块三、生活中的概率例 6学校打算在1 月 4 日或 1 月 10 日组织同学们看电影。确定好日期后， 老师告诉了班长，但是由于 “ 四”和“ 十” 发音接近，班长有10%的可能听错（把4 听成 10 或者把 10 听成 4） ，班长又把日期告诉了小明，小明也有 10%的可能性听错。那么小明认为的看电影的日期是正确日期的可能性是%。解：班长听对， 小明也听对的可能是(1-10%)(1-10%)=81%，班长听错， 小明也听错的可能是10% 10%=1%，所以小明认为的看电影的日期是正确日期的可能性是82%。随堂测试1甲、乙两个学生各从09 这 10 个数字中随机挑选了两个不同的数字，则（1）这两个数字的差是2 的概率是；（2）这两个数字的差不超过2 的概率是。解： （1）随机挑选的种数是210C=45（种），而数字差是2 的有（ 0，2） ； （1， 3） ；（7，9） ，共 8 种情况；所以概率是845；（2）数字差为1 的情况有 9 种，所以数字差不超过2 的情况有17 种，概率为1745。2如果飞镖随意的投向下图所示的木板上且不脱靶，那么飞镖落在木板上阴影部分的可能性是。解：木板的面积是6 6=36，阴影部分的面积是132，所以飞镖落在木板上阴影部分的概率是1372。注：正方形格点中图形的面积公式：S=N+2L- 1，其中 N 是内部的点数，L 是周边的点数。3任意向上掷一枚硬币若干次，（1）那么第 4 次掷硬币时正面向上的概率是。（2）如果掷 6 次，有 3 次正面向上的概率是。解： （1）概率是12；（2）概率是366120526416C。4袋子里有大小、形状都相同的小球5 个其中白球3 个，红球2 个（1）从中摸出两个球，这2 个球都是白球的概率是；（2）从中有放回的摸出两个球，这2 个球颜色相同的概率是；颜色不同的概率是。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供学习和参考,如有侵权，请联系网站删除学习资料解： （1）概率是2325310CC；（2）若两个球都是白球，则概率是3395525；若两个球都是红球，则概率为2245525，所以 2 个球的颜色相同的概率是1325；于是两个球的颜色不同的概率是1-1325=1225。5A、B、C、 D、E、F 六人抽签推选代表，公证人一共制作了六枚外表一模一样的签，其中只有一枚刻着“ 中” ，六人按照字母顺序先后抽签，抽完放回，谁抽到“ 中” 字，即被推选为代表，那么在第一轮被抽中的概率分别为；被抽中的概率最大。解： A 抽中的概率为16，B 抽中的概率为5156636，C 抽中的概率是25125( )66216，D抽 中 的 概 率 为3511 25( )661296， E抽 中 的 概 率 为4516 25( )667776， F抽 中 的 概 率 为5513125( )6646656，所以 A 被抽中的概率最大。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - - -