2022年山东建筑大学高数下学期作业第章12作业和练习题答案.docx

精品学习资源第十二章 微分方程1、指出以下各题中的函数是否为所给微分方程的解：欢迎下载精品学习资源（ 1）y"2 y 'y0, yx2ex ；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源不是（ 2） xy" y 'y0, yC e 1xC e 2 x ；欢迎下载精品学习资源121 212不是欢迎下载精品学习资源（ 3） xyx y"xy '2yy'2 y '0, yln xy.欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源是dy2、给定一阶微分方程dx2（ 1）求出它的通解；2 x ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解：方程两端积分得通解为yxC欢迎下载精品学习资源2（ 2）求通过点（ 1， 4）的特解；欢迎下载精品学习资源解：将y x 14 带入通解解得C3 ,故所求特解为yx3欢迎下载精品学习资源（ 3）求出与直线 y2x3 相切的解；欢迎下载精品学习资源解：设切点为 x0, y0 ，就有2x0 y022x0，解得3x01y05，带入通解解得欢迎下载精品学习资源2C4 , 故所求特解为yx4欢迎下载精品学习资源（ 4）求出满意条件1ydx02 的解；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解：由1 x20Cdx2 得 C5, 故所求特解为3yx253欢迎下载精品学习资源3、 写出以下条件确定的曲线所满意的微分方程：（1） 曲线在点 x, y 处的切线斜率等于该点横坐标的平方；dy2解：由已知得方程为x dx欢迎下载精品学习资源（2） 曲线上点Px, y 处的法线与 x轴的交点为 Q ，且线段 PQ 被 y 轴平分；欢迎下载精品学习资源解：由已知 Q 点的坐标为 x,0y, 所以1，整理得方程为y ' y2 x0欢迎下载精品学习资源2 xy '4、 求以下微分方程的解：欢迎下载精品学习资源（ 1）xy'y ln y0 ；欢迎下载精品学习资源解：分别变量得dydxy ln yx，两端积分得ln ln yln xln C1 ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源整理得yecx ，CC1欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源（ 2） y 'xy'a y 2y ' ；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解：分别变量得dydx，两端积分得1ln 1xaC欢迎下载精品学习资源整理得 yay 2111xaay， CaC1欢迎下载精品学习资源a ln 1xaC欢迎下载精品学习资源（ 3） dy1y23；欢迎下载精品学习资源dxxyx y欢迎下载精品学习资源解：分别变量得ydydx，1y2x1x2 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源两端积分得1 ln1y2 ln x1 ln1x2 ln C ，欢迎下载精品学习资源122222Cx 2欢迎下载精品学习资源整理得 1x2 1y2 Cx ， CC1 ，即 y1x21欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源（ 4）dyey 2 3 x0；dxydyy 23 x欢迎下载精品学习资源解：方程变形为e edxy, 分别变量得ydye3 x dx ，ey 2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源1y21 3 xy 223 x欢迎下载精品学习资源两端积分得eeC1 ，化简得23eeC, C 32C1欢迎下载精品学习资源（ 5）y2dxx1dy0, y x 01 ；欢迎下载精品学习资源dydx解：分别变量得2yx1，两端积分得通解为1ln 1xC ，将yy x 01欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源带入通解得 C1 ，故所求特解为y1ln x11欢迎下载精品学习资源5、 一曲线通过点（ 2， 3），它在两坐标轴的任一切线段均被切点所平分，求这曲线方程；欢迎下载精品学习资源解：由已知的微分方程为y 'yx ，y x 23欢迎下载精品学习资源方程的通解为 yC ，将 yxx 23带入通解得C6 ,故所求曲线方程为xy6 ；欢迎下载精品学习资源6、 求以下齐次微分方程的解：（ 1） xln xln ydyydx0 ；欢迎下载精品学习资源dxxx解：方程可变形为ln dyyy，令 ux，就 xuy, ydxuy