绝对值的三角不等式典型例题.doc

. .1.4绝对值三角不等式教学目标：1.理解绝对值的定义，理解不等式根本性质的推导过程；2.掌握定理1的两种证明思路及其几何意义； 3.理解绝对值三角不等式； 4.会用绝对值不等式解决一些简单问题。教学重点：定理1的证明及几何意义。教学难点：换元思想的渗透。教学过程：一、引入：证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的根本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：1 23 4请同学们思考一下，是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理？实际上，性质和可以从正负数和零的乘法、除法法那么直接推出；而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。因此，只要能够证明对于任意实数都成立即可。我们将在下面的例题中研究它的证明。现在请同学们讨论一个问题：设为实数，和哪个大？显然，当且仅当时等号成立即在时，等号成立。在时，等号不成立。同样，当且仅当时，等号成立。含有绝对值的不等式的证明中，常常利用、及绝对值的和的性质。二、典型例题：例1、证明 1， 2。证明1如果那么所以如果那么所以 2根据1的结果，有，就是，。 所以，。例2、证明 。例3、证明 。思考：如何利用数轴给出例3的几何解释？设A，B，C为数轴上的3个点，分别表示数a，b，c，那么线段当且仅当C在A，B之间时，等号成立。这就是上面的例3。特别的，取c0即C为原点，就得到例2的后半局部。探究：试利用绝对值的几何意义，给出不等式的几何解释？定理1 如果, 那么. 在上面不等式中,用向量分别替换实数, 那么当不共线时, 由向量加法三角形法那么: 向量构成三角形, 因此有a+b<a+b其几何意义是什么？含有绝对值的不等式常常相加减，得到较为复杂的不等式，这就需要利用例1，例2和例3的结果来证明。例4、 ，求证 证明 1， 2由1，2得：例5、 求证：。证明 ，由例1及上式，。注意： 在推理比拟简单时，我们常常将几个不等式连在一起写。但这种写法，只能用于不等号方向一样的不等式。四、稳固性练习：1、求证：。2、求证：。作业：习题1.2 2、3、51.4绝对值三角不等式学案 预习目标： 1.理解绝对值的定义，理解不等式根本性质的推导过程；2.了解定理1的两种证明思路及其几何意义; 3.理解绝对值三角不等式。预习内容： 1绝对值的定义：，2. 绝对值的几何意义： 10. 实数的绝对值，表示数轴上坐标为的点A 20. 两个实数，它们在数轴上对应的点分别为，那么的几何意义是 3.定理1的内容是什么？其证法有几种？4.假设实数分别换成向量定理1还成立吗？5、定理2是怎么利用定理1证明的？探究学习：1、绝对值的定义的应用例1 设函数解不等式；求函数的最值 2. 绝对值三角不等式：探究，之间的关系.时,如下列图, 容易得：.时,如图, 容易得：.时,显然有：. 综上,得定理1 如果, 那么. 当且仅当时, 等号成立.在上面不等式中,用向量分别替换实数, 那么当不共线时, 由向量加法三角形法那么: 向量构成三角形, 因此有它的几何意义就是: 定理1的证明:定理2 如果, 那么. 当且仅当时, 等号成立.3、定理应用 例2 1证明， 2 ，求证 。课后练习 ： 当 成立的充要条件是A B C D对任意实数，恒成立，那么的取值X围是；对任意实数，恒成立，那么的取值X围是假设关于的不等式的解集不是空集，那么的取值X围是方程的解集为,不等式的解集是方程有实数解，那么a的取值X围为。画出不等式的图形，并指出其解的X围。利用不等式的图形解不等式1°、; 2°、解不等式：1°、; 2°、; 3°、 ; 4°、 1°、 求证：。 2°、求证：。3°、 求证： 1°、 求证： 2°、 求证： 参考答案:课后练习 B. 2、a3 3 、a44、a75、-3x=-2或x=0x<0或x>26、-3<=a<-17、先考虑不等式在平面直角坐标系内第一象限的情况。在第一象限内不等式等价于：，.其图形是由第一象限中直线下方的点所组成。同样可画出二、三、四象限的情况。从而得到不等式的图形是以原点O为中心，四个等点分别在坐标轴上的正方形。不等式解的X围一目了然。探究：利用不等式的图形解不等式 1.; 2答案：1、-0.5<x<0.5 2.为一菱形区域。8、1°、0<x<2/3 2°、x>-1/2 3°、x<-3或x>0 4°、x>-2 1°、 求证：。证明 ， 由例1及上式，。 2°、 3°解答略 10、解答略. .word.