dudydy欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源代入方程得uy duu lnu，分别变量得dudy ，欢迎下载精品学习资源dyuln u1y欢迎下载精品学习资源两端积分化简得ln u1Cy ，将 ux代入得通解为 ln xyln yCy1欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源即 xyeCy 1 （或yeC1 y1,CC ）欢迎下载精品学习资源1xxyyx欢迎下载精品学习资源（ 2） 12edx2e 1dy0 ；y欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源xdy12eyxdxdu欢迎下载精品学习资源解：方程可变形为dxx，令xu，就yxuy,uydydy欢迎下载精品学习资源2ey 1 ydu2eu 1u12eudy欢迎下载精品学习资源代入方程得 uydy12eu，分别变量得2euu duy ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源两端积分化简得yu2eu C ，将 ux代入得通解为xyx2yeyC欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源（ 3）y 'xy , y2 ； yx欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源x 1解：令 uy ，就 yxu, y 'ux du，代入方程得ux duu1，欢迎下载精品学习资源xdxdxdxu22欢迎下载精品学习资源分别变量得udu，两端积分整理得 uxln xC ，欢迎下载精品学习资源y 22欢迎下载精品学习资源即 lnxxC ，将 yx 12 代入得 C4 ，欢迎下载精品学习资源故所求特解为y2x2 ln x24x2欢迎下载精品学习资源2（ 4） y3x2 dy2xydx0, y x 01；欢迎下载精品学习资源dx解：方程可变形为dy3 x12 y2y ，令 u xx，就 xuy, ydxuy dudydy欢迎下载精品学习资源du31 12ududy欢迎下载精品学习资源代入方程得 uydyu，分别变量得2，22 uu1y欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源两端积分整理得u21Cy ，将 ux代入得通解为322yx2y 2Cy3 ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源将 y x01 代入得 C1 ，故所求特解为yyx欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源7、 设有连接点O0,0和 A1,1 的一段向上凸的曲线弧OA ，对于 OA 上任一点P x, y ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源曲线弧 OA与直线段 OP 所围成的面积为x2 ；求曲线弧 OA的方程；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解：当 0x1时，设方程为yf x ，就x1f t dtxf02xx2 ，欢迎下载精品学习资源两端求导得f 'x1 f x4 x且有初始条件f 11欢迎下载精品学习资源解方程得f xx14lnx ，当 x0 时，f x0 且欢迎下载精品学习资源limf xlimx14lnx0欢迎下载精品学习资源x0x0x14ln x,0x1欢迎下载精品学习资源所以 OA的方程为f x0, x0欢迎下载精品学习资源8、 求以下微分方程的解：欢迎下载精品学习资源（1）xy'yx23x2 ；欢迎下载精品学习资源解：方程变形为y '1 yx23 ，欢迎下载精品学习资源xx11欢迎下载精品学习资源dx2dx12123C欢迎下载精品学习资源ex x3e xC x3x2dxCxx2，欢迎下载精品学习资源xx32x123C欢迎下载精品学习资源故方程的通解为yxx232x欢迎下载精品学习资源（2） x21y '2xycosx0 ；欢迎下载精品学习资源解：方程变形为y '2xycos x，欢迎下载精品学习资源x21x212 x2 x欢迎下载精品学习资源dxex2 1cos x e x2 1dxC1 cos xdxCsin xC欢迎下载精品学习资源x21x21x21，欢迎下载精品学习资源故方程的通解为sin xCy2x1欢迎下载精品学习资源（ 3）y lnydx xlnydy0 ；欢迎下载精品学习资源dx11解：方程变形为x（以 x 为未知函数的一阶线性微分方程）dyyln yydydy欢迎下载精品学习资源ey ln y 1 e yln y dyC 11 ln ydyC 112C ，欢迎下载精品学习资源11ln y1yln yyln y 2欢迎下载精品学习资源故方程的通解为2x ln ylny2C, C2C1 欢迎下载精品学习资源（ 4）dyysin x , y1 ；欢迎下载精品学习资源xdxxx欢迎下载精品学习资源1 dxsin x1dx11欢迎下载精品学习资源解： exe xdxCsin xdxCCcos x ，欢迎下载精品学习资源xxx欢迎下载精品学习资源故通解为： y1 Cxcos x ；欢迎下载精品学习资源把 y x1代入，得 C1 .欢迎下载精品学习资源所以特解为 y1 1cos x ；x欢迎下载精品学习资源（ 5） dy22 3xy1, y0 ；欢迎下载精品学习资源dxx3x 1欢迎下载精品学习资源3x 222 3 x21111欢迎下载精品学习资源dxdxx3x33ln xx23ln xx 23x21x2欢迎下载精品学习资源解： eedxCe edxCx eeC ，2欢迎下载精品学习资源211欢迎下载精品学习资源故通解为： yx3ex 1 e x2C ； 2欢迎下载精品学习资源把 y x 10 代入，得 C1 e 1 ，21 1欢迎下载精品学习资源所以特解为2 yx3x3ex2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源（ 6）dyyxy5 ；dx欢迎下载精品学习资源解：令zy，就 dz4 y 5 dydz，原方程可化为4 z4 x ，欢迎下载精品学习资源4dxdxdx欢迎下载精品学习资源4dxze 4 xe4 dxdxCx1Ce 4x4欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以通解为11xCe 4 x（另有一特解 y0 ）欢迎下载精品学习资源4y4欢迎下载精品学习资源dy（ 7）dx xy 2 ;欢迎下载精品学习资源解：令 uxy ，就方程可化为du1 dxu 2 ，分别变量得dudx ， 1u 2欢迎下载精品学习资源两端积分得arctan uxC ，故方程的通解为arctan xyxC欢迎下载精品学习资源（ 8）xy 'yyln xln y ；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解：令 uxy ，就 duyx dy，代入方程分别变量得dxdu,欢迎下载精品学习资源dxdxxu ln u欢迎下载精品学习资源两端积分化简得ueCx ，将 uxy 代入得方程的通解为xyeCx ；欢迎下载精品学习资源9、求一曲线的方程，这曲线通过原点，并且它在点 x, y 处的切线斜率等于 2xy ；欢迎下载精品学习资源解：由题意得微分方程y '2 xy, y x 00 , y 'y2 x ,欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源dxe2xedxdxCe 2xde xCex 2xe x2e xC2x2Cex ,欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源故通解为 y2 x2Cex ，把y x 00代入得 C2 ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以曲线方程为y2ex2x2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源10、设曲线积分yf xdxL2 xf xx2 dy 在左半平面 x0 内与路径无关， 其中f x 可欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源导且 f11 ，求f x ；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解：令Px, yyf x, Q x, y2xf xx2，由已知PQ ，yx欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源即 f x2 f x2xf'x2x2 xf' x2 xfxf ' x1f x1,2 x欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源f x1 dxe2x1 dxe 2xdxC2 xCx312 ，将f 11 代入，得C1 ，3欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以，f x12 x1 x 2 ；33欢迎下载精品学习资源11、求以下微分方程的通解欢迎下载精品学习资源2（ 1） 3x6xy2 dx6 x2 y4 y2 dy0 ；欢迎下载精品学习资源解：这是一个全微分方程222232243欢迎下载精品学习资源左边3x dx6 xy dx6 x ydy4 y dydxd 3 x y d y 3欢迎下载精品学习资源32243欢迎下载精品学习资源所以通解为 x3x yyC ；3欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源（ 2） eydx xey2 ydy0 ；欢迎下载精品学习资源解：这是一个全微分方程yyy2左边e dxxde 2 ydydxe dy欢迎下载精品学习资源所以通解为xeyy2C ；欢迎下载精品学习资源（ 3）1 dx1 dyx dy0 ；欢迎下载精品学习资源2yyy解：这是一个全微分方程欢迎下载精品学习资源左边 1 dx yx dy1y2yxdyd yd ln y 欢迎下载精品学习资源x所以通解为ln yyC ；欢迎下载精品学习资源（ 4） ydxxdyy2xdx0 ；欢迎下载精品学习资源解：方程两边同乘以1 得 ydxxdyxdx0 y2y2欢迎下载精品学习资源xx2欢迎下载精品学习资源左边d y所以通解为d 2xx2C ；欢迎下载精品学习资源xdxydyy x22y 2 dx ；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解：方程两边同乘1, 得x2y2xdx x2ydyy2dx0 ，即 d1 ln x 2y 22dx0 ，欢迎下载精品学习资源所以原方程的通解为1 ln x2y 22xc1 ，欢迎下载精品学习资源即 x 2y2ce2x . 其中ce2c1 .欢迎下载精品学习资源 xy2 dx2xydy0 .欢迎下载精品学习资源解：方程变形为xdxy 2 dx2xydy0，方程两边同乘1 ,x2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源得 dxx2 xydyx2y 2dx20 ，即d ln xdy0 ， x欢迎下载精品学习资源所以原方程的通解为ln xyc ，即 y22xx ln xcx .欢迎下载精品学习资源12、 求以下微分方程的解 :欢迎下载精品学习资源 y"xsin x ；x2欢迎下载精品学习资源解： yxsin x dxx 2cos x2x 3c1 ，欢迎下载精品学习资源ycosx2c1 dxsin x6c1xc2 .欢迎下载精品学习资源y"1y'2 ；欢迎下载精品学习资源解：令 yp, 就yp ，原方程化为 p1p2 ，分别变量得dp1p 2dx ，欢迎下载精品学习资源故 arctan pxc1，即 ptanxc1 ，亦即 ytanxc1 ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以 ytan xc1 dxln cos xc1 c2 ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源即原方程的通解为yln cosxc1c2 .欢迎下载精品学习资源 xy"y'0 ；欢迎下载精品学习资源解：令 yp, 就yp ，原方程化为 xpp0 ，分别变量得dpdx ，px欢迎下载精品学习资源故 ln pln xln c1 ，即 pc1c1，亦即 y，xx欢迎下载精品学习资源所以原方程的通解为yc1 ln xc2 .欢迎下载精品学习资源y" y' 3y'；欢迎下载精品学习资源解：令 yp, 就ydpdpp，原方程化为 p dydyp 3p ，即 dp dyp 21 ，欢迎下载精品学习资源分别变量得dp1p 2dy ，故arctan pyc ，即 ptan yc ，欢迎下载精品学习资源亦即 ytan yc ，分别变量得dy tan ycdx ，所以ln sin ycxc0 ，欢迎下载精品学习资源即原方程的通解为yarcsinc2ex c1 （其中 c1c,c2ec0 ） .欢迎下载精品学习资源y3 y" 10,y x 11, y' x 10 ；欢迎下载精品学习资源解：令 yp, 就ydpp，原方程化为dyy3 p dpdy1，分别变量得dypdp3 ，y欢迎下载精品学习资源故 p 21c ，即y 21c， 由y1, y'0得c1 ，欢迎下载精品学习资源y 21y 21x 1x 11欢迎下载精品学习资源所以 y 211 ，因而得 y y 211y2y，分别变量得ydy 1y 2dx ，欢迎下载精品学习资源所以1y2xc2 ， 由y x 11得c21，于是1y2x1 ，欢迎下载精品学习资源即原方程的通解为y2xx2（舍去 y2xx2，由于y x 11 ） .欢迎下载精品学习资源y'''eax ,y x 1y' x 1y" x 10 ；欢迎下载精品学习资源解：方程两边积分得yeax dx1 eaxc ， 由 y"0 得 c1 ea ，欢迎下载精品学习资源所以 y1 eax a1 ea aa，于是 y11 eax ax 11 eadx a11 eax a 2a1 ea x ac2 ，欢迎下载精品学习资源由 y x 10 得 c21 ea a1 ea ，所以 y a 21 eax a 21 ea x a1 eaa1 ea ， a2欢迎下载精品学习资源1ax1a21a1a欢迎下载精品学习资源再积分得 ya3 ee xe x 2aaa 2 e xc3 ，欢迎下载精品学习资源由 y x 10 得 c31 ea a 21 ea2a1 ea ，a 3欢迎下载精品学习资源所以 y1ax3 ea1a2e x2a1a2 e aa1) x1a223 eaa2a2 .欢迎下载精品学习资源13、 设有一质量为m 的物体，在空中由静止开头下落，假如空气阻力为Rc 2v 2（其中 c欢迎下载精品学习资源为常数， v 为物体运动的速度） ，试求物体下落的距离s 与时间 t 的函数关系；解：以 t = 0 对应的物体位置为原点，垂直向下得直向为s 轴，o欢迎下载精品学习资源m dvdt从而mg mdv2c2 v2R2，t = 0 时 s = 0 ， v = 0，mgdt ，欢迎下载精品学习资源mgc vdvdvmln cvmg欢迎下载精品学习资源积分得 tc1m22mgc vmmgmcvcvmgcvmg，2cgcvmg欢迎下载精品学习资源22由 t = 0时 v = 0 得 c10 ，从而tln，欢迎下载精品学习资源cvmg2c g t2cgcvmg2c g t欢迎下载精品学习资源即cvmgem，由于 mgc v ，故 cvmgmgcvem，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源即 cv 12 c g tem2c gtmg em1 ，亦即 dsvdtm g 1 c12 c g tem2 c g，tem欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源ds整理得dtmgcg thtcm，因而 smgmccgcgln chtmc2 ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源再由 t = 0 时 s = 0 得 c20 ，因此 smcg2 ln cht cm即为所求关系 .欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源14、 验证 y1cosx 及 y2sinx是方程y"2 y0 的两个线性无关的特解，并写出欢迎下载精品学习资源该方程的通解；欢迎下载精品学习资源解： y1故 y1siny21x， y12cos2 cos x2x ， cosx0 ，即y1 是y"2 y0 的解 .欢迎下载精品学习资源同理可证y2 也是y"2 y0 的解 .欢迎下载精品学习资源又 y1 y2cotx常数，所以y1 与y2 线性无关，欢迎下载精品学习资源因而方程的同解为yc1 cosx2c2 sinx .欢迎下载精品学习资源15、 验证 yc x5c2 x211xln 9x 是方程x2x 2 y"3xy' 5yx 2 lnx的通解；欢迎下载精品学习资源解：令 y1x5， y， y xln x ，9欢迎下载精品学习资源1由于 x2 y "3xy1 '5y1x2 20x 33x5x 4 5x50 ，欢迎下载精品学习资源2x2 y "3xy 2'5 y222xx33x15 10 ，x2x欢迎下载精品学习资源y1x6 y2常数，所以y1 与y2 是齐次方程x2 y"3xy' 5y0 的两个线性无关解，欢迎下载精品学习资源从而 Yc x5c2是齐次方程xx2 y"3xy' 5y0 的通解 .欢迎下载精品学习资源1又由于212xxx 2欢迎下载精品学习资源x 2 y "3xy ' 5 yx 2ln x3x 93ln x599ln x9x2 ln x 所欢迎下载精品学习资源以 y 是非齐次方程cx 2 y"x 23xy' 5yx 2 lnx的一个特解，欢迎下载精品学习资源因此 yc x521xln x 是方程9x2 y"3xy' 5 yx 2 ln x 的通解 .欢迎下载精品学习资源16、 验证 y1xc1exxc2ee是方程x2xy"2y' xyxe 的通解；欢迎下载精品学习资源解：设 y1ex， y2xe， ye，xxx2欢迎下载精品学习资源就 y1xexexx2x， y1xx 3ex2xex x1x 4，3xx欢迎下载精品学习资源yxee2x 2x e， y22 xe x4 x1 ，欢迎下载精品学习资源代入方程易验证y1 、 y2 均为方程xy"2 y' xy0 的解，欢迎下载精品学习资源由于 y1y22 xe常数，故 Y1xc1exc2e 是 xy"x2 y'xy0 的通解 .欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源又由于 y 'y "e，所以x2xy "2 y 'xyx e2 exxx22x eex ，x2欢迎下载精品学习资源即 y 是非齐次方程x1xy"2y' xyxexe 的一个特解，欢迎下载精品学习资源因此 yc1exc2e是方程2xy"2 y'xyex 的通解 .欢迎下载精品学习资源17、 求解以下微分方程:（1）y"y' 2 y0 ；欢迎下载精品学习资源解：特点方程为r 2r20 ，解之得特点根 r1